原豪杰，孫桂玲，許 依，鄭博文

(南開大學(xué) 電子信息與光學(xué)工程學(xué)院，天津 300350)

基于補集零空間與最近空間距離的人臉識別

原豪杰，孫桂玲*，許 依，鄭博文

(南開大學(xué) 電子信息與光學(xué)工程學(xué)院，天津 300350)

(*通信作者電子郵箱sungl@nankai.edu.cn)

針對人臉識別中在分類器判別時沒有充分利用類間差異的問題，提出一種補集零空間(CNS)算法，并進一步提出結(jié)合CNS算法與最近空間距離的人臉識別算法——補集零空間與最近空間距離算法(CNSD)。首先，在訓(xùn)練樣本中，對每一種類別的人臉樣本，構(gòu)建其子空間并計算其補集的零空間；其次，計算測試樣本與所有子空間和補集零空間的距離，找到最小的子空間距離與最大的補集零空間距離對應(yīng)的類別，將其判別為測試樣本的類別。算法在ORL與AR人臉數(shù)據(jù)集上進行了測試，當(dāng)訓(xùn)練樣本數(shù)較小時，CNS算法與CNSD算法識別率遠高于最近鄰分類器(NN)算法、最近空間距離(NS)算法、最近最遠空間距離(NFS)算法；訓(xùn)練樣本數(shù)較大時，CNS算法與CNSD算法識別率也略高于NN算法、NS算法、NFS算法。實驗結(jié)果表明，所提算法能充分利用圖像的類間差異，提高人臉識別的成功率。

人臉識別；補集零空間；最近空間距離；分類器；子空間

0 引言

人臉識別是一項重要的技術(shù),現(xiàn)在已被廣泛用于國家安全、軍事安全以及公共安全中。目前一些比較優(yōu)秀、成型的人臉識別算法包括：基于主成分分析(Principal Component Analysis, PCA)的人臉識別算法[1]、基于支持向量機(Support Vector Machine, SVM)的人臉識別算法[2]、基于稀疏表示分類(Sparse Representation-based Classifier, SRC)的人臉識別算法[3]等。

基于PCA的人臉識別算法在人臉識別中占據(jù)非常重要的地位[4]，其算法步驟主要分為三個階段，即特征提取階段、訓(xùn)練階段和識別階段。許多基于PCA的算法側(cè)重于前兩個階段的研究，如2DPCA(Two-Dimensional PCA)[5]與BDPCA(Bi-Directional PCA)[6]以及另外一些改進的PCA算法[7-9]。針對第三階段的研究，Mi等[10]提出了最近子空間分類器算法以及最近最遠子空間分類器算法(Nearest-Farthest Subspace, NFS)。本文提出了側(cè)重于第三個階段的分類器算法，補集零空間算法首先被用于多入多出(Multiple-Input Multiple-Output，MIMO)系統(tǒng)的預(yù)編碼中[11-12]。在MIMO系統(tǒng)中，多用戶的MIMO廣播信道被分解成多個獨立的單用戶廣播通道，系統(tǒng)可以在高速數(shù)據(jù)流中將多樣性最大化。結(jié)合MIMO預(yù)編碼技術(shù)與人臉識別技術(shù)，會發(fā)現(xiàn)二者之間很多的共同點。在MIMO系統(tǒng)中，將多用戶通道分解成多個獨立的單用戶通道，而在人臉識別中，將不同類別的人臉圖像分解到不同的多個獨立的子空間與補集零空間中。MIMO系統(tǒng)中單用戶中的多樣性也與人臉識別中某一類別人臉的多樣性不謀而合。本文算法主要分為3個步驟：

1)利用PCA算法以及PCA的改進算法提取人臉圖像的特征向量或特征矩陣，構(gòu)建屬于不同類別的人臉子空間，并計算測試圖像與所有子空間的距離。

2)基于不同類別人臉之間的關(guān)系構(gòu)建不同類別的人臉補集零空間并計算測試樣本與所有補集零空間的距離。

3)根據(jù)1)和2)計算出來的距離判別出測試圖像的類別。

在ORL和AR人臉數(shù)據(jù)集上對算法進行了測試，實驗結(jié)果表明本文算法在各種測試環(huán)境下優(yōu)于對比算法。

1 PCA算法與分類器

1.1 PCA算法

假設(shè)訓(xùn)練集中有N個樣本圖像，每個樣本的大小為m×n，對于一個樣本圖像，將其每一列進行堆疊，即可將其向量化。

將一個訓(xùn)練集中的N個樣本表示成矩陣X=(x1,x2,…,xN)，矩陣X的互相關(guān)矩陣可以表示為：

(1)

