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        基于精細(xì)積分法的軸承-拉桿轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性動力學(xué)分析

        2017-07-25 00:08:26黑棣鄭美茹
        軸承 2017年4期
        關(guān)鍵詞:系統(tǒng)

        黑棣,鄭美茹

        (陜西鐵路工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機電工程系,陜西 渭南 714000)

        軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)作為旋轉(zhuǎn)機械的核心部件,廣泛應(yīng)用于航天、電力、工程等領(lǐng)域。許多學(xué)者針對軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的相關(guān)問題進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[1-2]研究了表面織構(gòu)對滑動軸承性能的影響。文獻(xiàn)[3]求解了Reynolds方程,并且得到油膜壓力分布曲線,分析了各種參數(shù)對油膜力的影響。文獻(xiàn)[4]利用變分原理和分離變量法求得了油膜力的近似解析解。

        以上研究都是為了能夠更準(zhǔn)確地進(jìn)行軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)分析。因為系統(tǒng)的穩(wěn)定性直接決定旋轉(zhuǎn)機械運行的穩(wěn)定性,因此,軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)分析計算十分關(guān)鍵,最常用的軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)計算方法有Runge-Kutta法[5-6]、Wilson-θ法[7-8]、Newmark法[9-10]等,但均對計算步長的依賴較大。

        精細(xì)積分法對步長的依賴較小,而且能保證較高的精度。文獻(xiàn)[11]基于2N類算法提出了精細(xì)積分法。文獻(xiàn)[12]將Wilson-θ法和精細(xì)積分法結(jié)合分析了結(jié)構(gòu)地震時程反應(yīng)。文獻(xiàn)[13]給出了單步4階精度的精細(xì)積分法,該方法精度高,計算量小。文獻(xiàn)[14]采用改進(jìn)的精細(xì)積分法計算了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性動力學(xué)行為。文獻(xiàn)[15]將數(shù)據(jù)庫方法與精細(xì)時程積分法相結(jié)合,研究了可傾瓦軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)響應(yīng)。

        現(xiàn)基于改進(jìn)的精細(xì)積分法,將其與傳統(tǒng)的Wilson-θ法、Newmark法進(jìn)行比較,求解轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性動力學(xué)響應(yīng),研究步長對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性動力學(xué)行為的影響。

        1 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)運動方程

        拉桿轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型如圖1所示。圖中:O1和O2為2個圓盤的中心;mO1,mO2分別為兩圓盤的質(zhì)量;eO1,eO2分別為兩圓盤的偏心量;l為轉(zhuǎn)軸的總長;a和b為兩轉(zhuǎn)軸的長度;AO1=a1,BO1=b1,AO2=a2,BO2=b2;ma,mb分別為 AO,BO的集中質(zhì)量;fx和 fy分別為軸承處x,y方向上的油膜力。

        圖1 軸承-拉桿轉(zhuǎn)子系統(tǒng)示意圖Fig.1 Sketch of bearing-rod fastening rotor system

        式中:M為質(zhì)量矩陣;G為陀螺矩陣;K為剛度矩陣;F為非線性油膜力向量;FAx,F(xiàn)Ay-分別為軸承A處轉(zhuǎn)子x,y方向的無量綱非線性油膜力;FBx,F(xiàn)By-分別為軸承B處轉(zhuǎn)子x,y方向的無量綱非線性油膜力;Q為外激勵列向量;W為重力列向量;FR為圓盤間的非線性回復(fù)力;KR為量綱一的非線性回復(fù)剛度;Kb為拉桿量綱一的彎曲剛度。q為位移列向量;XA,YA,XO1,YO1,XO2,YO2,XB,YB分別為轉(zhuǎn)子在軸承A端、圓盤O1處、圓盤O2處、軸承B端 x和 y方向的位移;θx1,θy1,θx2,θy2分別為圓盤1,2繞x和y軸的擺角;Jd1,Jd2分別為圓盤1,2的極轉(zhuǎn)動慣量;Jz1,Jz2分別為圓盤1,2的赤道轉(zhuǎn)動慣量;k11,k22分別為AO軸段x,y方向的彎曲剛度;k′11,k′22分別為 OB軸段 x,y方向的彎曲剛度;k33,k44,k′33,k′44分別為由于圓盤 1,2繞 x和 y軸擺動而引起的軸段剛度;k14,k23為AO軸段的交叉剛度;k′14,k′23為 OB軸段的交叉剛度,由于轉(zhuǎn)子的對稱性,有 k11=k22=k′11=k′22,k33=k44=k′33=k′44,k14=k23,k′14=k′[16]23;kR為非線性回復(fù)剛度;kb為拉桿的彎曲剛度。

        2 改進(jìn)的精細(xì)積分法

        2.1 算法介紹

        運用精細(xì)積分法求解轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)響應(yīng),將(1)式化為

        2.2 算法驗證

        為了驗證該算法的有效性,針對以下算例,將其與Newmark法、Wilson-θ法進(jìn)行比較。

        分別采用3種算法進(jìn)行計算,計算結(jié)果與精確解見表1。

        由表1可以看出,文中方法的計算結(jié)果比Newmark法、Wilson-θ法更接近精確解。

        表1 3種方法計算結(jié)果Tab.1 Calculation results of three kinds of methods

        3 數(shù)值算例

        軸承-對稱拉桿轉(zhuǎn)子系統(tǒng)參數(shù)如下。軸承為360°徑向滑動軸承,軸承寬度和直徑之比D/d=1,μ=0.022 Pa·s,c=0.000 49 m。轉(zhuǎn)軸參數(shù):r=0.14 m,l=3.3m,a=1.6m,b=1.6m,a1=1.4 m,b1=1.8 m,a2=1.8m,b2=1.4m,mA=mB=768.458 7 kg。圓盤參數(shù):h=0.4 m,R=0.3 m,eO1=eO2=0.01c,mO1=mO2=690.044 5 kg,Jz1=Jz2=31.052 kg·m2,Jd1=Jd2=15.526 kg·m2。2m=mA+mB+mO1+mO2,m=1 458.5 kg。轉(zhuǎn)軸剛度:k11=k22=k′11=k′22=9.992 5×107N/m,k14=k23= -3.758 4×107N/m,k′14=k′23=3.758 4×106N/m,k33=k44=k′33=k′44=2.367 8×108N/m,kb=kR=2 k11。

