侯勇，王磊

（天津科技大學 電子信息與自動化學院，天津 300222）

主動磁懸浮軸承（Active Magnetic Bearings，AMB）系統(tǒng)是一個多輸入多輸出、非線性強、耦合程度高的復雜系統(tǒng)，其運行的可靠性和穩(wěn)定性在很大程度上取決于系統(tǒng)的控制方法，采用常規(guī)的PID控制理論不能很好地滿足系統(tǒng)對穩(wěn)定性和動態(tài)特性的要求［1-4］。采用PID與其他控制策略的結合，雖然精度高，但控制系統(tǒng)設計復雜?；Ｗ兘Y構控制具有對內部參數(shù)和外部擾動不敏感、魯棒性好等優(yōu)點，將其應用于主動磁懸浮軸承系統(tǒng)的控制，可以有效提高系統(tǒng)的運行性能。文獻［5］針對主動磁懸浮軸承系統(tǒng)采用了滑模變結構控制，屬于單自由度的分散控制，將其應用于多輸入多輸出系統(tǒng)時，依然存在靜態(tài)誤差大等問題。文獻［6］應用積分滑模變結構控制實現(xiàn)了徑向4自由度主動磁懸浮軸承的控制，但沒有考慮軸向的控制，如進行包含軸向自由度的5自由度控制時，則需2套獨立的控制系統(tǒng)，增加了控制器的數(shù)量，使實際應用更為復雜，而且忽略了傳感器安裝位置導致的耦合問題，會使系統(tǒng)達到穩(wěn)態(tài)的時間增長。

分析5自由度主動磁懸浮軸承系統(tǒng)因傳感器位置產生的耦合問題，推導并建立輸出解耦的主動磁懸浮軸承狀態(tài)方程，在此基礎上研究多輸入多輸出積分滑模變結構控制方法，采用一套控制器實現(xiàn)了系統(tǒng)的5自由度控制。

1 5自由度主動磁懸浮軸承狀態(tài)方程

主動磁懸浮軸承的轉子共有6個自由度：3個平動自由度和3個轉動自由度，其中轉子繞軸向轉動的自由度不受軸承控制器控制，而其余的5個自由度則需磁懸浮軸承控制器控制。5自由度磁懸浮軸承系統(tǒng)結構如圖1所示。

圖1 5自由度主動磁懸浮軸承系統(tǒng)結構圖Fig.1 Structure of Five-DOF AMB system

根據(jù)剛體動量定理和動量矩定理以及磁路分析可得到轉子狀態(tài)方程［7-9］

式中：05×5為5階零矩陣；I5×5為5階單位矩陣；m為轉子質量；Kxx，Kyy，Kzz為磁軸承的位移-力系數(shù)；Kix，Kiy，Kiz為磁軸承的電流 -力系數(shù)；J為轉子繞x，y軸的轉動慣量；Jz為轉子繞z軸的轉動慣量；ω為轉子轉速；la，lb為轉子質心到徑向磁軸承中心的距離；xa，xb，ya，yb，zc為轉子位移；ixa，ixb，iya，iyb，izc為磁軸承線圈的控制電流。

由于傳感器與徑向磁懸浮軸承安裝于軸向不同位置，通常為非共點安裝，使得同一徑向平面的2個自由度的輸出存在耦合，即傳感器輸出耦合。由于控制點和測量點不在同一位置，以測量點的位移偏差作為控制量會對系統(tǒng)的動態(tài)過程產生影響，在控制中增加對該耦合現(xiàn)象的解耦處理，可以有效改善系統(tǒng)的動態(tài)過程。

在剛性轉子的情況下，可以通過一定的幾何變換實現(xiàn)輸出解耦［7］。

根據(jù)傳感器和徑向軸承的幾何關系作如下代換

式中：T為轉換矩陣；xsa，xsb，ysa，ysb，zsc為轉子在傳感器位置發(fā)生的位移；lsa，lsb為轉子質心到徑向傳感器中心的距離。

輸出解耦的狀態(tài)方程為

2 積分型滑模變結構控制器的設計

滑模變結構控制是在狀態(tài)空間設計一個超平面，使其滿足可達性，即不管系統(tǒng)狀態(tài)初始的位置在何處，運動的軌跡都指向超平面。系統(tǒng)一旦到達超平面，控制作用保證系統(tǒng)沿超平面趨向系統(tǒng)原點，這一沿超平面趨向原點的過程稱為滑動模態(tài)。在這種滑動模態(tài)下，系統(tǒng)特性和被控系統(tǒng)參數(shù)與外部干擾無關，只取決于所設計的超平面［3］。

