李家賢，張海軍

(上海應用技術(shù)大學 機械工程學院，上海 201418)

靜壓氣體軸承具有高轉(zhuǎn)速、無磨損、無污染等特點，在承載及潤滑性能方面優(yōu)于普通氣體軸承，因而受到廣泛關(guān)注[1-8]。隨著制造技術(shù)的進步及相關(guān)領域的需求，靜壓氣體軸承向著微型化、高精度方向發(fā)展，如高轉(zhuǎn)速、超薄(振幅小于1 μm)磁頭/盤研究，以及高速轉(zhuǎn)子不平衡質(zhì)量偏心距小于0.6 μm條件下的微機電系統(tǒng)(MEMS)的應用等[1-8]。

現(xiàn)有靜壓氣體軸承的氣膜壓力、承載力、剛度等特性分析，主要是在較大氣膜間隙條件下(大于10 μm)基于傳統(tǒng)無滑移模型Reynolds方程[2-7]的數(shù)值分析。然而當氣膜間隙接近分子自由程時，氣體分子在壁面產(chǎn)生稀薄效應，引起的滑移流變得極其重要。在此條件下需采用經(jīng)過滑移流修正的模型[9-10]對靜壓氣體軸承的特性進行分析。各滑移修正模型已廣泛應用于實際工程研究，如通過一階滑移模型分析無孔氣浮軸承的力學特性，可以得到較好的結(jié)果[8,11-12]。使用Wu提出的新滑移模型可以進一步分析稀薄效應對氣浮軸承的氣膜壓力和承載特性的影響[13-15]。

考慮稀薄效應的影響，引入一階滑移和Wu新滑移修正項，對傳統(tǒng)無稀薄效應的連續(xù)模型主控Reynolds方程及流出流量進行修正，然后采用有限體積法離散Reynolds方程，采用基于流量守恒原理的數(shù)值計算法求解滑移修正后的模型，并探討稀薄效應對靜壓氣體軸承內(nèi)部壓強、承載力及剛度特性的影響。

1 靜壓氣體軸承建模

1.1 靜壓氣體軸承基本結(jié)構(gòu)

靜壓氣體軸承結(jié)構(gòu)如圖1所示。圖中，D為轉(zhuǎn)子直徑；L為軸長；N為沿周向均勻分布的節(jié)流孔數(shù)；l為節(jié)流孔距最近軸端的距離；d為孔徑；n為轉(zhuǎn)速；e為偏心距；h為氣膜厚度。hm為e=0時的平均氣膜間隙；θ為周向角；WH，WV分別為沿連心方向的承載力及與連心方向垂直的承載力；P1～P8為不同位置處節(jié)流孔的壓強。

圖1 靜壓氣體軸承結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of aerostatic bearing

1.2 有、無稀薄效應的Reynolds方程

假設氣體可壓縮，流動過程為等溫，則傳統(tǒng)連續(xù)、一階滑移及Wu新滑移修正的穩(wěn)態(tài)、量綱一化、定常Reynolds方程可寫為

(1)

Z=z/L，H=h/hm=1+εcosθ，

ε=e/hm，P=p/pa，

式中：Z為量綱一的軸向坐標；H為量綱一的氣膜厚度；ε為偏心率；P為量綱一的氣膜壓力；p為氣膜壓力；pa為標準大氣壓；Λ為壓縮系數(shù)；μ為氣體黏度；Kn為Knussen數(shù);Rg為理想氣體常數(shù)；T為絕對溫度；dλ為分子直徑；NA為Avogadro常數(shù)。不同模型對應不同的系數(shù)(bs，cs)見表1，其中α為協(xié)調(diào)系數(shù)；f=min[1/Kn,1]為取值函數(shù)。

表1 模型系數(shù)Tab.1 Coefficients of models

1.3 模型的離散與邊界條件

由于氣膜厚度比其他方向幾何尺寸小3～4個數(shù)量級且節(jié)流孔徑相對于軸套周長可以忽略，所以劃分網(wǎng)格時忽略圓柱表面曲率的影響，并把節(jié)流孔當作一個網(wǎng)格點處理[2-3, 16](圖2)。圖2中灰色陰影部分為用于每個節(jié)流孔質(zhì)量流量守恒迭代的影響域，大小為(2π/N-2Δθ)×(1/2-2ΔZ)，其中Δθ=2π/m，ΔZ=1/n為網(wǎng)格間距；m，n分別為θ，Z方向網(wǎng)格數(shù)。圖3陰影部分為單個離散點的控制體積單元。

圖2 離散網(wǎng)格系統(tǒng)Fig.2 Grid system of discrete points

圖3 控制體積單元Fig.3 Unit of control volume

通過有限體積法可將 (1) 式離散為[17]

aPPP=aEPE+aWPW+aNPN+aSPS，

(2)

