李占立，李濟(jì)順,2，余永健,2，薛玉君,2，馬偉,2

(1.河南科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，河南 洛陽 471003;2.河南省機(jī)械設(shè)計及傳動系統(tǒng)重點實驗室，河南 洛陽 471003)

滾動軸承是機(jī)械傳動中廣泛應(yīng)用的基礎(chǔ)件，其性能優(yōu)劣對設(shè)備運轉(zhuǎn)會產(chǎn)生重大的影響。軸承的運動精度是評價軸承質(zhì)量的重要指標(biāo)之一。文獻(xiàn)[1]采用數(shù)值模擬法分析了軸承零件的幾何誤差與軸心軌跡之間的關(guān)系，并通過試驗加以驗證。文獻(xiàn)[2-3]研究了鋼球和外圈的波紋度與軸心之間的關(guān)系。文獻(xiàn)[4]分析了深溝球軸承套圈的圓度誤差和鋼球的尺寸誤差與軸承非重復(fù)性跳動之間的關(guān)系，但沒有考慮保持架的影響。文獻(xiàn)[5]建立了考慮滾動體尺寸誤差時準(zhǔn)確計算軸承中心的數(shù)學(xué)模型，主要研究滾動體誤差的大小和誤差滾動體的數(shù)目對軸心軌跡的影響。文獻(xiàn)[6]采用坐標(biāo)變換法建模，通過模擬與數(shù)值仿真相結(jié)合，研究了套圈的圓度誤差、滾動體的直徑誤差對旋轉(zhuǎn)精度的影響。文獻(xiàn)[7]對影響大中型精密圓錐滾子軸承旋轉(zhuǎn)精度的因素進(jìn)行了分析,保持架兜孔的尺寸誤差是影響軸承運動精度的因素之一。

以圓柱滾子軸承為研究對象，根據(jù)軸承零件間的運動關(guān)系,建立引入保持架兜孔尺寸誤差的數(shù)學(xué)模型。對軸承的運動狀態(tài)進(jìn)行模擬和數(shù)值分析，研究保持架單個和多個兜孔的尺寸誤差及保持架兜孔尺寸誤差的排布方式對軸承運動精度的影響規(guī)律。

1 圓柱滾子軸承數(shù)學(xué)模型

1.1 數(shù)學(xué)模型的假設(shè)

為便于計算，建立軸承數(shù)學(xué)模型時假設(shè)：1)僅考慮保持架兜孔的尺寸誤差和內(nèi)圈的圓度誤差，其他零件均為理想尺寸；2)不考慮溫度變化和軸承內(nèi)部潤滑油膜厚度的影響；3)軸承轉(zhuǎn)動過程中，滾子不發(fā)生歪斜，與內(nèi)、外圈之間的運動為純滾動,不存在滑動，且與滾道完全接觸；4)外圈始終靜止，內(nèi)圈沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)。

1.2 軸承零件誤差的簡化

軸承轉(zhuǎn)動過程中，滾子在兜孔中的位置不同，承載區(qū)滾子的速度將超前于保持架，推動保持架向前運動， 滾子在兜孔中的位置如圖1所示。圖中，φ為1#滾子與x軸正半軸的夾角;φ為滾子的位置角。

圖1 滾子在兜孔中的位置

1)保持架兜孔的尺寸誤差

實際加工的保持架兜孔存在尺寸誤差，且每個兜孔尺寸誤差不同，如圖1所示。 保持架兜孔間尺寸誤差可表示為

[Δδ]=[Δδ1,…,Δδi,…,ΔδZ]T，

(1)

保持架兜孔的實際尺寸為

[Lw]=[Lw1,…,Lwi,…,LwZ]=

[Lr+Δδ1,…,Lr+Δδi,…,Lr+ΔδZ]T

，(2)

式中：Lr為兜孔的理想尺寸；Δδi為第i個兜孔的尺寸誤差；Z為滾子個數(shù)。

理想情況下滾子均布在滾道上，由于保持架兜孔的尺寸誤差，滾子在滾道上的位置將會改變，兜孔尺寸誤差處的滾子與x軸正半軸之間的夾角將發(fā)生變化，其變化量為

Δθ=2Δδi/Dpw，

(3)

