張 屹，李子木，余 振，楊宇琪

(三峽大學(xué) 機(jī)械與動(dòng)力學(xué)院，湖北 宜昌 443002)

?

基于FCM改進(jìn)遺傳算法的工字梁多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)*

張 屹，李子木，余 振，楊宇琪

(三峽大學(xué) 機(jī)械與動(dòng)力學(xué)院，湖北 宜昌 443002)

為了對(duì)工字梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，建立了以工字梁橫截面積最小和給定負(fù)載條件下的最小化靜撓度最小為目標(biāo)函數(shù)，以滿足梁的彎曲強(qiáng)度條件及截面尺寸限制條件為約束條件的多目標(biāo)優(yōu)化模型，并提出了一種基于模糊C均值聚類改進(jìn)的多目標(biāo)優(yōu)化算法來(lái)對(duì)其進(jìn)行求解。該算法利用FCM的模糊劃分和最大隸屬度來(lái)對(duì)交配選擇過(guò)程進(jìn)行交配約束限制。將該算法與其他典型的多目標(biāo)優(yōu)化算法在GLT系列測(cè)試函數(shù)上進(jìn)行對(duì)比測(cè)試，結(jié)果表明所提出的算法性能更好，能得到具有更好收斂性且分布更均勻的Pareto前端。工字梁實(shí)例的求解也證明了該算法的優(yōu)良性及實(shí)用性。

工字梁；多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)；模糊C均值聚類

0 引言

工字梁是一種工字形斷面的組合梁，其具有重量輕、抗彎剛度大、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛地用于各種建筑工程、重型機(jī)械等領(lǐng)域。工字梁能在節(jié)省大量材料的同時(shí)獲得幾乎近似于外輪廓一樣的矩形截面慣性矩，因而能承受很大的彎矩。工字梁的腹板是四邊簡(jiǎn)支板，翼板則為三邊簡(jiǎn)支一邊自由，其截面尺寸設(shè)計(jì)需要考慮強(qiáng)度和穩(wěn)定性是否滿足基本的安全要求。

近年來(lái)，關(guān)于工字梁的優(yōu)化設(shè)計(jì)研究有許多。陳振等[1]通過(guò)分析工字梁主要的破壞形式，找到對(duì)應(yīng)不同破壞形式的主要影響因素，進(jìn)而得到合理的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)的理論依據(jù)。王瑤瑤等[2]采用外點(diǎn)法罰函數(shù)的數(shù)學(xué)優(yōu)化方法對(duì)工字梁進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，加快收斂速度，縮短了計(jì)算時(shí)間。盧超[3]則通過(guò)改進(jìn)的元胞遺傳算法對(duì)工字梁進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)，也取得了不錯(cuò)的效果。本文利用基于FCM改進(jìn)的遺傳算法來(lái)求解工字梁多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題，將模糊C均值聚類(FCM)應(yīng)用到遺傳算法的交配選擇過(guò)程，得到一種基于模糊C均值聚類(FCM)進(jìn)行交配約束限制的多目標(biāo)優(yōu)化算法。然后，將改進(jìn)的算法與其它經(jīng)典的多目標(biāo)優(yōu)化算法進(jìn)行性能比較。最后，將該算法用于工字梁的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)，并與普通的優(yōu)化方案作對(duì)比，驗(yàn)證算法的優(yōu)越性，為工字梁的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)提供一定的依據(jù)。

1 工字梁優(yōu)化模型

1.1 設(shè)計(jì)變量的選擇

工字梁的結(jié)構(gòu)優(yōu)化主要是截面尺寸的優(yōu)化[4]，其優(yōu)化設(shè)計(jì)參數(shù)有工字梁整體高度a，翼板的寬度b，腹板的厚度c和翼板的厚度d。于是確定優(yōu)化設(shè)計(jì)變量為x=[x1,x2,x3,x4]T=[a,b,c,d]T。工字梁結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 工字梁結(jié)構(gòu)

1.2 目標(biāo)函數(shù)的建立

(1) 橫截面積最小

在工字梁的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)中，往往需要盡可能地節(jié)省耗材，因?yàn)楹牟牡亩嗌贈(zèng)Q定著生產(chǎn)成本的高低。因此從降低生產(chǎn)成本的角度考慮，將工字梁的橫截面積最小作為優(yōu)化目標(biāo)之一，其表達(dá)式可由四個(gè)決策變量表示為：

minf1(x)=2x2x4+x3(x1-2x4)

