張亞軍,張雨奇
(1.杭州軸承試驗(yàn)研究中心有限公司,杭州 310022;2.貢比涅技術(shù)大學(xué),法國 貢比涅 60200)
在大多數(shù)應(yīng)用中,向心滾子軸承不僅要承受徑向載荷,還要承受軸向載荷,帶擋邊的圓柱滾子軸承是其中之一。文獻(xiàn)[1]有關(guān)于向心滾子軸承軸向承載能力的介紹。軸向承載能力與材料的疲勞強(qiáng)度無關(guān),而與滾子端面和引導(dǎo)擋邊的接觸和潤(rùn)滑條件有關(guān)。在沒有流體潤(rùn)滑時(shí),軸向載荷會(huì)使?jié)L子端面和擋邊之間產(chǎn)生摩擦,如果載荷條件惡劣,則會(huì)迅速發(fā)生破壞。而球端面滾子與擋邊間易形成油膜,會(huì)降低摩擦因數(shù)與接觸溫度。球端面滾子與平端面相比,在較高的軸向載荷下不發(fā)生咬合現(xiàn)象。球端面與擋邊的接觸對(duì)于接觸應(yīng)力、接觸變形、油膜厚度、摩擦因數(shù)、摩擦力矩等均有影響。若想得到最大的油膜厚度、最小接觸應(yīng)力及摩擦因數(shù)等,需找到最佳接觸位置。
文獻(xiàn)[2]介紹了接觸位置尋優(yōu)的一種試驗(yàn)方法,該方法與圖解法相同,求解不準(zhǔn)確,且計(jì)算程序僅考慮了載荷與變形,油膜厚度、摩擦因數(shù)等都是把位置確定后再進(jìn)行核算,其成本較高。鑒于此,通過對(duì)接觸位置受力及流體潤(rùn)滑分析,建立以接觸應(yīng)力、接觸變形、油膜厚度為多目標(biāo)的模糊優(yōu)化模型,用模糊優(yōu)化法求解。并求解最佳模糊水平截集,確定最佳接觸位置。引入模糊數(shù)學(xué)的基本思想,不僅解決了多目標(biāo)優(yōu)化問題,同時(shí)也兼顧了一些難以用模型來表達(dá)的主觀和客觀因素,得到在不同最優(yōu)水平值下的優(yōu)化方案,以供用戶選擇。
滾子端面和擋邊接觸如圖1所示,A為接觸點(diǎn),θ為擋邊角度,S為滾子球端面半徑,R為滾子半徑,h為擋邊高度,t為擋邊倒角,r為滾道油溝半徑,F(xiàn)r為徑向載荷,F(xiàn)a為軸向載荷。以θ,S為設(shè)計(jì)變量,假設(shè)滾子端面和擋邊的接觸為球與平面的點(diǎn)接觸。
圖1 滾子端面和擋邊接觸Fig.1 Contact between roller end face and rib
1)目標(biāo)函數(shù)1:最小油膜厚度
滾子與擋邊接觸狀態(tài)如圖2所示,量綱一的最小油膜厚度為[3-4]
圖2 滾子與擋邊接觸示意圖Fig.2 Contact diagram between roller end face and rib
式中:U為速度參數(shù);G為材料參數(shù);W′為載荷參數(shù);Q為接觸載荷;E0為當(dāng)量彈性模量;α1為黏度壓力系數(shù);n0為黏度;u為平均速度;Rx為曲率半徑。
(1)式可化簡(jiǎn)為
滾子與擋邊受力示意圖如圖3所示,假設(shè)滾子球端面與擋邊的接觸為點(diǎn)接觸。
圖3 受力示意圖Fig.3 Diagram of force
由幾何關(guān)系可知,滾子與擋邊間接觸位于擋邊倒角與滾道之間,即
以θ,S為設(shè)計(jì)變量,令 θ=X(1),S=X(2),設(shè)計(jì)變量 X=[X(1),X(2)]T,最小目標(biāo)函數(shù)
其中:fX(1),fX(2),fX(3)分別為以油膜厚度、接觸應(yīng)力、變形量為目標(biāo)函數(shù)。
約束條件為
在滿足(12)式約束條件的情況下,求 X=[X(1),X(2)]T。
以fX(1)為目標(biāo)函數(shù),以 fX(2),fX(3)為約束條件。