式中：Dpw為滾子組節(jié)圓直徑。

2)內(nèi)圈的圓度誤差

圓度誤差是指同一橫截面內(nèi)回轉(zhuǎn)體實際輪廓對理想圓的最大變化量，是有周期性的一條封閉的幾何曲線，用Fourier級數(shù)形式可表示為

式中：θ為滾道上點的位置角；M為內(nèi)圈滾道圓度誤差最大的諧波階數(shù)；Am，Bm分別為m階諧波分量的正、余弦系數(shù)。

內(nèi)圈滾道輪廓的實際曲線可表示為一個標(biāo)準(zhǔn)圓和圓度誤差的疊加，則內(nèi)圈滾道的曲線方程可表示為

s(θ)=di+R(θ)。

(5)

式中：di為內(nèi)圈滾道直徑。

1.3 建立坐標(biāo)系

假設(shè)套圈滾道的幾何中心與滾動體節(jié)圓的中心相重合，為準(zhǔn)確描述軸承內(nèi)部零件間的運動關(guān)系，建立外圈的整體坐標(biāo)系Oxy和內(nèi)圈的局部坐標(biāo)系Oxiyi，將圓柱滾子軸承放到所建立的坐標(biāo)系中進(jìn)行分析,如圖2所示。圖中，β為內(nèi)圈轉(zhuǎn)過的角度;ρ為內(nèi)圈滾道的極半徑。

圖2 直角坐標(biāo)系

在局部坐標(biāo)系下,內(nèi)圈滾道曲線的參數(shù)方程為

(6)

在整體坐標(biāo)系下，內(nèi)圈滾道的曲線方程可表示為

(7)

式中：x0，y0為局部坐標(biāo)系原點相對于整體坐標(biāo)系原點的變化量。

1.4 軸承零件的運動幾何關(guān)系

外圈不動，內(nèi)圈逆時針轉(zhuǎn)動。滾子公轉(zhuǎn)的角度γ與內(nèi)圈的轉(zhuǎn)動角度β之間的關(guān)系為[8]

(8)

式中：Dw為滾子直徑。

設(shè)x軸正上方距離x正半軸最近的滾子為第1個滾子，當(dāng)內(nèi)圈沿逆時針方向轉(zhuǎn)動j個β角度時，第i個滾子與x軸正半軸之間的夾角為

(9)

內(nèi)圈轉(zhuǎn)動j個β角度時，第i個滾子在整體坐標(biāo)系下的圓心坐標(biāo)為

(10)

式中：de為外圈滾道直徑。

內(nèi)圈滾道的曲線方程變?yōu)?/p>

(11)

滾子與內(nèi)圈接觸時，滾子圓心到內(nèi)圈滾道曲線的距離為[9]

(12)

1.5 軸承運動精度的評價指標(biāo)

內(nèi)圈轉(zhuǎn)動過程中，每轉(zhuǎn)動1°，都會對應(yīng)一個圓心坐標(biāo)(x0，y0)，軸承運動精度的評價指標(biāo)內(nèi)圈徑向跳動為[10]

Kia=ymax-ymin，

(13)

式中:ymax，ymin分別為內(nèi)圈圓心在y方向的最大值和最小值。

2 數(shù)學(xué)模型求解

根據(jù)所建立的數(shù)學(xué)模型，對圓柱滾子軸承的運動狀態(tài)進(jìn)行仿真分析，其流程圖如圖3所示。

1)設(shè)定相關(guān)參數(shù)

輸入圓柱滾子軸承相關(guān)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，如內(nèi)徑di、外徑de、滾子個數(shù)Z、滾子直徑Dw、徑向游隙Pd、保持架兜孔的尺寸誤差Δδi等。