其中，系數(shù)為

aE=max[(De-Fe/2)ΔZ,0]，

aW=max[(Dw+Fw/2)ΔZ,FwΔZ]，

aN=max[DnΔθ,0]，

aS=max[DsΔθ,0]，

aP=aW+aE+aS+aN+(Fe-Fw)ΔZ，

對流系數(shù)為

Fe=(ΛH)e，F(xiàn)w=(ΛH)w，

擴散系數(shù)為

De=[(1+6bsKn+12csKn)H3P]e/Δθ，

Dw=[(1+6bsKn+12csKn)H3P]w/Δθ，

Dn=(D/2L)2[(1+6bsKn+12csKn)H3P]n/ΔZ，

Ds=(D/2L)2[(1+6bsKn+12csKn)H3P]s/ΔZ。

求解 (2) 式的邊界條件為

大氣邊界：P(θ,Z=0)=1。

周期邊界：P(θ,Z)=P(2π+θ,Z)。

對稱邊界：(?P/?Z)(Z=0.5)=0。

2 數(shù)學計算

2.1 流量守恒及流量修正計算

假設氣體流經(jīng)節(jié)流孔為絕熱過程，則流入第σ(σ=1，2，…,N)個節(jié)流孔的質(zhì)量流量為[16]

(3)

ψσ=

Aσ=πdh，

節(jié)流孔后氣壓Pσ需根據(jù)流入流量Min,σ和流出流量Mout,σ相等的流量守恒原理(圖4，圖中R為徑向)確定。對第σ個節(jié)流孔區(qū)域有

圖4 單孔流量守恒原理Fig.4 Flow conserration principle of single hole

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

為了確定迭代收斂條件，定義各區(qū)域流量計算的誤差為

(9)

2.2 承載力和剛度

對面積求積分得到由沿連心方向的WH和與連心方向垂直的WV組成的承載力W及剛度K為

(10)

K=ΔW/Δe。

(11)

3 結(jié)果與討論

研究的靜壓氣體軸承參數(shù)為：D=4 mm，L=0.4 mm，l=L/4，N=8，d=0.05 mm。其他參數(shù)：ps=3×105Pa，φ=0.8[4]，k=1.41[16]，Eσ=10-6。

在hm=0.1 μm，ε=0.95，n=1×104r/min下沿θ=0°處的連續(xù)模型、一階滑移和Wu新滑移模型的氣膜壓力分布如圖5所示。由圖可知，各模型的氣壓在最小氣膜間隙處遠大于其他區(qū)域，并在靠近此處的節(jié)流孔發(fā)生物理回流現(xiàn)象(節(jié)流孔周圍的氣壓大于孔后氣壓)。這是因為最小氣膜間隙處的氣膜間隙遠小于其他區(qū)域，動壓效應較強，顯著增大了氣壓。而遠離此區(qū)域的動壓效應較弱，主要靠氣源壓力起靜壓支承作用，氣壓相對較小。通過對比可知，在最小氣膜間隙處，一階滑移、Wu新滑移模型的氣壓明顯小于連續(xù)模型，最高偏差率分別可達47.5%，61.7%。這是因為稀薄效應對最小氣膜間隙周圍速度場影響較大，使軸頸表面的切向流速降低、實際壓縮系數(shù)減小、氣壓降低。

圖5 不同模型的氣膜壓力分布(hm=0.1 μm, ε=0.95,n=1×104 r/min)Fig.5 Gas pressure distribution under different models(hm=0.1 μm, ε=0.95, n=1×104 r/min)

在ε=0.95，n=1×104r/min下，隨著平均氣膜間隙的變化，不同模型承載力和剛度曲線如圖6所示。由圖可知，當平均氣膜間隙相對較大時，各模型承載力較小、增幅較慢，且差異不明顯;當hm<1.0 μm時，承載力、剛度增幅變快，且結(jié)果偏差隨氣膜間隙的減小而迅速增大。這是因為動壓效應的增強使得承載力變大、增幅變快，間接影響剛度的變化，此外在稀薄效應的影響下，最小氣膜間隙處的氣壓顯著降低。而大部分承載力和剛度由最小氣膜間隙周圍的氣壓生成，所以偏差隨著稀薄效應的增強而增大。

圖6 平均氣膜間隙變化下不同模型的承載力和剛度曲線(ε=0.95, n=1×104 r/min)Fig.6 Capacity and stiffness curves of different models,under changing overage gas film clearance with ε=0.95, n=1×104 r/min

在hm=0.1 μm，ε=0.90下，隨著轉(zhuǎn)速的變化，不同模型的承載力和剛度曲線如圖7所示。由圖可知，在相對較低的轉(zhuǎn)速(0.5×104r/min1×104r/min后，動壓增幅作用減弱，使承載力的增幅變緩，間接使剛度增幅變緩。各模型之間的承載力及剛度偏差在一定范圍內(nèi)隨轉(zhuǎn)速的增大有顯著偏差。

圖7 轉(zhuǎn)速變化下不同模型的承載力和剛度曲線( hm=0.1 μm, ε=0.90)Fig.7 Capacity and stiffness curves of different models,under changing spead with hm=0.1 μm, ε=0.90

4 結(jié)束語

稀薄效應對靜壓氣體軸承承載和剛度特性的影響隨氣膜間隙的變化而改變顯著。在微小氣膜間隙條件下，連續(xù)模型高估了靜壓氣體軸承在最小氣膜間隙周圍的壓強、承載力及最終剛度，且結(jié)果偏差隨氣膜間隙的減小而增大，已無法用于靜壓氣體軸承特性的分析，需考慮稀薄效應的影響。綜合考慮物理上的真實性和稀薄效應的影響，使用滑移修正項對主控方程、流出流量進行修正，最終可得到較好的靜壓氣體軸承特性，為微尺寸下靜壓氣體軸承的設計提供了理論基礎。