馬俊，司東宏，薛玉君，，董永祥

（1.河南科技大學 機電工程學院，河南 洛陽 471003；2.河南省機械設(shè)計及傳動系統(tǒng)重點實驗室，河南 洛陽 471003）

主軸系統(tǒng)的動態(tài)特性是直接影響高速雙轉(zhuǎn)子試驗機整體性能的主要因素。主軸軸系受力復(fù)雜，不僅承受徑向加載力，還承受轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)質(zhì)量慣性力引起的周期性振動，而周期性振動會使軸系的疲勞壽命降低；因此，分析試驗機主軸系統(tǒng)的動態(tài)特性對于提高試驗機整體穩(wěn)定性、可靠性和延長使用壽命具有重要的意義［1］。

文獻［2］分別分析了雙轉(zhuǎn)子軸承試驗機左右端主軸的固有頻率，計算出單根軸的臨界轉(zhuǎn)速，由此得出單根軸的固有頻率滿足使用要求。然而，雙轉(zhuǎn)子軸承試驗機單根軸的模態(tài)變化不能等同于雙軸耦聯(lián)時的模態(tài)變化，因此，使用有限元分析軟件ANSYSWorkbench分析雙軸耦聯(lián)時的軸系模態(tài)變化，同時考慮高轉(zhuǎn)速軸系旋轉(zhuǎn)時產(chǎn)生的預(yù)應(yīng)力對軸系模態(tài)的影響。

1 模態(tài)分析理論

模態(tài)分析是研究機械結(jié)構(gòu)動力學特性、振動分析和動態(tài)優(yōu)化設(shè)計的常用方法。多自由度結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的動力學方程可以表示為［3-4］

式中：M，C，K分別為結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的質(zhì)量、阻尼、剛度矩陣；F（t）為外激勵矢量；X為位移矢量。

在實際工況中，阻尼對結(jié)構(gòu)的固有頻率和振型影響不大，則無外載荷作用且忽略阻尼時，可將（1）式簡化為

當軸系旋轉(zhuǎn)時，由于離心力的作用會產(chǎn)生一定的旋轉(zhuǎn)預(yù)應(yīng)力，從而影響到軸系的模態(tài)振動性能。因此，在考慮預(yù)應(yīng)力的情況下，（2）式方程解的形式可表示為

式中：kr為預(yù)應(yīng)力剛度矩陣；m為振幅列陣；ω為角頻率；φ為初相角。通過求解上式可以得到ω1，ω2，…，ωn等n個固有頻率，并且滿足0≤ω1＜ω2＜…＜ωn。

2 主軸系統(tǒng)有限元分析

2.1 軸系模型的建立

使用Unigraphics軟件建立試驗機主軸系統(tǒng)結(jié)構(gòu)模型，主軸系統(tǒng)主要有內(nèi)軸、外軸、陪試軸承（角接觸球軸承、圓柱滾子軸承）、試驗軸承（角接觸球軸承）、徑向加載軸承等組成（圖1）。試驗軸承將內(nèi)軸和外軸耦聯(lián)在一起。陪試角接觸球軸承分別裝在內(nèi)軸左端和外軸右端，陪試圓柱滾子軸承裝在外軸左端，主要對軸系起支承作用；徑向加載軸承對軸系不起支承作用，計算時可以忽略其剛度。為了提高網(wǎng)格劃分質(zhì)量并降低有限元分析時間，建模的過程中忽略一些不影響分析結(jié)果的倒角、倒圓角、孔等特征［5-7］。

圖1 軸系模型Fig.1 Shafting model

2.2 材料特性

主軸是軸承試驗機的關(guān)鍵部件，必須具備足夠的強度、剛度及耐磨性，且需要熱處理變形小，因此需選擇彈性模量、泊松比、屈服強度合適的材料。根據(jù)以上特點，主軸材料選用42CrMo，線性各向同性，詳細參數(shù)見表1。

