朱潔芬

摘 要：筆算是小學(xué)數(shù)學(xué)的重要學(xué)習(xí)內(nèi)容之一。該內(nèi)容屬于程序性知識(shí)。該內(nèi)容不能簡(jiǎn)單地作為一種程序去教，而需要基于學(xué)的視角，對(duì)算法進(jìn)行認(rèn)知分析，把握算法的深層結(jié)構(gòu)、抽象歷程、技能提升等，促進(jìn)筆算學(xué)習(xí)由簡(jiǎn)單的程序性知識(shí)向高級(jí)的智慧技能轉(zhuǎn)化。

關(guān)鍵詞：認(rèn)知分析；筆算教學(xué)；整數(shù)乘法筆算

作為數(shù)學(xué)教師，似乎總有一種自信，自己能做的一定能讓學(xué)生學(xué)會(huì)。這對(duì)于小學(xué)數(shù)學(xué)，特別是程序性較強(qiáng)的筆算似乎更是如此。然而，教學(xué)實(shí)踐表明，筆算教學(xué)遠(yuǎn)沒(méi)有想象的那么容易，卓越的筆算教學(xué)并非依賴(lài)于算法程序的熟練把握，而是需要對(duì)學(xué)生如何理解和學(xué)習(xí)筆算進(jìn)行精準(zhǔn)的認(rèn)知分析。下面試以蘇教版“整數(shù)乘法筆算”為例，談?wù)劰P算教學(xué)的相關(guān)探究。

一、聚焦結(jié)構(gòu)形成，深化算理理解

教學(xué)“兩位數(shù)乘一位數(shù)（不進(jìn)位）”，教師一般先呈現(xiàn)問(wèn)題情境“湖面上飛過(guò)3隊(duì)大雁，每隊(duì)12只，一共有多少只？”，引導(dǎo)學(xué)生列出乘法算式。接著讓學(xué)生先嘗試計(jì)算，稍后全班交流。結(jié)果有的學(xué)生想到轉(zhuǎn)化成同數(shù)連加：12+12+12=36；有的學(xué)生想到拆數(shù)：10×3=30，2×3=6，30+6=36；有的學(xué)生想到了豎式計(jì)算，如圖1和圖2。于是教師向?qū)W生隆重推介豎式計(jì)算，并借助小棒圖幫助學(xué)生理解圖1是錯(cuò)誤的，應(yīng)該像圖2那樣算，否則就少算了2個(gè)10。問(wèn)題似乎得到了解決。然而，課后訪談發(fā)現(xiàn)，不少學(xué)生對(duì)圖2仍心存疑惑：加減法只要“上下對(duì)著算”，乘法為什么還要“斜著算”？

上述疑惑，實(shí)際上是對(duì)第二個(gè)乘數(shù)要乘兩次感到不解，這樣的疑惑訴諸直觀圖似乎并沒(méi)有得到真正的消解。兒童數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)研究表明，從加減法過(guò)渡到乘法，認(rèn)知結(jié)構(gòu)要進(jìn)行深層的大調(diào)整。雖說(shuō)乘法與加法緊密相連，但本質(zhì)上與加法有很大的不同。加法運(yùn)算的深層結(jié)構(gòu)是 “一一對(duì)應(yīng)”，即一個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)一個(gè)物體，運(yùn)算結(jié)果與數(shù)數(shù)一致；而乘法運(yùn)算的深層結(jié)構(gòu)是“一”與“多”的對(duì)應(yīng)，運(yùn)算結(jié)果與數(shù)數(shù)不一致，需要進(jìn)一步運(yùn)用推理獲得。因而，乘法學(xué)習(xí)的本質(zhì)不是簡(jiǎn)單地與重復(fù)加建立聯(lián)系以謀求一個(gè)運(yùn)算的結(jié)果，而是要引導(dǎo)兒童將“一一對(duì)應(yīng)”的圖式升格為“一”與“多”對(duì)應(yīng)的圖式，并能流暢地運(yùn)作。這樣的運(yùn)作不僅僅局限于初步認(rèn)識(shí)，而要在后繼的口算、筆算學(xué)習(xí)中不斷強(qiáng)化拓展。