滑模變結構控制器的設計主要分為2步：1）確定滑模切換函數(shù)；2）設計控制律，保證在切換面上出現(xiàn)滑動模態(tài)。

文獻［10］提出了一種多輸入多輸出的變結構控制策略，文獻［6］依據(jù)該策略，針對4自由度的主動磁懸浮軸承系統(tǒng)設計了一種多輸入多輸出的積分型滑模變結構控制器。在此基礎上，增加軸承的自由度，并對狀態(tài)方程進行解耦，使得控制器更加符合實際的系統(tǒng)控制要求。

2.1 滑模切換面設計

選取滑模切換面為

式中：rd為給定輸入；S1，S2為5×5的切換面系數(shù)矩陣；KI為積分控制的增益矩陣。

由于被控對象是多輸入多輸出系統(tǒng)，在進行極點配置時較為復雜，該設計保證系統(tǒng)到達滑動模態(tài)時，可以通過調整切換面的系數(shù)S1，S2，KI對系統(tǒng)的閉環(huán)極點進行優(yōu)化配置［11］；而積分項的引入對于克服擾動有很大的幫助。因此，可以有效地提升系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能。

2.2 控制器的設計

由此可得等效控制函數(shù)為

5自由度主動磁懸浮軸承系統(tǒng)是一個非最小相位系統(tǒng)，在能量有限制的條件下，可以加入一個負的調幅值來縮短系統(tǒng)的調節(jié)時間，即采用切換函數(shù)us，其作用是克服系統(tǒng)模型不確定性以及外界擾動的影響。定義

式中：bi為B21的列向量；Ks為開關增益常數(shù)；ε為飽和函數(shù)的限幅值。此處采用飽和函數(shù)而非符號函數(shù)，可以有效地減少抖振［12］。

綜上，系統(tǒng)控制框圖如圖2所示。

圖2 系統(tǒng)控制框圖Fig.2 System control block diagram

3 仿真研究

利用MATLAB／Simulink對研究的控制方法進行仿真驗證。仿真中，5自由度主動磁懸浮軸承系統(tǒng)的參數(shù)設置為：m＝2.756 kg，lsa＝lsb＝0.147m，la＝lb＝0.121 m，Kix＝Kiy＝106.42 N／A，Kiz＝208.38 N／A，Kxx＝ Kyy＝492 860 N／m，Kzz＝690 340 N／m，J＝0.022 96 kg·m2，Jz＝2.069×10-4kg·m2。

滑模變結構控制器的參數(shù)設置為：S1＝300I5×5，S2＝2I5×5，KI＝0.3I5×5，Kσ＝10；因此α1＝300I5×5，α2＝05×5；飽和函數(shù)的限幅值 ε＝0.000 1；給定輸入 rd＝［0 0 0 0 0］T；轉子的初始位置為x0＝［3 2-2-3 1］T×10-4。

等效控制模型和切換控制模型分別如圖3、圖4所示。仿真結果如圖5所示，未實現(xiàn)解耦傳感器位置導致的耦合時徑向4自由度的仿真結果如圖6所示，常規(guī)PID控制方法的仿真結果如圖7所示。

圖3 等效控制仿真圖Fig.3 Equivalent control simulation model

圖4 切換控制仿真圖Fig.4 Switching control simulation model

圖5 采用積分滑模變結構控制時轉子位移Fig.5 Rotor displacements in ISMC

圖5 、圖7中5條曲線分別代表轉子在5個自由度上的位移位置，圖6中的4條曲線分別代表轉子徑向4個自由度的位移，零位置代表轉子穩(wěn)定的懸浮狀態(tài)。對比圖6、圖7可以看出，采用未對傳感器位置耦合進行解耦的積分滑模變控制可以減小系統(tǒng)的靜態(tài)誤差，但2種控制方法下系統(tǒng)達到穩(wěn)態(tài)所用的時間基本相同；對比圖5、圖6可以看出，對傳感器位置導致的耦合進行解耦后，系統(tǒng)達到穩(wěn)態(tài)所用的時間更短、響應更迅速；對比圖5、圖7可以看出，與PID控制相比，基于傳感器位置解耦的多輸入多輸出積分滑模變結構控制在5自由度磁懸浮軸承的控制上，靜態(tài)誤差小，魯棒性更好，響應時間短，無振蕩現(xiàn)象。

圖7 采用PID控制時轉子位移Fig.7 Rotor displacements in PID control

4 結束語

針對5自由度主動磁懸浮軸承系統(tǒng)傳感器安裝位置導致的耦合，設計了多輸入多輸出積分滑模變結構控制器，利用MATLAB／Simulink進行了PID控制、未對徑向傳感器位置耦合進行解耦的滑模變結構控制和對傳感器位置進行解耦的滑模變結構控制的仿真和對比研究，結果表明，設計的5自由度主動磁懸浮軸承的多輸入多輸出積分滑模變結構控制器動態(tài)性能優(yōu)越，具有良好的魯棒性、抗擾動能力和響應速度。