耿明超 劉麗娟 張燦果 王嫣嫣 劉 愛(ài)

(1.河北建筑工程學(xué)院，河北 張家口 075000；2.張家口高新盛華熱力有限公司，河北 張家口 75000)

基于旋量代數(shù)的機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)建模及應(yīng)用

耿明超1劉麗娟1張燦果1王嫣嫣1劉 愛(ài)2

(1.河北建筑工程學(xué)院，河北 張家口 075000；2.張家口高新盛華熱力有限公司，河北 張家口 75000)

傳統(tǒng)的加速度用兩個(gè)三維矢量分別表示剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)和移動(dòng)，運(yùn)動(dòng)學(xué)及后續(xù)的動(dòng)力學(xué)建模過(guò)程復(fù)雜且極易出錯(cuò)，不能滿足構(gòu)型復(fù)雜機(jī)器人的建模需求.而旋量將剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)和移動(dòng)統(tǒng)一為一個(gè)整體，能夠簡(jiǎn)化剛體運(yùn)動(dòng)的表示形式.基于旋量代數(shù)的運(yùn)動(dòng)學(xué)建模方法，形式簡(jiǎn)潔、物理意義明確，為機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型、驅(qū)動(dòng)優(yōu)化及控制精度等問(wèn)題的研究提供了理論基礎(chǔ).

旋量代數(shù)；機(jī)器人；運(yùn)動(dòng)學(xué)；加速度

隨著全球制造業(yè)的轉(zhuǎn)型升級(jí)，機(jī)器人產(chǎn)業(yè)迅猛發(fā)展.智能、超常成為機(jī)器人新的發(fā)展趨勢(shì)，機(jī)器人的構(gòu)型更加復(fù)雜，尺寸極大(極小)，負(fù)載更大，精度更高，速度更快，這對(duì)機(jī)器人的建模及分析理論提出了更高的要求.機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)研究操作空間與關(guān)節(jié)空間之間的位置、速度及加速度之間的關(guān)系，是機(jī)器人軌跡規(guī)劃、動(dòng)力學(xué)分析及精確控制的基礎(chǔ).

在傳統(tǒng)的表示方法中，加速度用兩個(gè)三維矢量分別表示剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)和移動(dòng)，被割裂的轉(zhuǎn)動(dòng)和移動(dòng)部分分別推導(dǎo)，過(guò)程復(fù)雜且極易出錯(cuò)[1].而旋量將剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)部分和移動(dòng)部分統(tǒng)一為一個(gè)整體，能夠簡(jiǎn)化剛體運(yùn)動(dòng)的表示形式，兼?zhèn)鋷缀沃庇^性與代數(shù)抽象性.Ball[2]在其著作中指出，剛體的瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)可以用旋量表示.Mises[3]定義了旋量的叉積，并指出旋量的叉積能夠用來(lái)衡量旋量的變化特性.Karger等[4]揭示了旋量代數(shù)與李群、李代數(shù)的關(guān)聯(lián)性，使人們認(rèn)識(shí)到旋量是射影李代數(shù)元素，速度旋量是李代數(shù)se(3)的元素，而力旋量是對(duì)偶李代數(shù)se*(3)的元素.這使得兩個(gè)不同的理論相互豐富、共同發(fā)展.戴建生研究了旋量代數(shù)與機(jī)構(gòu)學(xué)的內(nèi)在聯(lián)系，并以此為工具對(duì)變胞機(jī)構(gòu)等進(jìn)行分析[5].旋量代數(shù)和李群/李代數(shù)在運(yùn)動(dòng)學(xué)方面的研究及應(yīng)用仍比較分散，不夠系統(tǒng).

本文給出一套推導(dǎo)過(guò)程簡(jiǎn)潔，物理意義明確的機(jī)器人(尤其是構(gòu)型復(fù)雜的并聯(lián)機(jī)器人)運(yùn)動(dòng)學(xué)建模方法，并以應(yīng)用廣泛的6-RUS并聯(lián)機(jī)器人為例驗(yàn)證上述建模方法.

1 剛體的旋量加速度

剛體對(duì)a點(diǎn)的旋量速度定義為：Va=(ωoa;νoa，其對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為：

(1)

其中，Aa為剛體的旋量加速度；ωoa、εoa分別為剛體的角速度、角加速度；νoa、αoa分別為剛體上質(zhì)心點(diǎn)a的速度、加速度.需要讀者注意的是，點(diǎn)a相對(duì)于固定坐標(biāo)系是運(yùn)動(dòng)的，是時(shí)間的函數(shù).剛體相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)o的旋量速度、加速度表示為V0、A0.將旋量從a點(diǎn)遷移到o點(diǎn)，旋量速度、加速度的方向不變，其對(duì)偶部分可表示為：

(2)

為了簡(jiǎn)化表示，后續(xù)部分將剛體對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)o的旋量速度、加速度的右上角標(biāo)忽略.

