劉化普，劉慧卿，王敬，彭永燦，高陽(yáng)，李映艷

（1.中國(guó)石油大學(xué)（北京）石油工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 102249；2.中國(guó)石油新疆油田分公司勘探開發(fā)研究院，新疆 克拉瑪依 834000）

分形擬三重介質(zhì)致密油藏產(chǎn)能預(yù)測(cè)模型

劉化普1，劉慧卿1，王敬1，彭永燦2，高陽(yáng)2，李映艷2

（1.中國(guó)石油大學(xué)（北京）石油工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 102249；2.中國(guó)石油新疆油田分公司勘探開發(fā)研究院，新疆 克拉瑪依 834000）

致密油藏滲流機(jī)理復(fù)雜、產(chǎn)能預(yù)測(cè)難度大。文中引入分形理論，推導(dǎo)出基質(zhì)、天然微裂縫、人工裂縫的分形孔隙度和分形表觀滲透率。建立了考慮啟動(dòng)壓力梯度及壓敏效應(yīng)的分形擬三重介質(zhì)致密油藏?cái)?shù)學(xué)模型，推導(dǎo)出模型壓力解與動(dòng)態(tài)供給邊界的變化情況。在此基礎(chǔ)上，建立了產(chǎn)能預(yù)測(cè)模型，結(jié)合實(shí)例數(shù)據(jù)完成模型驗(yàn)證，進(jìn)行供給半徑和產(chǎn)能的動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)，并對(duì)非線性滲流參數(shù)進(jìn)行敏感性分析。結(jié)果表明：供給半徑隨時(shí)間非線性增加，同一時(shí)刻，啟動(dòng)壓力梯度及分形系數(shù)越大，供給半徑越??；分形致密油藏產(chǎn)能受非線性滲流參數(shù)的影響，啟動(dòng)壓力梯度越低，變形系數(shù)越小，分形系數(shù)越小，則日產(chǎn)量越高，反之日產(chǎn)量越低。

致密油；分形；三重介質(zhì)；基質(zhì)；裂縫；產(chǎn)能模型

0 引言

天然微裂縫發(fā)育的致密油藏具有低孔、低滲、低產(chǎn)能的特性，地層原油在流動(dòng)過(guò)程中不遵循達(dá)西定律，具有一定的啟動(dòng)壓力梯度。此外，由于裂縫發(fā)育，壓敏效應(yīng)也比較明顯［1-3］。致密油藏多采用體積壓裂方式開發(fā)生產(chǎn)［4］，經(jīng)過(guò)體積壓裂，形成人工裂縫、天然微裂縫、基質(zhì)擬三重介質(zhì)（區(qū)別于孔洞縫三重介質(zhì)）。由于致密油藏內(nèi)部孔隙結(jié)構(gòu)復(fù)雜，又有啟動(dòng)壓力梯度及應(yīng)力敏感效應(yīng)等非達(dá)西因子的影響，因此，對(duì)于致密油藏滲流機(jī)理與產(chǎn)能預(yù)測(cè)的研究比較困難。為了探究這些規(guī)律，國(guó)內(nèi)外很多專家學(xué)者在歐式幾何基礎(chǔ)上提出了不同產(chǎn)能預(yù)測(cè)模型［5-9］。然而實(shí)際地層中裂縫分布復(fù)雜，歐式幾何空間難以描述裂縫實(shí)際分布情況，而分形理論恰好能對(duì)不規(guī)則、不均勻的復(fù)雜系統(tǒng)進(jìn)行比較精確的描述。自1979年Mandelbrot等［10］首次提出分形概念以來(lái)，分形理論便被運(yùn)用到描述復(fù)雜物體當(dāng)中，且取得較大進(jìn)展。后來(lái)，很多學(xué)者將分形理論引入到滲流力學(xué)當(dāng)中，建立分形滲流模型，分析滲流特征［11-14］。因此，本文引入分形理論，建立了基質(zhì)-天然微裂縫-人工裂縫分形擬三重介質(zhì)模型，并在此基礎(chǔ)之上推導(dǎo)出體積壓裂水平井產(chǎn)能預(yù)測(cè)模型。通過(guò)與實(shí)際生產(chǎn)數(shù)據(jù)對(duì)比，證明了模型的正確性，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)對(duì)致密油藏的產(chǎn)能預(yù)測(cè)。