(2) 最小化靜撓度最小

在減少耗材的同時(shí)還需要考慮工字梁的穩(wěn)定性和強(qiáng)度，可采用靜撓度來(lái)綜合衡量其穩(wěn)定性和強(qiáng)度。因此，在給定負(fù)載條件下的最小化靜撓度最小可作為另一優(yōu)化目標(biāo)，最小化靜撓度的公式為：

其中，P為最大彎曲載荷，l為工字梁長(zhǎng)度，E為楊氏彈性模量，I為慣性矩。此處的慣性矩I可由決策變量表示為：

1.3 約束條件的確定

根據(jù)相關(guān)的設(shè)計(jì)要求，工字梁的優(yōu)化設(shè)計(jì)需要滿足以下約束條件。

(1)彎曲強(qiáng)度的條件限制

要保證工字梁所受的彎曲應(yīng)力小于梁的許用彎曲應(yīng)力，即有：

其中，My和Mz分別為Y軸和Z軸方向上的最大彎矩，Wy和Wz分別是Y軸和Z軸方向上的抗彎截面系數(shù)，[σ]為梁的許用彎曲應(yīng)力?？箯澖孛嫦禂?shù)又可根據(jù)所設(shè)的決策變量表示如下：

故第一個(gè)約束條件為：

(2)截面尺寸的條件限制

根據(jù)不同的設(shè)計(jì)條件和需求，對(duì)于截面的尺寸有不同的限制，即有約束條件為：

其中，amin,amax,…,dmin,dmax分別為針對(duì)實(shí)際情況所設(shè)定的尺寸上下限。

2 基于FCM改進(jìn)的遺傳算法

近年來(lái)，聚類技術(shù)發(fā)展迅猛，被廣泛地應(yīng)用于數(shù)據(jù)挖掘、統(tǒng)計(jì)學(xué)以及機(jī)器學(xué)習(xí)等領(lǐng)域。聚類技術(shù)可籠統(tǒng)地分為硬聚類與軟聚類兩大類，所謂的硬聚類，即每一個(gè)個(gè)體只能被歸為一類；所謂的軟聚類，即通過(guò)隸屬度來(lái)確定每個(gè)個(gè)體隸屬于各個(gè)類的程度的模糊聚類。本文所提出的遺傳算法FCMMO就是利用模糊C均值聚類來(lái)進(jìn)行交配約束的多目標(biāo)優(yōu)化算法。

模糊C均值聚類(FCM)[5]是一種實(shí)現(xiàn)模糊劃分的聚類方法，其主要是被用來(lái)最小化以下函數(shù)：

式中，m是一個(gè)指定模糊度的實(shí)數(shù)參數(shù)，υj是第j個(gè)聚類的中心，V={υ1,υ2,…,υC}是一系列聚類的中心，||·||代表任何一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)和聚類中心之間的距離的規(guī)范表示，其中μij為第i個(gè)個(gè)體對(duì)于第j個(gè)類的隸屬度，其表達(dá)式為：

基于這種FCM聚類算法，本文提出了一種交配約束限制(FMR)方案來(lái)為每一代個(gè)體xi設(shè)置交配池Qi，具體偽代碼如下：

Qi=FMRxi,P,U()①If∑k-1j=1μij≤rand()≤∑k+1j=1μij, 1≤k≤C do②Gathersolutionsinthekthclusterbasedonmaximummembershipprinciple,CT=xqk=argmaxl∈1,…,C{}μql, q∈1,…,N{}{}.③Setthematingpoolforxi, Qi=CT if CT≥2P otherwise{.④endif⑤returnQi.

確定交配池后，通過(guò)二進(jìn)制錦標(biāo)賽選擇機(jī)制[6]確定父代，再采用差分進(jìn)化[7]和多項(xiàng)式變異[8]操作來(lái)對(duì)父代進(jìn)行交叉變異操作生成新一代個(gè)體。在這個(gè)過(guò)程中，首先通過(guò)差分進(jìn)化算子生成一個(gè)試驗(yàn)解y′；然后在y′上施加一個(gè)邊界修復(fù)機(jī)制，使其成為可行解；接著采用多項(xiàng)式變異算子對(duì)可行解進(jìn)行變異操作，進(jìn)一步提高其質(zhì)量；最后，再次采用相同的修復(fù)機(jī)制來(lái)確保變異后的解是可行解。具體偽代碼如下：

y=SolutionGenerationx,Q()①Choosetwodifferentparentsolutionsxr1,xr2fromQbybinarytournamentselectionapproach.②Generateatrialsolution y'=x+F×xr1-xr2().③Repairthesolutiony″i=aiify'ibiy'otherwiseì?í????,whereaiandbi,i=1,2,…,n,denotethelowerandupperboundariesoftheithvariable,respectively.④Mutatethesolution y?i=y″i+δi×bi-ai() if rand()biy?i otherwiseì?í????,for i=1,2,…,n.⑥r(nóng)eturny=y1,y2,…,yn()T.