表1 主軸材料屬性Tab.1 Material properties of spindle

2.3 有限元模型的建立

通過Unigraphics將軸系模型導成ANSYS Workbench分析軟件可以識別的X＿T格式。根據(jù)本次分析所用計算機的配置及對分析結(jié)果的精確度要求，選用了Sizing劃分網(wǎng)格，網(wǎng)格單元類型為CTETRA（10），單元大小為15；部件中的單元總數(shù)為34179，節(jié)點總數(shù)為57438，有限元模型如圖2所示。

圖2 有限元模型Fig.2 Finite element model

2.4 軸承剛度的計算

根據(jù)試驗機主軸系統(tǒng)裝配方式可知，陪試軸承和試驗軸承對主軸系統(tǒng)起支承作用，需要計算其支承剛度，一般將軸承簡化成彈簧支承。實際工況中，軸承只有支承剛度而沒有拉剛度，因此，圓柱滾子軸承只有一個方向的支承剛度，而角接觸球軸承接觸力比較復(fù)雜，在2個互相垂直的方向各自建立一個彈簧支承，軸承支承簡化效果如圖3所示。

圖3 軸系支承示意圖Fig.3 Diagram of shafting support

現(xiàn)計算出滿足設(shè)計要求的軸承剛度的最小值，支承軸承參數(shù)見表2，假設(shè)不考慮軸系上不同型號軸承的交叉剛度和阻尼的影響，只考慮軸承對軸系支承正剛度的作用［8-9］。

表2 軸承參數(shù)Tab.2 Parameters for bearing

根據(jù)經(jīng)驗公式［10］可知，角接觸球軸承及圓柱滾子軸承的徑向剛度分別為

將表2中的參數(shù)代入（4），（5）式可得K＝176957.4369 N/mm，K*＝1120621.355 N/mm。

2.5 邊界條件

在ANSYS Workbench中，約束角接觸球軸承T2和T4的全部自由度，T1和T3的軸向移動自由度；約束圓柱滾子軸承T6的全部自由度，如圖4所示。

圖4 邊界條件Fig.4 Boundary condition

2.6 模態(tài)分析

雙轉(zhuǎn)子軸系設(shè)計通常只做靜態(tài)下的模態(tài)分析，不考慮軸旋轉(zhuǎn)時產(chǎn)生的預(yù)應(yīng)力對軸系模態(tài)的影響，但在實際工況下，軸系旋轉(zhuǎn)時產(chǎn)生的預(yù)應(yīng)力不僅會影響軸系的剛度和強度，而且也影響軸承剛度；隨著軸系轉(zhuǎn)速的升高預(yù)應(yīng)力會變大，從而改變與內(nèi)外圈的接觸角，使軸承的剛度軟化，并對軸系的模態(tài)產(chǎn)生相應(yīng)影響［11］。

考慮到軸系旋轉(zhuǎn)形成的預(yù)應(yīng)力對軸承剛度的影響，分析軸系在靜態(tài)和不同轉(zhuǎn)速下的預(yù)應(yīng)力對軸系模態(tài)的影響，其趨勢如圖5所示。由圖可知：靜態(tài)下軸系模態(tài)的各階固有頻率值大于考慮預(yù)應(yīng)力的各階固有頻率值，這是由于軸系旋轉(zhuǎn)形成的預(yù)應(yīng)力弱化了軸承的支承剛度，從而降低了固有頻率；而隨著轉(zhuǎn)速的升高，軸系的固有頻率下降越來越明顯，當轉(zhuǎn)速達到15000 r/min時，軸系1階固有頻率與靜態(tài)下的1階固有頻率相比降低了25.9%，這是因為隨著轉(zhuǎn)速的增加，軸系產(chǎn)生的預(yù)應(yīng)力增大，使球與內(nèi)圈的接觸角增大，與外圈的接觸角減小，并改變了接觸力的大小，使軸承的剛度隨著預(yù)應(yīng)力的增加而降低，最終軸系固有頻率因軸承剛度的降低而減小。

圖5 不同轉(zhuǎn)速下軸承各階固有頻率的變化趨勢Tab.5 Variation trend of each natural frequency of bearing under different speeds

從圖中還可以看出：1階固有頻率的變化最為明顯，這說明預(yù)應(yīng)力對1階固有頻率影響較大，為改善預(yù)應(yīng)力對主軸模態(tài)頻率的影響，軸系工作時，應(yīng)增加與其對應(yīng)的軸向力，提高軸承剛度。