1 擬三重介質(zhì)致密油藏分形模型

研究表明，巖石、土壤等真實(shí)多孔介質(zhì)在一定尺度范圍內(nèi)都具有分形特征，分形多孔介質(zhì)的管徑及迂曲度滿足分形標(biāo)度率［15-16］。

1.1 基質(zhì)孔隙系統(tǒng)

基質(zhì)系統(tǒng)采用分形迂曲毛束管模型，模型由一束不同直徑的彎曲毛細(xì)管組成，任意2根毛細(xì)管間彼此獨(dú)立，彎曲毛細(xì)管的直徑與迂曲度滿足分形標(biāo)度率。

通過(guò)對(duì)單位分形集內(nèi)孔隙進(jìn)行積分運(yùn)算，可得基質(zhì)系統(tǒng)分形孔隙度φm的表達(dá)式：

結(jié)合 Hagen-Poiseuille 方程，并根據(jù) Carman［17］對(duì)彎曲管束的修正公式，可進(jìn)一步得到基質(zhì)系統(tǒng)分形表觀滲透率Km的表達(dá)式：

1.2 天然微裂縫系統(tǒng)

天然微裂縫系統(tǒng)采用分形面縫模型，裂縫寬度與迂曲度滿足分形標(biāo)度率。

通過(guò)對(duì)單位分形集內(nèi)裂縫進(jìn)行積分運(yùn)算，可得裂縫系統(tǒng)分形孔隙度φf(shuō)的表達(dá)式：

結(jié)合基質(zhì)系統(tǒng)的推導(dǎo)過(guò)程，同理可得天然微裂縫系統(tǒng)分形表觀滲透率Kf的表達(dá)式：

1.3 人工裂縫系統(tǒng)

對(duì)于致密油藏，基質(zhì)、天然微裂縫、人工裂縫擬三重介質(zhì)構(gòu)成連通的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，從而獲得經(jīng)濟(jì)產(chǎn)能。由于人工裂縫形態(tài)復(fù)雜，為了簡(jiǎn)化計(jì)算，同時(shí)又能盡量符合人工裂縫真實(shí)形態(tài)，在結(jié)合天然微裂縫分形面縫模型的基礎(chǔ)上，本文提出分形面縫二叉樹模型描述人工裂縫系統(tǒng)分形特征。假設(shè)一條二叉樹面縫有k級(jí)分級(jí)，每級(jí)裂縫的縫高都為hf，任意相鄰2級(jí)裂縫間縫寬滿足等比級(jí)差：

由此可推導(dǎo)出人工裂縫系統(tǒng)分形孔隙度φF的表達(dá)式：

結(jié)合基質(zhì)系統(tǒng)推導(dǎo)過(guò)程，進(jìn)一步可得人工裂縫系統(tǒng)分形表觀滲透率KF的表達(dá)式：

2 分形擬三重介質(zhì)致密油藏?cái)?shù)學(xué)模型

2.1 概念模型

用分形表觀滲透率與分形孔隙度分別修正基質(zhì)、天然微裂縫、人工裂縫的滲透率與孔隙度，模型其他假設(shè)條件為：1）致密油藏地層水平、等厚，橫向無(wú)限大；2）致密油藏基質(zhì)與天然微裂縫作為“源”，基質(zhì)中的流體流向天然微裂縫，天然微裂縫流向人工裂縫，只有人工裂縫中的流體流向井筒；3）不考慮重力與毛細(xì)管力的影響；4）單相微可壓縮流體，考慮啟動(dòng)壓力梯度與應(yīng)力敏感性，不考慮溫度的變化。

2.2 數(shù)學(xué)模型

引入擬壓力函數(shù)，表征應(yīng)力敏感效應(yīng)：

由此得到考慮啟動(dòng)壓力梯度及應(yīng)力敏感效應(yīng)的分形擬三重介質(zhì)致密油藏?cái)?shù)學(xué)模型：

2.3 數(shù)學(xué)模型求解

通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行Laplace變換，結(jié)合Besself方程及格林函數(shù)，從而得到Laplace空間考慮啟動(dòng)壓力梯度及應(yīng)力敏感效應(yīng)的壓力解：