具體算法流程如下：

該電影產(chǎn)業(yè)大數(shù)據(jù)可視化Hybrid App支持跨平臺(tái)，本章對(duì)軟件在多個(gè)平臺(tái)上進(jìn)行了測(cè)試，測(cè)試設(shè)備是基于Android系統(tǒng)的小米3手機(jī)和基于iOS系統(tǒng)的iPhone 7手機(jī)，測(cè)試真機(jī)參數(shù)如表1所示。

Step1：算法參數(shù)設(shè)置：種群大小N，最大迭代次數(shù)T，聚類個(gè)數(shù)C，差分控制參數(shù)F和CR，多項(xiàng)式變異概率Pm和變異的分布指數(shù)ηm等；

Step2：種群初始化并建立一個(gè)空的外部檔案；

Step3：設(shè)置迭代計(jì)數(shù)器t=1；

Step4：利用FCM發(fā)現(xiàn)種群個(gè)體的聚類結(jié)構(gòu)；

Step5：對(duì)每個(gè)個(gè)體按照文中提出的FMR設(shè)置交配池，利用錦標(biāo)賽選擇機(jī)制選出父代個(gè)體；

Step6：通過(guò)差分進(jìn)化策略和多項(xiàng)式變異操作得到子代個(gè)體；

Step7：評(píng)估子代個(gè)體，更新當(dāng)前種群和外部檔案；

Step8：更新計(jì)數(shù)器t，判斷其是否達(dá)到所設(shè)的最大

迭代次數(shù)。若是，輸出外部檔案作為最優(yōu)的Pareto前端，反之轉(zhuǎn)到Step4。

3 算法性能測(cè)試與分析

為了更好地測(cè)試本文所提出的算法性能，將該算法與MOEA/D-DE[9]，NSGA-II[10]，SMS-EMOA[11]這3種性能良好的算法在具有復(fù)雜PF形狀和PS結(jié)構(gòu)的GLT[12]系列測(cè)試函數(shù)上進(jìn)行測(cè)試，并在相同的評(píng)價(jià)指標(biāo)下對(duì)各算法的性能進(jìn)行對(duì)比評(píng)估分析。

3.1 算法評(píng)價(jià)指標(biāo)

為了定量地評(píng)價(jià)算法的性能，本文采用了兩種常用的性能評(píng)價(jià)指標(biāo)即反向世代距離(IGD)與超體積(HV)來(lái)評(píng)價(jià)該算法的性能。

(1) 反向世代距離(IGD)

假設(shè)P*代表一組均勻分布在PF上的Pareto最優(yōu)解，P是所獲得的近似解組成的近似PF，那么反向世代距離(IGD)可定義如下[13]：

(2) 超體積(HV)

超體積(HV) 的定義如下[14]：

3.2 算法參數(shù)設(shè)置

為了確保對(duì)比實(shí)驗(yàn)更加公平更加客觀，所有算法均采用協(xié)調(diào)優(yōu)化后的最佳參數(shù)進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)研究，且所有算法均通過(guò)MATLAB實(shí)現(xiàn)。

參數(shù)設(shè)置如下：種群大小N=100；變量維度n=10；最大迭代次數(shù)T=300；四種算法均采用相同的多項(xiàng)式變異控制參數(shù)即pm=1/n,ηm=20；MOEA/D-DE的差分算子最優(yōu)參數(shù)為F=0.3，CR=0.8；而NSGA-II和SMS-EMOA的最優(yōu)差分算子參數(shù)為F=0.5,CR=1；FCMMO的各項(xiàng)參數(shù)為C=7,F=0.5,CR=1。

3.3 測(cè)試結(jié)果與分析

將四種算法分別對(duì)GLT系列測(cè)試函數(shù)進(jìn)行20次獨(dú)立運(yùn)算，統(tǒng)計(jì)所得IGD和HV的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差，用深灰底紋表示最優(yōu)值，淺灰底紋表示次優(yōu)值，具體結(jié)果見(jiàn)表1和表2。