2)判斷滾子與內(nèi)圈是否發(fā)生干涉

圖3 仿真流程圖

仿真過程中,內(nèi)圈以一定的步長在給定的網(wǎng)格區(qū)域內(nèi)平移時，還需要判斷滾子與內(nèi)圈是否發(fā)生干涉，通過計算x軸下方所有滾子圓心到內(nèi)圈滾道曲線的最短距離t[i]來判斷，Eps為容許的誤差值(取圓度誤差值的0.1%)。若t[i]<ε=Dw-Eps，則滾子與內(nèi)圈發(fā)生干涉；若x軸下方所有的滾子均滿足t[i]>ε,則認(rèn)為該位置內(nèi)圈與滾子不發(fā)生干涉。

3)判斷滾子與內(nèi)圈是否有效接觸

先計算|t[i]-Dw|，若滿足|t[i]-Dw|

4)最優(yōu)的穩(wěn)定狀態(tài)

內(nèi)圈在平移的過程中,可能存在多個圓心坐標(biāo)使?jié)L子與內(nèi)圈滾道發(fā)生有效接觸，因此需要求出內(nèi)圈最容易達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)的圓心坐標(biāo)。將每組有效接觸滾子的圓心與內(nèi)圈的圓心相連，如圖4所示,通過比較其斜率之和的絕對值|K|確定最佳的圓心坐標(biāo)。

(14)

式中：ki為第i個滾子與內(nèi)圈接觸時滾子圓心與內(nèi)圈圓心相連的斜率。

圖4 內(nèi)圈穩(wěn)定狀態(tài)的判定

K越小，內(nèi)圈在該圓心位置所受到合力的方向與y軸之間的夾角就越小,內(nèi)圈就越容易達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。

5)仿真程序驗證

根據(jù)仿真程序可得到內(nèi)圈的徑向跳動值，但還需驗證其正確性，可使?jié)L子和內(nèi)圈處于某個特殊的位置來驗證。假設(shè)套圈和滾子均為理想尺寸，保持架單個兜孔存在尺寸誤差。圓柱滾子軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)見表1。

表1 圓柱滾子軸承參數(shù)

當(dāng)滾子位于y軸正下方(圖5)，內(nèi)圈與最下方的滾子接觸時，內(nèi)圈滾道的圓心坐標(biāo)取最大值ymax=-0.020 5 mm。10#，11#滾子關(guān)于y軸對稱(圖6)，當(dāng)內(nèi)圈與10#，11#滾子接觸時，內(nèi)圈滾道的圓心坐標(biāo)取最小值ymin。假設(shè)僅10#兜孔存在尺寸誤差0.3 mm,其他兜孔均為理想尺寸，由(3)式可求得10#，11#滾子之間夾角的變化量為0.009°。10#滾子的圓心坐標(biāo)為x10=-10.190 592 562 3，y10=-30.877 857 426；同理11#滾子的坐標(biāo)為x11=-x10，y11=y10。

圖5 內(nèi)圈圓心坐標(biāo)最大值的位置

圖6 內(nèi)圈圓心坐標(biāo)最小值時的位置

在等腰三角形OiO1O2中

(15)

由(15)式求得內(nèi)圈的圓心坐標(biāo)為(0,-0.021 049 9)。根據(jù)所求的圓心坐標(biāo)判斷內(nèi)圈滾道是否與第8#，9#，12#，13#滾子發(fā)生干涉?？傻肒ia=ymax-Δy= 0.000 549 9 mm,仿真結(jié)果Kia0=0.000 555 mm,相對誤差為0.92%。

當(dāng)保持架單個兜孔的尺寸誤差分別為0，0.1，0.2，0.4 mm時，內(nèi)圈徑向跳動值的驗算結(jié)果與仿真結(jié)果對比見表2。

表2 2種結(jié)果的對比

由表2可知，仿真結(jié)果和計算結(jié)果基本吻合，誤差相對較小，證明該算法能夠較準(zhǔn)確地預(yù)測保持架兜孔的尺寸誤差對軸承運動精度的影響。