給定tD，reD，按式（11）所得的解析解進(jìn)行Stefhest數(shù)值反演，從而得到無(wú)因次擬壓力ψFD（tD，reD）。若此壓力低于無(wú)因次啟動(dòng)壓力，減小reD，否則增大reD，從而通過(guò)迭代法獲得供給邊界隨時(shí)間的變化情況。

3 分形擬三重介質(zhì)致密油藏產(chǎn)能模型

假設(shè)經(jīng)過(guò)體積壓裂形成橢圓形的縫網(wǎng)，對(duì)于單根主裂縫所控制的滲流場(chǎng)可分為4個(gè)區(qū)，即主裂縫區(qū)、分形人工裂縫控制區(qū)、分形天然微裂縫控制區(qū)和基質(zhì)區(qū)。

3.1 主裂縫區(qū)

主裂縫滲透率較高，流體沿主裂縫呈線性流動(dòng)，由此得到主裂縫區(qū)產(chǎn)能預(yù)測(cè)公式：

3.2 人工裂縫控制區(qū)

人工裂縫控制區(qū)可將主裂縫簡(jiǎn)化為線源，流體在人工裂縫控制區(qū)內(nèi)將發(fā)生二維非達(dá)西橢圓滲流［18］。引入橢圓坐標(biāo) （ξ，η），考慮啟動(dòng)壓力梯度及應(yīng)力敏感效應(yīng)，由此可以得到人工裂縫控制區(qū)產(chǎn)能預(yù)測(cè)公式：

3.3 天然微裂縫控制區(qū)

結(jié)合人工裂縫簡(jiǎn)化條件，容易得到考慮啟動(dòng)壓力梯度及應(yīng)力敏感效應(yīng)的天然微裂縫區(qū)產(chǎn)能預(yù)測(cè)公式：

3.4 基質(zhì)控制區(qū)

隨著裂縫內(nèi)原油逐漸被開采出來(lái)，裂縫區(qū)壓力下降，基質(zhì)內(nèi)流體開始向裂縫區(qū)竄流?；|(zhì)內(nèi)流體流動(dòng)表現(xiàn)為低速非達(dá)西滲流，由此得到基質(zhì)控制區(qū)的產(chǎn)能預(yù)測(cè)公式：

3.5 單井產(chǎn)能模型

根據(jù)等值滲流原理，假設(shè)第i條主裂縫受相鄰裂縫的干擾面積為Si，由此可得到單根壓裂主裂縫產(chǎn)能預(yù)測(cè)公式：

假設(shè)壓裂后形成n條主裂縫，由此可得到致密油藏體積壓裂水平井產(chǎn)能模型：

4 應(yīng)用實(shí)例分析

運(yùn)用所得到的產(chǎn)能模型，進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)實(shí)例擬合，從而驗(yàn)證模型的正確性，再進(jìn)一步進(jìn)行產(chǎn)能與供給邊界預(yù)測(cè)。算例中致密油藏JHW019井基本參數(shù)見表1。

表1 致密油藏基礎(chǔ)參數(shù)

4.1 致密油藏產(chǎn)能預(yù)測(cè)

運(yùn)用本文所推導(dǎo)的產(chǎn)能模型，結(jié)合算例中致密油藏的基本參數(shù)，進(jìn)行歷史擬合，并對(duì)JHW019井進(jìn)行產(chǎn)能預(yù)測(cè)，結(jié)果見圖1。從圖可以看出：本文推導(dǎo)的分形擬三重介質(zhì)致密油藏產(chǎn)能模型計(jì)算值與實(shí)際值擬合程度較高；致密油藏開發(fā)初始階段產(chǎn)能下降較快，之后逐漸趨于平穩(wěn)，穩(wěn)產(chǎn)后日產(chǎn)油量約3 t。

圖1 JHW019井產(chǎn)量預(yù)測(cè)

4.2 致密油藏供給邊界預(yù)測(cè)