(16)式由于對(duì) fX(2),fX(3)約束太嚴(yán)格,使fX(1)得益較少,其結(jié)果偏重 fX(2),fX(3),而且也可能不收斂,可在fX(2)和 fX(3)的約束中加上允許放寬值,約束條件變?yōu)?/p>
式中:Δ2,Δ3分別為允許放寬值,可引入模糊優(yōu)化設(shè)計(jì)確定其值。
模糊優(yōu)化數(shù)學(xué)模型與普通優(yōu)化數(shù)學(xué)模型類似,只是其中包含有模糊因素(即水平截集)。建立模糊優(yōu)化模型,需確定隸屬函數(shù)。所謂隸屬函數(shù)就是在容許到不容許界限之間的過渡區(qū)容許度(隸屬度)的變化,變化復(fù)雜,但一般取最簡(jiǎn)單的直線變化(圖4中的AC段)。圖4中,μ為隸屬度;λ為水平截集;P0為模糊函數(shù)在過渡區(qū)的變化;PT,Pλ分別為其在允許區(qū)和不允許區(qū)的臨界值(B點(diǎn)和C點(diǎn))。
圖4 隸屬函數(shù)關(guān)系圖Fig.4 Graph of membership function relation diagram
水平截集為λ,令P=σ,則應(yīng)力與隸屬度的關(guān)系為
模糊優(yōu)化模型的求解方法有基本解法、最優(yōu)水平截集法、近似模糊集合法,實(shí)際中均很少應(yīng)用。文獻(xiàn)[4]中提出了綜合評(píng)判求解最優(yōu)水平截集后,使水平截集法得到廣泛應(yīng)用,下文介紹用綜合評(píng)判法求解最優(yōu)水平截集λ*。
設(shè)主觀不確定因素為:S1為設(shè)計(jì)力量,S2為加工技術(shù),S3為成本,S4為材料性能,S5為管理水平,則因素集 U=[S1,S2,S3,S4,S5],設(shè)決斷集為α=[0,0.1,0.2,…,0.8,0.9,1]。
對(duì)滾子球端面和擋邊進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì),以NF209軸承為例,其結(jié)構(gòu)參數(shù)為:d=45 mm,D=85 mm,B=19 mm,R=5 mm,h=2 mm,t=0.3 mm,r=0.8。Fr=10 kN,F(xiàn)a=5 kN。
分別對(duì)(17)~(19)式求單目標(biāo)優(yōu)化并分別計(jì)算每種優(yōu)化狀態(tài)下另2種情況的結(jié)果,見表1。
表1 單目標(biāo)優(yōu)化Tab.1 Single objective optimization
設(shè)主觀因素集 U=[S1,S2,S3,S4,S5]=[0.4,0.2,0.2,0.1,0.1],代入(24)式得最優(yōu)水平截集,由(21)式得多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)計(jì)算結(jié)果:水平截集為0.83,X(1)=0.03,X(2)=90.02。
1)選取3個(gè)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化求解可以平衡軸承的整體性能,結(jié)果更接近實(shí)際工況,但會(huì)損失某單一目標(biāo)值。綜合評(píng)判法求解為最優(yōu)方案。
2)模糊優(yōu)化設(shè)計(jì)不僅解決了多目標(biāo)函數(shù)的問題,同時(shí)也兼顧一些難以用模型來表達(dá)的主觀因素和客觀因素,使優(yōu)化方案更接近實(shí)際工況。通過模糊化可得到不同的最優(yōu)方案,以供用戶選擇。
3)分析結(jié)果可指導(dǎo)試驗(yàn)分析,因素集的選取要根據(jù)具體制造工藝及經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行調(diào)整。