3 算例分析

以某圓柱滾子軸承為例(結(jié)構(gòu)參數(shù)同表1)，通過上述數(shù)學(xué)模型分析保持架兜孔的尺寸誤差對軸承運動精度的影響。

3.1 單個兜孔尺寸誤差與軸承運動精度關(guān)系

3.1.1 僅考慮兜孔尺寸誤差的計算結(jié)果

保持架兜孔存在尺寸誤差時，誤差處的滾子與其他滾子之間的夾角將會發(fā)生變化。當(dāng)兜孔尺寸誤差處的滾子與套圈發(fā)生穩(wěn)定接觸時，會對軸承的運動精度產(chǎn)生一定的影響。假設(shè)保持架單個兜孔存在尺寸誤差，其他零件均為理想尺寸。內(nèi)圈轉(zhuǎn)動過程中，保持架隨內(nèi)圈轉(zhuǎn)動發(fā)生公轉(zhuǎn)。內(nèi)圈的徑向跳動隨兜孔尺寸誤差的變化如圖7所示。

圖7 兜孔尺寸誤差與內(nèi)圈徑向跳動關(guān)系

由圖7可知，當(dāng)保持架兜孔尺寸誤差為負(fù)時，隨兜孔尺寸誤差的減小，內(nèi)圈的徑向跳動呈線性增加。當(dāng)兜孔的尺寸誤差為正時，隨兜孔尺寸誤差的增大，內(nèi)圈的徑向跳動呈線性增加。兜孔的尺寸誤差為正和負(fù)時，內(nèi)圈的徑向跳動值曲線對稱，兜孔尺寸的正、負(fù)誤差對軸承運動精度的影響一致。兜孔為理想尺寸時，內(nèi)圈的徑向跳動值為0.000 527 5 mm，當(dāng)保持架兜孔的尺寸誤差為0.3 mm 時，內(nèi)圈的徑向跳動為0.000 555 mm，兩者相差較小，故保持架單個兜孔尺寸誤差對軸承運動精度影響較小。

3.1.2 考慮內(nèi)圈圓度誤差的計算結(jié)果

為了研究內(nèi)圈有圓度誤差的情況下，單個兜孔的尺寸誤差對軸承運動精度的影響。設(shè)內(nèi)圈滾道的Fourier級數(shù)諧波分量R(θ)=μ/2cos(10θ)，圓度誤差μ=6 μm，滾子和外圈均為理想尺寸。

由圖8可知，當(dāng)保持架兜孔的尺寸誤差為負(fù)時，隨兜孔尺寸誤差減小，內(nèi)圈的徑向跳動增大,軸承的運動精度變差。當(dāng)兜孔尺寸誤差為正時，內(nèi)圈徑向跳動值隨兜孔尺寸誤差的增加而變大，且其增加趨勢逐漸變緩,兜孔的尺寸誤差越大，對軸承運動精度越不利。兜孔尺寸誤差為正和負(fù)時，內(nèi)圈的徑向跳動曲線近似對稱，由此可知，保持架在單個兜孔存在尺寸誤差的情況下，兜孔的正、負(fù)誤差對軸承運動精度的影響基本相同。

圖8 單個兜孔尺寸誤差與內(nèi)圈徑向跳動關(guān)系

3.2 2個兜孔尺寸誤差與軸承運動精度關(guān)系

為研究保持架2個兜孔存在尺寸誤差對軸承運動精度的影響，現(xiàn)給出2個兜孔有尺寸誤差時的排布方式見表3(A為保持架兜孔的尺寸誤差值)。由兜孔尺寸誤差的排布方式及所建立的圓柱滾子軸承的數(shù)學(xué)模型，可知兜孔尺寸誤差的排布方式與軸承內(nèi)圈徑向跳動的關(guān)系如圖9所示。

表3 2個兜孔尺寸誤差的排布

圖9 2個兜孔的排布與內(nèi)圈徑向跳動關(guān)系

從圖9可以看出，4種排布方式中，a排布的內(nèi)圈徑向跳動最大，b，c，d排布的徑向跳動值相同，說明了這3種排布對運動精度的影響相同。其中,a排布為2個誤差的兜孔相鄰，b，c，d排布為2個誤差的兜孔不相鄰，當(dāng)兜孔誤差處的滾子與內(nèi)圈和外圈構(gòu)成穩(wěn)定接觸時，a排布中滾子間夾角的變化量最大，故該排布內(nèi)圈徑向跳動也最大。