表1 反向世代距離(IGD)平均值與標(biāo)準(zhǔn)差

表2 超體積(HV)平均值與標(biāo)準(zhǔn)差

由上述兩表可知，針對(duì)IGD指標(biāo)值，F(xiàn)CMMO包攬了所有最優(yōu)值，其余三個(gè)算法分別占了2個(gè)次優(yōu)值；對(duì)于表2中的HV指標(biāo)值，F(xiàn)CMMO依然占據(jù)了所有最優(yōu)值，SMS-EMOA占了5個(gè)次優(yōu)值，NSGA-II則一個(gè)也沒(méi)有。這表明FCMMO相對(duì)于其他三種算法來(lái)說(shuō)其性能最好，能獲得收斂性、多樣性及均勻性都更好的Pareto前端。

4 工字梁實(shí)例求解

現(xiàn)對(duì)某工字梁?jiǎn)栴}進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，已知梁的許用彎曲應(yīng)力為[σ]=20kN/cm2，楊氏彈性模量為E=2×104kN/cm2，兩個(gè)最大彎曲載荷分別為P=600kN和Q=80kN，兩個(gè)最大彎矩分別是My=3000kN·cm和Mz=2800kN·cm，梁的長(zhǎng)度為L(zhǎng)=200cm，四個(gè)決策變量的上下限分別為[10,50],[10,30],[1,10],[1,10]。要求在滿足設(shè)計(jì)要求的情況下，使得梁的橫截面最小且在給定負(fù)載條件下的靜撓度最小。

針對(duì)上述工字梁實(shí)例，運(yùn)用前面所提到的三種經(jīng)典算法與FCMMO對(duì)其進(jìn)行求解。對(duì)于該實(shí)際問(wèn)題對(duì)算法進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化，最終的參數(shù)設(shè)置如下：種群大小N=100，外部檔案也為100，最大評(píng)價(jià)次數(shù)為Gmax=30000，F(xiàn)CMMO的各項(xiàng)最優(yōu)參數(shù)為C=3,F=0.9,CR=0.6，其他算法的參數(shù)通過(guò)優(yōu)化后基本與3.2中設(shè)置相同。

圖2 NSGA-II得到的Pareto前端

圖3 FCMMO得到的Pareto前端

圖2和圖3分別給出了NSGA-II和FCMMO所得到的Pareto前端，由兩個(gè)圖對(duì)比可知，F(xiàn)CMMO得到的Pareto前端的分布性和收斂性都明顯優(yōu)于NSGA-II。

為了更加直觀地驗(yàn)證FCMMO的性能，本文比較了各算法所求的子目標(biāo)的最小值，即上圖所示橫、縱坐標(biāo)最小的點(diǎn)A和B。四種算法的子目標(biāo)最小值及其所對(duì)應(yīng)的決策變量值具體如表3所示，粗體表示最優(yōu)值。

表3 工字梁設(shè)計(jì)問(wèn)題的對(duì)比結(jié)果

從上表可知，F(xiàn)CMMO所得到的兩個(gè)最小值均優(yōu)于其他三個(gè)算法。由此可見(jiàn)，通過(guò)采用FCMMO來(lái)求解工字梁多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題，能在滿足彎曲強(qiáng)度條件及尺寸限制條件的約束下，使得到的工字梁結(jié)構(gòu)橫截面積更小、最小靜撓度更小。

5 結(jié)論

本文將模糊C均值聚類(FCM)加入到多目標(biāo)優(yōu)化算法中，設(shè)計(jì)了一種基于模糊C均值聚類的交配約束限制策略(FMR)，并提出了一種基于模糊C均值聚類的多目標(biāo)進(jìn)化算法(FCMMO)。在每一次迭代中，F(xiàn)MR采用模糊C均值聚類算法來(lái)發(fā)現(xiàn)種群個(gè)體的聚類結(jié)構(gòu)，然后基于該聚類結(jié)構(gòu)，根據(jù)每個(gè)個(gè)體對(duì)聚類的隸屬度為其確定相應(yīng)的交配池進(jìn)而交叉重組產(chǎn)生新的個(gè)體。

性能測(cè)試結(jié)果表明，F(xiàn)CMMO相較于其他三種經(jīng)典算法，所得到的Pareto前端分布更加均勻。運(yùn)用該算法求解工字梁的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)，所得結(jié)果也相對(duì)更優(yōu)。綜上，在求解這類簡(jiǎn)單的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，F(xiàn)CMMO具有一定的工程實(shí)用價(jià)值。

[1] 陳振, 王俊華, 高翔, 等. 起重機(jī)工字型截面梁結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)探討[J]. 港口裝卸, 2014 (6): 17-20.