計算互相關(guān)矩陣的特征值與特征向量，取前r個最大特征值對應(yīng)的特征向量，可得到特征臉空間Q=(q1,q2,…,qr)?RD×r。這里取到的每一個特征向量被稱為一個特征臉。將訓(xùn)練集X中的每一個樣本向量映射到特征臉空間中，即得到基于特征臉的特征向量yi∈Rr×1，yi∈Rr×1可以表示為yi=QTzi(i=1,2,…,R)，其中zi是xi的零均值化向量。

1.2 BDPCA與2DPCA算法

BDPCA算法基本原理如下：

給定訓(xùn)練樣本集{P1,P2,…,PN}，其中N為訓(xùn)練集樣本的個數(shù)，每個樣本矩陣的維度為m×n。首先定義行總散度矩陣，可表示為:

(2)

(3)

2DPCA算法是BDPCA算法的特殊情況，取矩陣Wcol為單位矩陣I即為2DPCA算法。

1.3 分類器

一種常見的分類器為基于Frobenius距離的最近鄰(Nearest Neighbor, NN)分類器及其改進分類器。

根據(jù)測試樣本矩陣與所有訓(xùn)練樣本矩陣的距離，即可判斷出測試樣本的類別。常見的距離定義有Frobenius距離、Yang距離和集成矩陣距離(Assembled Matrix Distance, AMD)。

給定兩個圖像矩陣R1=(aij)kcol×krow與R2=(bij)kcol×krow。Frobenius距離可表示為:

(4)

Yang距離[3]可以表示為:

(5)

AMD距離可以表示為:

(6)

Li等[13]提出了NN分類器的一種改進分類器，即最近線(Nearest Line, NL)分類器。作為NN與NL分類器的擴展，Chien等[14]提出了最近平面(Nearest Plane, NP)與最近空間(Nearest Space， NS)分類器。下面簡單介紹NS分類器[15]的原理。

在得到的K個距離中找到最小的距離d，d對應(yīng)的類別即判定為測試樣本向量對應(yīng)的類別。

Mi等[10]提出了最近最遠子空間分類器，對于第i種類別樣本，取另外K-1種訓(xùn)練集樣本構(gòu)建“l(fā)eave-one-class-out”子空間：

Bi=[A1A2…Ai-1Ai+1…AK]

(7)

2 補集零空間結(jié)合最近空間距離算法

根據(jù)前面的介紹，NS算法將測試樣本判別為最小距離di對應(yīng)的類別，而NFS算法則將最小距離di與最大距離li結(jié)合起來進行判別。

NFS算法在計算最小距離時，計算測試樣本到某一類別的子空間的距離di，這樣做是合理的，因為同一類別的樣本圖像以很大的概率處在同一個子空間中。但NFS算法在計算距離li時，計算測試圖像到排除此類別的所有類別構(gòu)成的子空間的距離li，顯然這樣做不是很合適。因為不同類別的圖像極有可能不在同一個子空間中，而NFS在計算最大距離時強制將不同類別的圖像構(gòu)成一個子空間，計算其與測試樣本的距離并作為判別標(biāo)準(zhǔn)，這樣顯然有失準(zhǔn)確性并缺乏足夠的依據(jù)。

因此需要找到另外一個與di、li無關(guān)的、判別效果更好的距離Vali，此距離能將不同類別的樣本圖像最大限度地分開，從而可將測試樣本判別為最大Vali對應(yīng)的類別。進一步，結(jié)合距離di與Vali，可以將測試樣本判別為最大的Vali/di。這里的距離di可以通過AMD距離或者NS距離來計算。

本文的算法像NFS算法一樣，首先構(gòu)造某一類別樣本圖像的補集并進行后續(xù)計算，但本文算法并不把構(gòu)造的補集看作屬于一個子空間，而是根據(jù)構(gòu)造的補集計算補集零空間，從而將不同類別的人臉樣本圖像最大化分別開來。