2 機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)建模

2.1 串聯(lián)分支的運(yùn)動(dòng)學(xué)Hessian矩陣

(3)

(4)

其中，

2.2 并聯(lián)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)Hessian矩陣

(5)

(6)

(7)

同理，機(jī)器人其它分支的主動(dòng)關(guān)節(jié)的加速度都可以得到.將所有分支主動(dòng)關(guān)節(jié)的加速度合成表示成一個(gè)矩陣的形式

(8)

(9)

(10)

3 數(shù)值算例

6-RUS并聯(lián)機(jī)器人如圖1所示，其動(dòng)、定平臺(tái)由6個(gè)RUS分支相連(R表示轉(zhuǎn)動(dòng)副，U表示萬(wàn)向節(jié)，S表示球副)，轉(zhuǎn)動(dòng)副為驅(qū)動(dòng)副.機(jī)器人的結(jié)構(gòu)參數(shù)如下：動(dòng)、定平臺(tái)鉸鏈點(diǎn)分布圓的直徑分別為0.6 m、1.0 m；動(dòng)、定平臺(tái)相近鉸鏈點(diǎn)的夾角分別為12.6°、38.1°；上、下連桿的長(zhǎng)度分別為lbc=0.5 m.lac=0.3 m；動(dòng)、定平臺(tái)的初始高度為0.5 m.

在動(dòng)平臺(tái)上建立動(dòng)系p-xyz，基座上建立定系o-xyz.bio(i=1,2,…6)為上鉸鏈點(diǎn)在p-xyz中的表示，bi、ai,(i=1,2,…6)則是上、下鉸鏈點(diǎn)在定系o-xyz中的表示.ni是轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線的單位矢量，可以通過(guò)鉸鏈點(diǎn)的布置形式得到.上鉸鏈點(diǎn)在定系中的表示如下bi=Ropbio+pop.其中，Rop是動(dòng)系相對(duì)于定系的旋轉(zhuǎn)矩陣，pop是動(dòng)系相對(duì)于定系的位置矢量.中間鉸鏈點(diǎn)ci的位置滿足如下約束方程：|bi-ci|=lbc，|ai-ci|=lac，(ai-ci)ni=0.其中，第三個(gè)方程式通過(guò)下連桿和轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線垂直得到的.求解約束方程組就可以得到中間鉸鏈點(diǎn)ci的坐標(biāo).

圖1 6-RUS并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖 圖2 RUS分支運(yùn)動(dòng)旋量

采用X-Y-Z歐拉角來(lái)描述機(jī)器人動(dòng)平臺(tái)的姿態(tài)，給定其運(yùn)動(dòng)規(guī)律如下：θx(t)=0.1745×sin(5t)rad,θy(t)=0.1745×sin(3t)rad.圖3(a)是根據(jù)論文第2部分的公式計(jì)算得到的，而圖3(b)則是采用Adams軟件仿真得到的.通過(guò)比較可知，圖3(a)和圖3(b)的結(jié)果一致，驗(yàn)證了論文中所提出的建模方法的正確性.

4 結(jié) 論

基于旋量代數(shù)，建立了串聯(lián)分支及并聯(lián)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，形式簡(jiǎn)潔緊湊，物理意義明確，適合于計(jì)算機(jī)編程，為后續(xù)動(dòng)力學(xué)模型、驅(qū)動(dòng)優(yōu)化及控制精度等問(wèn)題的研究提供了理論基礎(chǔ).

(a)理論計(jì)算結(jié)果 (b)Adams軟件仿真結(jié)果

圖3 6-RUS并聯(lián)機(jī)器人驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)加速度

[1]洪嘉振.計(jì)算多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)[M].北京:高等教育出版社,1999

[2]Ball R S.A Treatise on the Theory of Screws[M].Cambridge:Cambridge University Press,1900:45～60

[3]Mises R V.Motorrechnung,ein neues Hilfsmittel der Mechanik[J].Journal of Applied Mathematics and Mechanics/Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik,1924,4(2):155～181

[4]Karger A,Novák J,Basch M.Space Kinematics and Lie Groups[M].New York:Gordon and Breach Science Publishers,1985:78～102

[5]戴建生.旋量代數(shù)與李群、李代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2014

Robot Kinematics Modeling and Application Based on Screw Algebra

GENGMing-chao1,LIULi-juan1,ZHANGCan-guo1,WANGYan-yan1,LIUAi2

(1.Hebei University of Architecture,Zhangjiakou China,075000;2.Zhangjiakou Shenghua Heating Power Co.Ltd,Zhangjiakou China,075000)

Traditional acceleration represents the movement and rotation of rigid body with two three-dimensional vectors respectively,and the kinematics and the subsequent dynamics modeling process is complex and error-prone,which cannot meet the modeling requirements of the robot with complex configuration.The screw acceleration unites rotation and moving of rigid body as a whole,which simplifies the representation of a rigid body motion.The kinematics modeling method is concise in form and clear in physical meaning,which provides a theoretical basis for the research of dynamic model,drive optimization and controlling accuracy of robot.

screw algebra;robot;kinematics;acceleration

2016-12-02

河北省高等學(xué)校青年拔尖人才計(jì)劃項(xiàng)目(BJ2016017)、張家口市科技計(jì)劃項(xiàng)目(1621009B，1521007B)和河北建筑工程學(xué)院博士科研啟動(dòng)基金項(xiàng)目(B-201603)

耿明超(1984-)，男，講師，主要研究方向?yàn)椴⒙?lián)機(jī)器人技術(shù)及其應(yīng)用.

10.3969/j.issn.1008-4185.2017.02.028

TH 132.41

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