3 軸系臨界轉(zhuǎn)速的計算

臨界轉(zhuǎn)速是軸系設(shè)計時工作轉(zhuǎn)速避開共振頻率點的主要參考依據(jù)，軸系在臨界轉(zhuǎn)速附近工作時，將產(chǎn)生劇烈的振動，長時間運行會造成主軸部件的嚴重彎曲變形，甚至會造成轉(zhuǎn)子和軸承的破壞［12］。通過分析計算軸系的模態(tài)，求得各階固有頻率，從而確定軸系各階臨界轉(zhuǎn)速。臨界轉(zhuǎn)速與固有頻率的關(guān)系為［13］

式中：n為臨界轉(zhuǎn)速，r/min；f為固有頻率，Hz。

3.1 Campbell 圖求解

在ANSYS Workbench中，通過不同轉(zhuǎn)速下的多載荷步模態(tài)分析，可以獲得Campbell圖并能得到軸系的臨界轉(zhuǎn)速，軸系的Campbell圖如圖6所示。實際工況中軸系的工作轉(zhuǎn)速小于1階臨界轉(zhuǎn)速，因此只關(guān)注1階臨界轉(zhuǎn)速值，約為23206.2 r/min。

圖6 Campbell圖Tab.6 Campbell diagram

3.2 理論計算值

軸系由內(nèi)軸和外軸通過試驗圓柱滾子軸承連接在一起，因軸的剛度較大，故忽略軸的彈性而將其設(shè)為質(zhì)量塊，軸系上的軸承簡化為彈簧，所以整個軸系的簡化模型如圖7所示。

圖7 軸系簡化模型Tab.7 Simplified model for shafting

軸系簡化模型中：X1，X2分別為內(nèi)、外軸的位移；M1和M2分別為內(nèi)、外軸的質(zhì)量，M1＝50.53 kg，M2＝42.72 kg；K1～K4為軸承的剛度，由（4），（5）式求得K1＝K2＝K4＝K＝176957.44 N/mm，K3＝K*＝1120621.36 N/mm。

由軸系的簡化模型圖建立能量方程式，系統(tǒng)在任意時刻的動能T和勢能V分別為

由（7）式減（8）式可得Lagrange函數(shù)為

對比理論計算與有限元分析的結(jié)果可知：理論分析值略大于有限元分析值，這是由于有限元軟件自動考慮了主軸材料的阻尼。根據(jù)軸設(shè)計手冊可知，為了軸系的安全運行，通常取軸系1階臨界轉(zhuǎn)速值的70%作為軸系在剛性階段的極限工作轉(zhuǎn)速。使用2種方法得到的1階臨界轉(zhuǎn)速分別為23206.2 和 24660 r/min，其 70% 分 別 為16244.34和17262 r/min，均高于主軸系統(tǒng)最高設(shè)計工作轉(zhuǎn)速15000 r/min，說明試驗機軸系的設(shè)計符合要求。

4 結(jié)束語

通過ANSYSWorkbench中Block Lanczos有限元法計算了軸系靜態(tài)下和預(yù)應(yīng)力下的2種模態(tài)頻率值，對比可知：軸系轉(zhuǎn)速在3000～15000 r/min時，預(yù)應(yīng)力下的模態(tài)值都低于靜態(tài)下的模態(tài)值，且隨著轉(zhuǎn)速的升高差值越來越大；當轉(zhuǎn)速達15000 r/min時，1階固有頻率相差了25.9%，表明預(yù)應(yīng)力對軸系的影響明顯，因此模態(tài)分析時應(yīng)考慮預(yù)應(yīng)力的影響。

根據(jù)Campbell圖和理論分析法獲得軸系的1階臨界轉(zhuǎn)速分別為23206.2和24660 r/min，均遠大于主軸的設(shè)計工作轉(zhuǎn)速，可以滿足設(shè)計要求；而有限元分析的數(shù)值小于理論值，說明有限元分析的數(shù)值比較保守，在實際工況中，為了安全考慮采用此臨界轉(zhuǎn)速值。