        以轉(zhuǎn)子的量綱一轉(zhuǎn)速為控制參數(shù)分析轉(zhuǎn)子的非線性動力學(xué)行為,其計算步長為 h=2π/200。當(dāng)量綱一轉(zhuǎn)速的變化范圍為0.9~1.05時,轉(zhuǎn)子軸承處和圓盤處y方向位移隨轉(zhuǎn)速的運動分岔圖如圖2所示。

        圖2 轉(zhuǎn)子軸承和圓盤處y方向位移隨轉(zhuǎn)速的運動分岔圖Fig.2 Bifurcation diagram of y versus at bearing station and disk stations

        由圖2可以看出,轉(zhuǎn)速較低時,轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運動為周期運動,隨著轉(zhuǎn)速的升高,轉(zhuǎn)子系統(tǒng)將發(fā)生分岔行為。

        圖3 =0.92時轉(zhuǎn)子軸承處的軌跡圖、Poincaré映射圖、時間歷程、頻譜圖和圓盤1處的軌跡圖Fig.3 The orbit,Poincaré map,time series,spectrum of the rotor at bearing station and the orbit of disk 1 for=0.92

        圖4 =0.92時圓盤分別繞x,y軸的擺角Fig.4 The swing angle of disks around the x and y axis for=0.92

        圖5 =0.95時轉(zhuǎn)子軸承處的軌跡圖、Poincaré映射圖、時間歷程、頻譜圖和圓盤1處的軌跡圖Fig.5 The orbit,Poincaré map,time series,spectrum of the rotor at bearing station and the orbit of disk 1 for=0.95

        圖6 =0.95時圓盤分別繞x,y軸的擺角Fig.6 The swing angle of disks around the x and y axis for=0.95

        圖7 =1.04時轉(zhuǎn)子軸承處的軌跡圖、Poincaré映射圖、時間歷程和頻譜圖Fig.7 The orbit,Poincaré map,time series and spectrum of the rotor at bearing station for=1.04

        圖8 =1.04時圓盤繞x,y軸的擺角Fig.8 The swing angle of disks around the x and y axis for=1.04

        以上計算步長取為h=2π/200,為了研究計算步長對系統(tǒng)非線性動力學(xué)行為的影響,以下步長分別取為 h=2π/400,2π/600,轉(zhuǎn)子軸承處和圓盤處的分岔圖如圖9、圖10所示。對比圖2、圖9和圖10可知,轉(zhuǎn)子系統(tǒng)運動的變化趨勢基本相同,但分岔點有所不同,隨著步長的減小,分岔點有少許增大,能夠考察的轉(zhuǎn)速范圍也增大,且轉(zhuǎn)子系統(tǒng)能夠表現(xiàn)出更豐富的非線性動力學(xué)現(xiàn)象。由此可以看出,計算步長的變化對于轉(zhuǎn)子系統(tǒng)運動具有一定影響。

        圖9 h=2π/400時轉(zhuǎn)子軸承和圓盤處y方向位移隨轉(zhuǎn)速的運動分岔圖Fig.9 Bifurcation diagram of y versus at bearing station and disk stations for h=2π/400

        圖10 h=2π/600時轉(zhuǎn)子軸承和圓盤處y方向位移隨轉(zhuǎn)速的運動分岔圖Fig.10 Bifurcation diagram of y versus at bearing station and disk stations for h=2π/600

        圖12 =1.05時3種步長下軸承處軌跡Fig.12 Comparison between the three steps at bearing station for=1.05

        根據(jù)計算結(jié)果可以看出,計算步長對非周期運動影響較大,故從分岔點附近開始要縮小計算步長。在周期運動階段,取不同的步長轉(zhuǎn)子的運動軌跡有一定差別,但可以適當(dāng)加大計算步長。

        4 結(jié)束語

        提出了一種改進(jìn)的精細(xì)積分法,將其與常用的Newmark法、Wilson-θ法進(jìn)行比較,發(fā)現(xiàn)該方法的計算結(jié)果比Newmark法和Wilson-θ法更接近精確解,驗證了其可靠性。

        運用改進(jìn)的精細(xì)積分法計算拉桿轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性動力學(xué)響應(yīng),從計算結(jié)果看出,該拉桿轉(zhuǎn)子系統(tǒng)存在豐富的非線性運動現(xiàn)象。同時研究了拉桿轉(zhuǎn)子圓盤的擺動,當(dāng)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)處于準(zhǔn)周期運動的情況下,圓盤的擺角隨時間發(fā)散,最終導(dǎo)致轉(zhuǎn)子碰壁。而其他情況下,圓盤的擺角均隨時間呈周期性變化。

        分析了計算步長對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)運動的影響,從計算結(jié)果可看出,計算步長對于轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非周期運動階段的影響較大,故在非周期階段應(yīng)當(dāng)采用較小的計算步長。在周期運動階段,即使其他參數(shù)都相同,采用不同的計算步長,轉(zhuǎn)子的運動軌跡仍有一定差別。計算步長對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的影響有待進(jìn)一步深入研究。

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