2.1 補集零空間算法

在得到訓(xùn)練樣本的特征矩陣后，將矩陣中的每一列附加到前一列中，可將矩陣轉(zhuǎn)換為一個列向量，將此列向量轉(zhuǎn)置即可得到一個行向量。所有的行向量構(gòu)成一個矩陣可表示為A∈RN×D，D為每個行向量的維度，N為所有訓(xùn)練樣本的總數(shù)。A中的每一行均表示一個樣本。

為了不引入過多的符號，這里的A、B與h與上一節(jié)中提到的略有不同：這里的A、B中每一行代表一個樣本向量，h為一行樣本向量; 而第1章中的A、B中的每一列代表一個樣本向量，而h為一列樣本向量。但二者本質(zhì)上沒有差別。

在整個人臉訓(xùn)練圖像集合中，去掉第i種類別的樣本矩陣，可以得到Ai在A中的補集Bi，可表示為:

(8)

假設(shè)Bi對應(yīng)的矩陣的秩為Li，將Bi進行奇異值分解(Singular Value Decomposition, SVD)可得:

(9)

其中:Ui的維度為Ui∈C(N-S)×(N-S);Vi的維度為Vi∈CD×D,并且Vi為酉矩陣;對角矩陣Σi∈C(N-S)×D的對角線上包括了矩陣Bi的所有奇異值。將式(9)展開可寫為:

(10)

(11)

簡明地概括補集零空間的性質(zhì)為：第i類樣本的補集零空間與所有不屬于第i類的樣本向量相乘的結(jié)果為零，而與第i類的樣本向量相乘的結(jié)果不為零。

進一步可推導(dǎo)出：由第i類樣本向量線性組合成的向量與所有不屬于第i類人臉的補集零空間相乘的結(jié)果為零，而與第i類人臉的補集零空間相乘的結(jié)果不為零。

在得到補集零空間集合V后，計算測試樣本向量h與所有補集零空間的零空間距離，可得到:

(12)

不同的i表示不同的補集零空間，Vali表示第i個零空間距離。在所有的Vali中找到最大的Vali，其對應(yīng)的類型即判定為測試樣本向量所屬的類型。本文提出的上述算法的流程如圖1所示。

圖1 補集零空間距離算法流程Fig. 1 Flow of complement null-space-distance algorithm

2.2 補集零空間與最近空間距離算法

在上述提到的補集零空間算法(Complement Null-Space, CNS)基礎(chǔ)上，將Vali與dj結(jié)合起來進行分類，新的距離被定義為Vali/di，所有Vali/di中最大值所對應(yīng)的類別即判定為測試樣本向量所屬的類別，其中：Vali將類間差異最大化地表現(xiàn)出來，di則將屬于同一類的圖像最大化地整合起來。將此算法稱為補集零空間與最近空間距離(Complement Null-Space Combined with nearest space Distance, CNSD)算法。這里使用NS算法計算dj。

CNSD算法的原理在于用不同類別的補集零空間最大化不同類別人臉圖像的差異性。將最近空間距離方法結(jié)合到補集零空間的方法后，CNSD算法不僅利用了同一類別中不同圖片之間的相似性，而且最大化利用了不同類別之間的差異性。

CNSD算法流程如下所示：

步驟3 用CNS算法計算h與所有余類零空間的零空間距離Val=[Val1,Val1,…,ValK]。

步驟4 計算判別變量ji=Vali/di。

步驟5 最大的ji=Vali/di對應(yīng)的類別即判別為h所屬的類別。

3 實驗結(jié)果與討論

用ORL與AR人臉數(shù)據(jù)集對本文提出的算法進行了驗證。實驗中利用了PCA、2DPCA與BDPCA三種不同的特征提取方法，并將本文算法與NN算法、NS算法、NFS算法進行了比較。

3.1 ORL數(shù)據(jù)集實驗結(jié)果

ORL人臉數(shù)據(jù)集共包含400張人臉圖像，每種類別包含10張圖像，圖像之間年齡、燈光、表情、面部細節(jié)等不盡相同，每張圖像的大小為112×93。圖2展示了ORL數(shù)據(jù)集中的部分圖像。