依此觀照上述教學(xué)，可以發(fā)現(xiàn)，12×3是“兩位數(shù)乘一位數(shù)”學(xué)習(xí)的開(kāi)始，不能僅僅滿(mǎn)足于結(jié)果的獲得及驗(yàn)證，而應(yīng)著眼于“一”與“多”對(duì)應(yīng)圖式的構(gòu)建及其拓展。如12×3，首先要聯(lián)系乘法的意義，理解這里“3”中的每個(gè)“1”都對(duì)應(yīng)著1個(gè)“12”。接著借助直觀圖和“12”的習(xí)慣分組，進(jìn)一步將“1”與“12”的3次對(duì)應(yīng)分解為簡(jiǎn)單的“1”與“2”的3次對(duì)應(yīng)和“1”與“10”的3次對(duì)應(yīng)。對(duì)應(yīng)結(jié)構(gòu)的升格與調(diào)整，能使學(xué)生對(duì)“斜著算”的表象獲得深刻的理解，并引發(fā)對(duì)口算與筆算內(nèi)在一致性的思考。

二、延緩抽象過(guò)程，促進(jìn)算法建構(gòu)

教學(xué)“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”，一般仍然從問(wèn)題情境入手：幼兒園購(gòu)進(jìn)了12箱迷你南瓜，每箱24個(gè)，一共有多少個(gè)？在列出乘法算式后，借助盒狀包裝圖探究計(jì)算方法。學(xué)生能找出連乘和分乘等口算方法，進(jìn)而在感悟到連乘的局限性后教學(xué)標(biāo)準(zhǔn)算法。在這樣的教學(xué)中，不難發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)新法則的使用常常知易行難，不少學(xué)生不注意部分積的對(duì)位問(wèn)題。

筆算乘法從“兩位數(shù)乘一位數(shù)”到“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”，認(rèn)知結(jié)構(gòu)調(diào)整更大。如24×12，實(shí)際上包含了四組“一”與“多”的對(duì)應(yīng)：10個(gè)20、10個(gè)4、2個(gè)20、2個(gè)4。相應(yīng)地，也就存在一些相對(duì)原始的算法，如圖3和圖4。標(biāo)準(zhǔn)算法的誕生是人類(lèi)基于求簡(jiǎn)的需要，是基于算理的合邏輯的一種約定，是逐級(jí)抽象的結(jié)果，要讓學(xué)生在短時(shí)間內(nèi)迅速到達(dá)最高級(jí)別的抽象無(wú)疑是困難的。

根據(jù)上面的分析，教學(xué)實(shí)踐中筆者嘗試進(jìn)一步將教材中的盒狀包裝打開(kāi)，轉(zhuǎn)化成點(diǎn)狀排列（如圖5），引導(dǎo)學(xué)生將兩步分乘進(jìn)一步分解為四步分乘，明確兩位數(shù)乘兩位數(shù)本質(zhì)上是四個(gè)部分積的和。接著依據(jù)位值原則，尋求乘法豎式與四個(gè)部分積的內(nèi)在聯(lián)系，然后相加（如圖6和圖7）。

在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生再次聯(lián)系位值原則思考，豎式中因?yàn)橛形恢玫膸椭?，圖6和圖7中的哪些0可以省略不寫(xiě)？引導(dǎo)學(xué)生將圖6和圖7簡(jiǎn)化為圖3和圖4，進(jìn)而將四個(gè)部分積有機(jī)合并為兩個(gè)部分積。最后，通過(guò)后續(xù)的進(jìn)位學(xué)習(xí)，完整構(gòu)建低位算起的法則?？梢?jiàn)，根據(jù)小學(xué)生以具體形象思維為主導(dǎo)的特點(diǎn)，兩位數(shù)乘兩位數(shù)筆算規(guī)則的掌握不能急于求成，需要延緩抽象過(guò)程，基于深層結(jié)構(gòu)擴(kuò)展，逐步抽象。