結(jié)合算例中基本參數(shù)，通過(guò)Stehfest數(shù)值反演及牛頓迭代，借助Matlab編程，可以得到分形擬三重介質(zhì)致密油藏在不同啟動(dòng)壓力梯度及分形系數(shù)下，供給半徑隨時(shí)間的變化曲線（見圖2）。由圖可知：供給半徑隨時(shí)間的增加呈非線性增加。初始階段，供給半徑增加較快，隨著時(shí)間的增加，供給半徑增加幅度逐漸變緩，這是由于初始階段主要是裂縫區(qū)參與滲流，壓力波傳播速度快，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，壓力波在基質(zhì)中傳播，供給半徑增加幅度下降。啟動(dòng)壓力梯度及分形系數(shù)越大，曲線位置越往下，同一時(shí)刻，供給半徑越小。其中：隨著啟動(dòng)壓力梯度等間距增大，供給半徑下降幅度逐漸減??；而隨著分形系數(shù)的增大，供給半徑下降幅度變化不明顯——說(shuō)明了啟動(dòng)壓力梯度相對(duì)分形系數(shù)有更強(qiáng)的敏感性。

圖2 不同非線性參數(shù)下供給半徑隨時(shí)間的變化

4.3 非線性滲流參數(shù)敏感性分析

分形擬三重介質(zhì)致密油藏產(chǎn)能受到啟動(dòng)壓力梯度、壓敏效應(yīng)、分形系數(shù)等非線性參數(shù)的影響，因此，本文分別對(duì)啟動(dòng)壓力梯度、變形系數(shù)及分形系數(shù)進(jìn)行敏感性分析，結(jié)果見圖3。由圖3a可以看出，啟動(dòng)壓力梯度越大，初期產(chǎn)能下降越快，總體產(chǎn)能越低。由圖3b可以看出：開發(fā)初期，壓敏效應(yīng)作用明顯，產(chǎn)能遞減快；變形系數(shù)越大，日產(chǎn)油量越低，但是整個(gè)曲線的遞減趨勢(shì)是相同的。由圖3c可以看出：分形系數(shù)越大，單位分形集內(nèi)裂縫與孔隙迂曲程度越大，致密油藏滲流阻力增大，物性變差，產(chǎn)能下降；分形系數(shù)越大，日產(chǎn)油量越低，但是分形系數(shù)只影響產(chǎn)量的相對(duì)高低，并不影響產(chǎn)量遞減的趨勢(shì)。

5 結(jié)論

1）運(yùn)用分形理論，推導(dǎo)出分形孔隙度及分形表觀滲透率表達(dá)式，建立考慮啟動(dòng)壓力梯度及應(yīng)力敏感效應(yīng)的分形擬三重介質(zhì)致密油藏?cái)?shù)學(xué)模型，并通過(guò)Laplace變換、Stehfest數(shù)值反演及牛頓迭代的方法得到供給半徑變化情況。所建立的分形擬三重介質(zhì)致密油藏產(chǎn)能預(yù)測(cè)模型計(jì)算值與實(shí)際值擬合程度較高，可以用于致密油藏的供給半徑及產(chǎn)能預(yù)測(cè)。

2）致密油藏的供給半徑隨時(shí)間非線性增加，同一時(shí)刻，啟動(dòng)壓力梯度及分形系數(shù)越大，供給半徑越?。粏?dòng)壓力梯度、變形系數(shù)及分形系數(shù)均會(huì)影響分形致密油藏的產(chǎn)能，啟動(dòng)壓力梯度越低、變形系數(shù)及分形系數(shù)越小，日產(chǎn)油量越高，反之越低。

3）分形理論能夠較精確地描述不規(guī)則、不均勻的物體，對(duì)于孔隙結(jié)構(gòu)復(fù)雜的致密油藏，運(yùn)用分形理論進(jìn)行滲流規(guī)律分析及產(chǎn)能預(yù)測(cè)將得到更深入的研究。