[2] 王瑤瑤, 李松巖, 曹爾卓, 等. 罰函數(shù)在復(fù)合材料工字梁優(yōu)化設(shè)計(jì)中的應(yīng)用[J]. 纖維復(fù)合材料, 2013, 30(3): 30-32.

[3] 盧超. 多目標(biāo)元胞遺傳算法的改進(jìn)研究及其在工程優(yōu)化中的應(yīng)用[D]. 宜昌:三峽大學(xué), 2013.

[4] Coello Coello C A, Christiansen A D. MOSES: A multiobjective optimization tool for engineering design[J]. Engineering Optimization, 1999, 31(3): 337-368.

[5] Takahama T, Sakai S. Fuzzy c-means clustering and partition entropy for species-best strategy and search mode selection in nonlinear optimization by differential evolution[C]//Fuzzy Systems (FUZZ), 2011 IEEE International Conference on. IEEE, 2011: 290-297.

[6] Goldberg D E, Deb K. A comparative analysis of selection schemes used in genetic algorithms[J]. Foundations of genetic algorithms, 1991, 1: 69-93.

[7] Li H, Zhang Q. Multiobjective optimization problems with complicated Pareto sets, MOEA/D and NSGA-II[J]. IEEE Transactions on Evolutionary Computation, 2009, 13(2): 284-302.

[8] Deb K, Beyer H G. Self-adaptive genetic algorithms with simulated binary crossover[J]. Evolutionary Computation, 2001, 9(2): 197-221.

[9] Zhang Q, Li H. MOEA/D: A multiobjective evolutionary algorithm based on decomposition[J]. IEEE Transactions on evolutionary computation, 2007, 11(6): 712-731.

[10] Deb K, Pratap A, Agarwal S, et al. A fast and elitist multiobjective genetic algorithm: NSGA-II[J]. IEEE transactions on evolutionary computation, 2002, 6(2): 182-197.

[11] Beume N, Naujoks B, Emmerich M. SMS-EMOA: Multiobjective selection based on dominated hypervolume[J]. European Journal of Operational Research, 2007, 181(3): 1653-1669.

[12] Gu F, Liu H L, Tan K C. A multiobjective evolutionary algorithm using dynamic weight design method[J]. 2012.

[13] Zhang Q, Zhou A, Jin Y. RM-MEDA: A regularity model-based multiobjective estimation of distribution algorithm[J]. IEEE Transactions on Evolutionary Computation, 2008, 12(1): 41-63.

[14] Zitzler E, Thiele L. Multiobjective evolutionary algorithms: a comparative case study and the strength Pareto approach[J]. IEEE transactions on Evolutionary Computation, 1999, 3(4): 257-271.

(編輯 李秀敏)

A FCM Based Genetic Algorithm for I-Beam Optimization Design

ZHANG Yi，LI Zi-mu，YU Zhen，YANG Yu-qi

(College of Mechanical&Power Engineering，China Three Gorges University，Yichang Hubei 443002，China)

To optimize the design of an I-beam, the paper took the minimization of the cross-sectional area of the I-beam and the minimum static deflection that under given load condition as the objective functions, established the model for the multi-objective optimization and under that the I-beam structure meet the needs for bending strength and sectional size limitation and others．An improved multi-objective optimization algorithm based on fuzzy C-means clustering was proposed. The algorithm uses the fuzzy partition of FCM and the maximum membership degree to constrain the mating selection process. The comparative performance test results on a set of test instances(GLT) reveal that the proposed algorithm outperforms some state-of-the-art algorithms in terms of convergence and diversity．The I-beam example also proved the superiority and practicality of the algorithm.

I-beam; multi-objective optimization design; fuzzy C-means clustering

1001-2265(2017)07-0068-05

10.13462/j.cnki.mmtamt.2017.07.016

2016-12-18

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51275274，71501110)；三峽大學(xué)研究生科研創(chuàng)新基金(SDYC2016032)

張屹(1976—)，男，蘭州人，三峽大學(xué)教授，博士后，研究方向?yàn)橹悄芩惴捌錂C(jī)械工程優(yōu)化應(yīng)用，(E-mail)jxzhangyi1976@126.com。

TH166;TG506

A