圖2 ORL數(shù)據(jù)集中部分人臉圖像Fig. 2 Part face images in ORL data set

對于每種類別，實驗隨機選取S張圖片作為訓(xùn)練集,用20次實驗的平均準(zhǔn)確率作為評價標(biāo)準(zhǔn)。使用PCA算法提取特征時，選取前100個特征值對應(yīng)的特征向量。使用BDPCA提取特征時，選取的參數(shù)為krow=12，kcol=12。krow=12表示前述的BDPCA算法中，使用行總散度矩陣的前12個特征值對應(yīng)的特征向量構(gòu)成左映射矩陣;kcol=12表示使用列總散度矩陣的前12個特征值對應(yīng)的特征向量構(gòu)成右映射矩陣。使用2DPCA提取特征時，選取的參數(shù)為krow=12，原理同上。

將本文的CNS、CNSD與NS、NFS、NN(AMD)、NN(Frobenius)、NN(Yang)、SVM算法、SRC算法進行對比，實驗結(jié)果見表1～3，分別表示使用PCA、2DPCA和BDPCA作為特征提取算法時的結(jié)果。此處使用了三種NN算法:當(dāng)使用AMD距離作為判別因子時，算法簡寫為NN(AMD);使用Frobenius距離作為判別因子時，算法簡寫為NN(Frobenius);使用Yang距離作為判別因子時，算法簡寫為NN(Yang)。從表1～3中可以看到不同算法與不同的訓(xùn)練樣本數(shù)對實驗結(jié)果的影響。

表1 在ORL數(shù)據(jù)集上基于PCA特征的比較結(jié)果Tab. 1 Comparison results based on PCA feature on ORL data set

表2 在ORL數(shù)據(jù)集上基于2DPCA特征的比較結(jié)果Tab. 2 Comparison results based on 2DPCA feature on ORL data set

表3 在ORL數(shù)據(jù)集上基于BDPCA特征的比較結(jié)果Tab. 3 Comparison results based on BDPCA feature on ORL data set

從表1～3中可以看到，訓(xùn)練樣本數(shù)S不同時，本文的CNS和CNSD算法在更多樣本數(shù)情況下識別率最好，整體表現(xiàn)更好。

由表1～3的實驗結(jié)果可知，對仿真的所有算法，當(dāng)訓(xùn)練樣本數(shù)增多時，識別率增加，并且當(dāng)樣本數(shù)從6增加到9時，識別率已經(jīng)趨于穩(wěn)定; NN算法與NS算法整體表現(xiàn)最差，而SRC算法普遍優(yōu)于SVM算法; NFS算法在某些特定的樣本點上表現(xiàn)最好。

盡管本文算法在某些訓(xùn)練樣本數(shù)的情況下不是最好的，但這些結(jié)果與最好的結(jié)果很接近。在某些測試點的情況下，本文算法的結(jié)果并非最優(yōu)的原因主要包括：1)仿真結(jié)果中對每種情況進行了20次測試后取均值，每次測試均為隨機選擇訓(xùn)練樣本，在這種情況下，仿真結(jié)果會有波動；2)SRC算法與SVM算法對樣本點的個數(shù)比較敏感，算法在特定樣本點的情況下有其獨特的優(yōu)勢。

3.2 AR數(shù)據(jù)集實驗結(jié)果

在AR數(shù)據(jù)集中選取了包含50個男性與50個女性的共100類人臉圖片，每一類人臉圖片包含14張圖片，每張圖片的尺寸為60×43。圖3展示了AR數(shù)據(jù)集中的部分人臉圖片。

圖3 AR數(shù)據(jù)集中部分人臉圖像Fig. 3 Part face images in AR data set

對于每種類別，實驗隨機選取了S張圖片作為訓(xùn)練數(shù)據(jù)集，仍用20次實驗的平均準(zhǔn)確率作為評價標(biāo)準(zhǔn)。使用特征提取算法為PCA時，選取前100個特征值對應(yīng)的特征向量；使用特征提取算法為BDPCA時，選取的參數(shù)為krow=20，krol=20；使用特征提取算法為2DPCA時，選取的參數(shù)為krow=10。對比算法仍為NS、NFS、NN(AMD)、NN(Frobenius)、NN(Yang)、SVM算法和SRC算法。