圖3 不同非線性參數(shù)敏感性分析

6 符號(hào)注釋

N為彎曲毛細(xì)管數(shù)目；d，dmax分別為毛細(xì)管管徑、最大毛細(xì)管管徑，m；L，Le分別為毛細(xì)管表觀長(zhǎng)度、毛細(xì)管實(shí)際長(zhǎng)度，m；δ為迂曲分形維數(shù)；Dm，Df分別為基質(zhì)管徑、裂縫縫寬分形維數(shù)；ζ為最小孔道直徑與最大孔道直徑之比；r，rw，re分別為滲流半徑、井筒半徑、供給邊界半徑，m；w，wmax分別為裂縫寬度、最大裂縫寬度，m；hf為裂縫高度，m；t為時(shí)間，s；Ct為綜合壓縮系數(shù)，Pa-1；為彈性儲(chǔ)容比；α 為分形系數(shù)；λfF，λmf分別為天然微裂縫、基質(zhì)竄流系數(shù)；αm，αf分別為基質(zhì)、天然微裂縫形狀因子，m-2；ψ，ψi，ψm1，ψm2，ψm3，ψw，ψe分別為擬壓力、初始擬壓力、地層與主裂縫邊緣交界面處的擬壓力、人工裂縫控制區(qū)邊緣擬壓力、天然微裂縫控制區(qū)邊緣壓力、井底流壓、供給邊緣的壓力，Pa；q1，q2，q3，q4分別為主裂縫、人工裂縫、天然微裂縫、基質(zhì)控制區(qū)流量，m3/s；H 為地層厚度，m；G 為啟動(dòng)壓力梯度，Pa/m；B 為體積系數(shù)；po，p 分別為初始、目前壓力，Pa；γ 為滲透率變形系數(shù)，Pa-1；u 為 Laplace 空間變量；f （u）為中間變量；為 Laplace 空間無(wú)因次擬壓力；Il，Kl為 l階貝塞爾函數(shù)；xf為裂縫半長(zhǎng)，m；ξ1，ξ2，ξF分別為人工裂縫橢圓滲流區(qū)、天然微裂縫橢圓滲流區(qū)、地層與主裂縫邊緣交界面處的橢圓坐標(biāo)；a1，a2分別為人工裂縫控制區(qū)、天然微裂縫控制區(qū)橢圓長(zhǎng)軸，m；Q為水平井產(chǎn)能，m3/s；下標(biāo)m，f，F(xiàn) 分別表示基質(zhì)、天然微裂縫、人工裂縫；下標(biāo)j代表m，f，F(xiàn)；下標(biāo)D表示無(wú)因次；下標(biāo)i表示第i條裂縫。

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（編輯 史曉貞）

Productivity prediction model of fractal pseudo-triple medium tight oil reservoirs

LIU Huapu1,LIU Huiqing1,WANG Jing1,PENG Yongcan2,GAO Yang2,LI Yingyan2
(1.MOE Key Laboratory of Petroleum Engineering,China University of Petroleum,Beijing 102249,China;2.Research Institute of Exploration and Development,Xinjiang Oilfield Company,PetroChina,Karamay 834000,China)

In tight oil reservoir,it is difficult to study the percolation mechanism and productivity prediction.However,fractal theory provides a method to describe the complex system.Therefore,this paper introduces the fractal theory to deduce matrix,natural micro fractures,artificial fractures′fractal fracture porosity and fractal apparent permeability.The mathematical model of the pseudo-triple medium tight oil reservoir with the starting pressure gradient and the stress sensitive effect was established.The pressure solution of the model and the change of the radius of the oil discharge were derived.On the basis of the above,the productivity prediction model was established.Combined with the field data,the fractal model presented in this paper was verified.After that,supply radius and production were predicted.Finally,nonlinear parameter sensitivity analysis was conducted.The results show that with the increase of time,the supply radius increases nonlinearly.At the same time,the larger the starting pressure gradient and fractal coefficient are,the smaller the supply radius is;nonlinear parameters have a great effect on production of fractal tight oil reservoirs.The lower the starting pressure gradient is,the smaller the deformation coefficient is;the smaller the fractal coefficient is,and the higher the daily output is.

tight oil;fractal;triple medium;matrix;fracture;productivity model

TE319

A

國(guó)家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃（973計(jì)劃）項(xiàng)目“典型致密油藏開發(fā)系統(tǒng)優(yōu)化研究”（2015CB250906）

10.6056/dkyqt201704022

2017-01-27；改回日期：2017-05-15。

劉化普，男，1993年生，在讀碩士研究生，研究方向?yàn)橛筒財(cái)?shù)值模擬與提高采收率。E-mail：liuhuapu@foxmail.com。

劉化普，劉慧卿，王敬，等.分形擬三重介質(zhì)致密油藏產(chǎn)能預(yù)測(cè)模型［J］.斷塊油氣田，2017，24（4）：536-540，556.

LIU Huapu，LIU Huiqing，WANG Jing，et al.Productivity prediction model of fractal pseudo-triple medium tight oil reservoirs［J］.Fault-Block Oil&Gas Field，2017，24（4）：536-540，556.