三、關(guān)注容量制約，提升智慧技能

“多位數(shù)乘法筆算”練習(xí)。通過(guò)判斷、改錯(cuò)、爭(zhēng)當(dāng)“計(jì)算小能手”等形式，固化標(biāo)準(zhǔn)算法的計(jì)算程序，培養(yǎng)熟練的筆算技能。在這樣的教學(xué)中可以發(fā)現(xiàn)一些問(wèn)題：一些連續(xù)進(jìn)位的乘法在技能提升上存在瓶頸，最要命的是思維走向“僵化”——看到計(jì)算就用豎式；用到豎式，就選擇標(biāo)準(zhǔn)算法——一個(gè)個(gè)生龍活虎的孩子大都變成了筆算的奴隸。

心理學(xué)研究表明，算法程序上的簡(jiǎn)化有時(shí)會(huì)引發(fā)記憶容量的增加，從而對(duì)一些低工作記憶廣度兒童的技能培養(yǎng)形成障礙。乘法筆算的標(biāo)準(zhǔn)算法就是其中的一種。從上面的分析可以看到，一些原始算法，雖然書(shū)寫(xiě)相對(duì)多一些，但因?yàn)槊看嗡愕玫慕Y(jié)果及進(jìn)位都直接記錄，記憶負(fù)擔(dān)并不重；而標(biāo)準(zhǔn)算法中，進(jìn)位一般省略不寫(xiě)，需要記住并添加，記憶容量的增加制約了部分學(xué)生技能提升的空間。

筆者曾有幸赴英國(guó)考察小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，并驚奇地發(fā)現(xiàn)，包括數(shù)學(xué)教師在內(nèi)的很多英國(guó)公民在計(jì)算“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”時(shí)并不用我們習(xí)慣的標(biāo)準(zhǔn)算法，而喜歡用一種“交叉相乘法”（如圖8）?；貒?guó)后，筆者曾嘗試把這種方法推薦給學(xué)生，結(jié)果發(fā)現(xiàn)不少學(xué)生也特別喜歡用，而且錯(cuò)誤率明顯降低，有的甚至能口算，很有成就感。仔細(xì)分析，原因有二：

第一，進(jìn)位次數(shù)明顯減少，有效降低了認(rèn)知負(fù)荷。

第二，筆算順序更為靈活，降低了錯(cuò)誤偏差的幅度。該算法也可從高位算起。研究表明，豎式計(jì)算中越往左，數(shù)位上的數(shù)字越關(guān)鍵，高位算起讓高位乘積優(yōu)先確定，從而降低了最關(guān)鍵、最難的部分積出錯(cuò)的概率和錯(cuò)誤偏差的幅度。熟練掌握此法后，還能借助視覺(jué)加工直接寫(xiě)出得數(shù)。

相信這樣的算法實(shí)踐一定會(huì)引發(fā)我們對(duì)學(xué)習(xí)“容量”的深入思考，那就是學(xué)習(xí)容量的合理確定。在題量控制的基礎(chǔ)上，我們還需要更為精細(xì)的認(rèn)知負(fù)荷分析。此外，這樣的算法實(shí)踐還會(huì)引導(dǎo)我們突破對(duì)筆算程序的僵化思考：基于部分積的恒定不變，“三位數(shù)乘兩位數(shù)”的筆算程序也應(yīng)該是豐富多彩的，如為了避免出現(xiàn)頻繁的進(jìn)位問(wèn)題，有人就創(chuàng)造了“踢十法”，如圖9和圖10。

顯然，筆算技能的形成不能僅僅停留于簡(jiǎn)單的程序遵守，而要著眼于程序的豐富創(chuàng)新。在創(chuàng)新中深化對(duì)算法內(nèi)在結(jié)構(gòu)的理解，豐富算法外在程序的建構(gòu)，培養(yǎng)算法選擇和調(diào)控的意識(shí)，讓筆算由簡(jiǎn)單的動(dòng)作技能轉(zhuǎn)化為高級(jí)的智慧技能。

總之，筆算教學(xué)需要聯(lián)系兒童認(rèn)知發(fā)展階段、學(xué)習(xí)水平與結(jié)果分類(lèi)等宏觀認(rèn)知學(xué)習(xí)理論，結(jié)合中觀層面數(shù)學(xué)學(xué)科相關(guān)特殊領(lǐng)域認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)展變化的研究成果，進(jìn)行精細(xì)的認(rèn)知分析，精準(zhǔn)施教，創(chuàng)新施教，引發(fā)卓越的筆算學(xué)習(xí)。