圖4展示了使用PCA作為特征提取方法的結(jié)果。從圖4的結(jié)果可以看出，本文的CNS的識別率最高，CNSD的識別率優(yōu)于NN (Frobenius)、SVM與NS，但比NFS、SRC差。

圖4 在AR數(shù)據(jù)集上基于PCA特征的比較結(jié)果Fig. 4 Comparison results based on PCA feature on AR data set

圖5展示了使用2DPCA作為特征提取方法的結(jié)果，圖6則展示了使用BDPCA作為特征提取方法的結(jié)果。從圖5與圖6可以看出，在平均識別率的指標(biāo)下，本文的CNS表現(xiàn)最好，CNSD識別率優(yōu)于NN、NS、NFS、SVM，但比SRC差。

由以上實驗結(jié)果可知，當(dāng)訓(xùn)練樣本數(shù)較小時，CNS與CNSD算法識別率比NN、NS與NFS算法有很大的提高；當(dāng)訓(xùn)練樣本數(shù)較大時，由于幾種算法的識別率均很高，因此CNS與CNSD算法只是略高于NN、NS與NFS算法。

訓(xùn)練樣本數(shù)較小時，訓(xùn)練樣本間差異性表現(xiàn)得更明顯，而本文算法主要利用了樣本間的差異性，因此識別率有很大的提高；訓(xùn)練樣本數(shù)較大時，樣本間差異性表現(xiàn)得更小，因此識別率只有較小的提高。

圖5 在AR數(shù)據(jù)集上基于2DPCA特征的比較結(jié)果Fig. 5 Comparison results based on 2DPCA feature on AR data set

圖6 在AR數(shù)據(jù)集上基于BDPCA特征的比較結(jié)果Fig. 6 Comparison results based on BDPCA feature on AR data set

結(jié)合以上的ORL數(shù)據(jù)集與AR數(shù)據(jù)集的比較結(jié)果可以看出，本文的CNS與CNSD算法在AR數(shù)據(jù)集上比在ORL數(shù)據(jù)集上更有效。原因如下：

1)AR數(shù)據(jù)集的維度比ORL數(shù)據(jù)集的維度高，而本文提出的算法在數(shù)據(jù)集的維度較高時更有效；

2)AR數(shù)據(jù)集中圖像的變化性比ORL中圖像的變化性大，例如燈光、面部表情等，本文算法在圖像變化性較大時更有效。

實驗結(jié)果中值得注意的一個地方是，在ORL數(shù)據(jù)集上，CNSD算法包含11個最優(yōu)結(jié)果，而CNS算法只包含6個最優(yōu)結(jié)果，這在一定程度上說明了CNSD在結(jié)合了兩種距離因子后比CNS效果好。但在AR數(shù)據(jù)集上，CNSD算法的結(jié)果均沒有CNS算法結(jié)果好，原因在于在AR數(shù)據(jù)集上，補集零空間距離與最近空間距離二者并不完全兼容，這是由數(shù)據(jù)集的多樣性引起的。

使用PCA作為降維方法時，實驗在ORL數(shù)據(jù)集與AR數(shù)據(jù)集上均采用前100個最大的特征值對應(yīng)的特征向量作為特征人臉，而100的選取同時兼顧了算法的運行速度與實驗結(jié)果的準(zhǔn)確性，當(dāng)選取的維度大于100時，算法的識別率已經(jīng)處于穩(wěn)定水平，選取更大的維度已沒有必要。使用2DPCA作為降維方法時，實驗在ORL數(shù)據(jù)集上選取krow=12，在AR數(shù)據(jù)集上選取krow=10，事實上，krow的取值在10到20之間時在兩個數(shù)據(jù)集上效果最佳，即算法運行時間可以接受，而算法識別率也維持在較高水平。使用BDPCA作為降維方法時，實驗在ORL數(shù)據(jù)集上選取krow=12，kcol=12，在AR數(shù)據(jù)集上選取krow=20，kcol=20，與2DPCA相同，krow與kcol的值在10～20時效果最佳。

