朱帥帥，袁宏俊

（安徽財經大學統(tǒng)計與應用數學學院，安徽蚌埠233030）

基于向量夾角余弦與IGOWA算子的區(qū)間組合預測模型

朱帥帥，袁宏俊

（安徽財經大學統(tǒng)計與應用數學學院，安徽蚌埠233030）

針對區(qū)間數的組合預測問題，利用連續(xù)有序加權平均算子，構造每一期單項預測區(qū)間值的預測精度，并以每期預測精度為誘導值，引入廣義的誘導有序加權平均（IGOWA）算子，分別對區(qū)間數的左右端點，以向量夾角余弦為準則，建立基于廣義誘導有序加權平均算子的多目標區(qū)間組合預測模型，然后將其轉化為單目標規(guī)劃問題進而求出權重.最后，通過實例表明所構建模型能夠有效降低預測誤差.

連續(xù)有序加權平均算子；向量夾角余弦；誘導廣義有序加權平均算子；區(qū)間組合預測

0 引言

自Bates和Granger開創(chuàng)組合預測[1]以來，組合預測的理論與方法得到了飛速的發(fā)展.陳華友（2006）以向量夾角余弦為準則，建立了加權算術平均組合預測模型，其研究在理論上說明了基于向量夾角余弦的線性組合預測的有效性[2].楊蕾（2013）將誘導廣義OWA算子運用到組合預測模型中，以最大-最小貼近度為準則建立最優(yōu)組合預測模型[3].繼數值型組合預測模型之后，區(qū)間組合預測模型成了研究的熱點.王曉等（2010）建立了基于誘導有序加權平均（IOWA）算子的區(qū)間組合預測模型[4].陶志富等（2010）在向量夾角余弦準則下，對區(qū)間組合預測建立了多目標組合預測模型[5].胡凌云等（2013）從區(qū)間數的左右端點出發(fā)建立區(qū)間組合預測模型，引入誘導有序加權幾何平均（IOWGA）算子，在對數誤差平方和的準則下，對區(qū)間數的左、右端點分別構造基于IOWGA算子的變權系數最優(yōu)組合預測模型，把多目標最優(yōu)化模型通過引入偏好系數處理，進而轉化為單目標最優(yōu)化模型[6].金飛飛等（2013）將連續(xù)有序加權平均算子（COWA）與誘導有序加權平均算子結合，把COWA算子下的預測精度看成區(qū)間預測值的誘導值，并在COWA算子基礎上以區(qū)間組合預測誤差平方和為準則建立區(qū)間組合最優(yōu)模型[7].江立輝（2014）對連續(xù)區(qū)間數廣義有序加權平均算子作出了定義，并將誘導有序加權平均（IOWA）算子和連續(xù)區(qū)間數廣義有序加權平均（C-GOWA）算子相結合，提出誘導有序加權連續(xù)區(qū)間廣義有序加權平均（IOWC-GOWA）算子的概念[8].胡紀綱（2016）利用誘導有序加權幾何平均（IOWGA）算子，將區(qū)間視作整體，以灰色區(qū)間關聯度作為誘導準則，建立左右端點權重不相等的常規(guī)的區(qū)間組合預測模型[9].本文借鑒前人的研究成果，引入COWA算子，建立預測精度以及廣義誘導有序加權平均算子（IGOWA），以向量夾角余弦為準則建立多目標的區(qū)間組合預測模型，進一步，引入平衡系數將其轉換成單目標的區(qū)間組合預測模型并實現計算.最后，通過實例分析結果顯示所構建的模型是合理和有效的.

1 基本概念

記X=[x-，x+]，其中x-，x+∈R，x-燮x+，則X為一區(qū)間，當x-=x+時，區(qū)間X退化為普通實數.

對于區(qū)間數X=[x-，x+]，令，分別稱c，r為區(qū)間數X的中點與半徑.故區(qū)間數X可以表示為（c，r）.

令區(qū)間數為Xt，t=1，2…n，ct，rt分別表示為區(qū)間數Xt的中點和半徑，預測區(qū)間值為X贊t，t=1，2…n，c贊t，r贊t為X贊t的中點和半徑.

定義1[10]分別記，θ=rt-r贊t準=ct-c贊t為Xt，X贊t的長度誤差和位置誤差，從而可定義平均區(qū)間長度誤差平方和MSEL與平均區(qū)間位置誤差平方和MSEP分別為：

稱MSEI=MSEL+MSEP為平均區(qū)間誤差平方和，n代表樣本數.

定義3[11]設[a，b]為區(qū)間數，稱

為連續(xù)區(qū)間數有序加權平（COWA）算子，其中Q（z）：[0，1]→[0，1]稱之為基本的單位區(qū)間單調（BUM）函數，滿足Q（0）=0；Q（1）=1；當z1＞z2時，Q（z1）＞Q（z2）.