3.3 3個兜孔尺寸誤差與軸承運動精度關(guān)系

為研究保持架3個兜孔存在尺寸誤差對軸承運動精度的影響，現(xiàn)給出3個兜孔存在尺寸誤差時的排布方式見表4( A為兜孔尺寸誤差值)。3個兜孔尺寸誤差的排布方式與軸承內(nèi)圈徑向跳動的關(guān)系如圖10所示。

表4 3個兜孔尺寸誤差的排布方式

圖10 3個兜孔的排布與內(nèi)圈徑向跳動關(guān)系

由圖10可知，內(nèi)圈的徑向跳動與保持架兜孔尺寸誤差值及誤差兜孔之間的排布方式有關(guān)。在4種排布方式中，e排布的內(nèi)圈徑向跳動值最大，f，g排布次之，h排布最小；這是由于f排布為3個有尺寸誤差的兜孔相鄰，當(dāng)兜孔尺寸誤差處所對應(yīng)的滾子與套圈構(gòu)成有效接觸時，滾子之間的夾角變化量最大，內(nèi)圈的圓心坐標(biāo)在y方向上的變化量也最大，軸承的徑向跳動值最大。而h排布中當(dāng)兜孔尺寸誤差處的滾子構(gòu)成有效接觸時，其間夾角的變化量最小，內(nèi)圈徑向跳動值也最小，此排布軸承的精度最優(yōu)。

3.4 多個兜孔尺寸誤差與軸承運動精度關(guān)系

為分析保持架多個兜孔尺寸誤差的排布方式對軸承運動精度的影響，考慮保持架兜孔的尺寸誤差按一定的規(guī)律排列，其排布方式見表5。保持架兜孔尺寸誤差的排布方式為：從2個尺寸誤差為0的兜孔向兩側(cè)逐漸增加或減小，能夠反映保持架兜孔的排布方式對軸承徑向跳動的影響。

表5 多個兜孔尺寸誤差的不同排布

由圖11可知,保持架兜孔尺寸誤差的排布方式對軸承內(nèi)圈徑向跳動的影響不同。1，3，5,7排布為從尺寸誤差為0的兜孔向兩側(cè)逐漸減??；2，4，6，8排布為從尺寸誤差為0的兜孔向兩側(cè)逐漸增加。在1～8組的排布中，排布1為徑向跳動最小的誤差組合，排布6為最大組合。在排布6中，尺寸誤差為0的兜孔左側(cè)，尺寸誤差為正，右側(cè)為負(fù)。當(dāng)左、右兩側(cè)兜孔處的滾子與套圈穩(wěn)定接觸時，滾子間的夾角變化量最大，此時內(nèi)圈的徑向跳動值最大。而排布1中，尺寸誤差為0的兜孔兩側(cè)，兜孔尺寸誤差的情況相同，在此種排布方式下，兩側(cè)兜孔處的滾子間夾角變化量最小,對內(nèi)圈徑向跳動的影響也最小。

圖11 多個兜孔排布與內(nèi)圈徑向跳動關(guān)系

4 結(jié)束語

基于所建立的圓柱滾子軸承數(shù)學(xué)模型，通過MATLAB進(jìn)行編程仿真，并驗證了該仿真算法的正確性，研究了保持架兜孔的尺寸誤差對軸承運動精度的影響規(guī)律。結(jié)果表明：隨著保持架兜孔尺寸誤差的增加,內(nèi)圈的徑向跳動值增大；保持架兜孔尺寸誤差對軸承運動精度會產(chǎn)生一定的影響，但影響有限；保持架兜孔尺寸誤差的合理排布可以減小軸承內(nèi)圈的徑向跳動，提高軸承的運動精度。所提出的算法可以有效地預(yù)測軸承的運動精度，為設(shè)計和開發(fā)高精度軸承提供理論指導(dǎo)。