從上述的實驗結(jié)果可以看出，本文提出的算法比傳統(tǒng)的算法更有效。在得到訓(xùn)練圖像的特征矩陣后，計算不同類別特征矩陣的補集零空間，相比圖像的特征矩陣，這些獨立的補集零空間可以將不同類別的人臉最大化地分離開來。傳統(tǒng)的分類器主要利用了圖像之間的相似性而沒有充分利用不同類別圖像之間的差異性，而本文算法不僅利用了同一類別圖像之間的相似性，還充分利用了不同類別圖像之間的差異性。

4 結(jié)語

本文提出了一種新型的使用補集零空間與最近空間距離的分類器，并在ORL數(shù)據(jù)集與AR數(shù)據(jù)集上進行了測試。測試結(jié)果表明本文算法性能優(yōu)異，即使當(dāng)訓(xùn)練數(shù)據(jù)較小時也可取得較高的識別率；同時也對實驗過程中的一些參數(shù)進行了分析。本文算法的不足之處在于當(dāng)訓(xùn)練樣本數(shù)很大時，計算復(fù)雜度比較高，補集的SVD將是一個很大的計算量。在訓(xùn)練集很大時，如何將計算復(fù)雜度降低，是算法有待改進的地方之一。另外在算法結(jié)果中可以看出，CNSD算法并非在所有情況下都好于本文的另一種CNS算法，如何調(diào)整補集零空間距離與最近空間距離的權(quán)重以便得到更好的識別效果也是算法有待改進的地方。

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This work is partially supported by the Specialized Research Fund for the Doctoral Program of Higher Education (20130031110032), the Tianjin Key Laboratory of Photoelectric Sensor & Sensor Network Technology.

YUAN Haojie, born in 1992, M. S. candidate. His research interests include pattern recognition, wireless sensor network, compressive sensing.

SUN Guiling, born in 1964, Ph. D., professor. Her research interests include wireless sensor network, pattern recognition, signal and informatin processing.

XU Yi, born in 1992, Ph. D. candidate. Her research interests include compressive sensing, pattern recognition, wireless sensor network.

ZHENG Bowen, born in 1993, M. S. candidate.His research interests include information monitoring and intelligent control system,compressive sensing, pattern recognition.

Face recognition based on complement null-space and nearest space distance

YUAN Haojie, SUN Guiling*, XU Yi, ZHENG Bowen

(CollegeofElectronicInformationandOpticalEngineering,NankaiUniversity,Tianjin300350,China)

In order to solve the problem that classifiers do not make full use of the differences between different types of face samples in face recognition, an effective method for face recognition was proposed, namely Complement Null-Space (CNS) algorithm; and further more, another method which combined CNS and nearest space Distance (CNSD) was proposed. Firstly, subspaces and complement null-spaces of all types of training images were constructed. Secondly, the distances between the test image and all types of subspaces as well as the distances between the test image and all types of complement null-spaces were calculated. Finally, the test image was classified into the type which has the minimum subspace distance and the maximum complement null-space distance. On ORL and AR face databases, the recognition rates of CNS and CNSD are much higher than those of Nearest Neighbor (NN), Nearest Space (NS) method and Nearest-Farthest Subspace (NFS) method when the number of training samples is small; and it is a little higher than that of NN, NS and NFS when dealing with large samples. Simulation results show that the proposed algorithm can make full use of the differences between different types of images and has good recognition ability.

face recognition; Complement Null-Space (CNS); nearest space distance; classifier; subspace

2016-07-28;

2016-10-17。 基金項目:高等學(xué)校博士學(xué)科點專項科研基金資助項目(20130031110032); 天津市光電傳感器與傳感器網(wǎng)絡(luò)技術(shù)重點實驗室開放課題資助項目。

原豪杰(1992—)，男，山西長治人，碩士研究生，主要研究方向：模式識別、無線傳感器網(wǎng)絡(luò)、壓縮傳感； 孫桂玲(1964—)，女，天津人，教授，博士，主要研究方向：無線傳感器網(wǎng)絡(luò)、模式識別、信號與信息處理； 許依(1992—)，女，湖南衡陽人，博士研究生，主要研究方向：壓縮傳感、模式識別、無線傳感器網(wǎng)絡(luò)； 鄭博文(1993—)，男，河北石家莊人，碩士研究生，主要研究方向：信息監(jiān)測與智能控制系統(tǒng)、壓縮傳感、模式識別。

1001-9081(2017)05-1475-06

10.11772/j.issn.1001-9081.2017.05.1475

TP391.4

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