令

稱eit為第i單項預測方法第t時刻COWA算子下的區(qū)間預測相對誤差.

為廣義誘導有序加權平均算子，其中參數λ∈（-∞，0）∩（0，∞），u-index（i），是u1，u2，…，un，從大到小排列，第i大的數的下標.ui為ai的誘導值.

設

稱ait為第i種單項預測方法t時刻在COWA算子下的預測精度.顯然ait∈[0，1]，i=1，2，…m，t=1，2，…n.把在COWA算子下的預測精度作為誘導值，由此可以構造m個二維數組：＜a1t，x1t＞，＜a2t，x2t＞，…＜amt，xmt＞，其中xit表示第i種單項預測方法在第t時刻的預測值.設a-index（it）為在COWA算子下第i大的預測精度的下標.

1，2，…，m，稱X贊t為t時刻在COWA算子下，區(qū)間預測精度序列a1t，a2t，…amt所產生的IGOWA的區(qū)間組合預測值.有：

2 基于向量夾角余弦與IGOWA算子的區(qū)間組合預測模型

i，j=1，2，…，m.稱m×m的方陣E-ij為基于向量夾角余弦IGOWA算子組合預測的λ次冪左信息矩陣.又

所以有

令

稱m×m的方陣E+ij為基于向量夾角余弦IGOWA算子組合預測的λ次冪右信息矩陣.則有

可以看出η-，η+均與權向量有關，我們希望夾角余弦的值越大越好，因此構造如下多目標最優(yōu)模型：

上式中，約束條件式子為權重向量滿足歸一化條件.

其中參數α，滿足0燮α燮1，作為平衡系數用于權衡多目標規(guī)劃問題各目標值的重要性，因此，在實際問題中可根據預測區(qū)間數的左右端點的重要程度給出.

定理1單目標規(guī)劃（18）的最優(yōu)解，在多目標規(guī)劃式（17）中必定是其有效解.

證明：（反證法）η-，η+均為ω=（ω1，ω2，…ωm）的函數，設單目標規(guī)劃（18）的最優(yōu)解為ω*，但其不是式（18）的有效解，則存在ω′使得：

由于假定實際值預測序列為正，則存在：

αη（-ω′）+（1-α）η（+ω′）＞αη（-ω*）+αη（+ω*）故ω*矛盾于其為單目標規(guī)劃問題的最優(yōu)解.

定理1表明，在處理多目標規(guī)劃問題時，可將多目標規(guī)劃問題轉化為單目標進行求解.

定義7對于給定λ與α的值：若η＞max ηi，則此權重決定的組合預測模型稱為優(yōu)性組合預測；若min ηi燮η燮max ηi，則將該組權重決定的組合預測模型稱為非劣性組合預測；若η＜min ηi，則該組權重決定的組合預測模型稱為劣性組合預測.

3 實例分析

表1中已經給出了實際區(qū)間以及三種單項預測方法的預測區(qū)間.

令Q（y）=y3，則有μ=0.25，利用式子（5）（6）（8）計算出預測區(qū)間的預測精度a1t，a2t，a3t，t=1，2…，6，以區(qū)間數的預測精度作為誘導值產生xa-index（1t），xa-index（2t），xa-index（3t），t=1，2…，6，如表2.

表2與式（16）結合，分別令λ=1,2,3，α=0. 1,0.5,0.9，結合表1的數據，得到不同的最優(yōu)權重，如表3.

利用以上結果可得到單項預測與區(qū)間組合預測方法的誤差如表4.

從表4的計算結果可以看出，在取態(tài)度參數μ= 0.25時，區(qū)間組合預測方法相對于其他三種單線預測方法的結果更優(yōu)，同時預測可隨著λ與α取值的調整以降低預測誤差，因此認為該預測方法是有效的預測方法.

結合式（10）（11）可以算出實際區(qū)間數與各單項預測區(qū)間數的左右端的夾角余弦值，利用式（19）進行加權.在不同λ與α值下有表5.

表1 實際區(qū)間與不同單項預測方法的預測區(qū)間

表2 區(qū)間預測精度及其作為誘導值產生的區(qū)間數

表3 在λ與α不同組合值下的最優(yōu)權重

表4 單項預測與區(qū)間組合預測方法的誤差

表5 不同λ與α組合值下左右端夾角余弦的加權值

由表5可以看出，對于給定的與值，均有.由定義7可知，本文的組合預測模型為優(yōu)性組合預測模型.

4 結束語

本文利用算子構造預測區(qū)間的精度，以此為誘導值，以夾角余弦為準則，建立多目標GIOWA組合預測模型，并進一步轉化為單目標的規(guī)劃問題，對模型的求解進行了討論，給出了優(yōu)性組合預測模型的定義.最后，在給定態(tài)度參數μ下，通過實例驗證了廣義加權系數λ與平衡系數α取不同值時模型的有效性，并說明了本文的組合預測模型為優(yōu)性組合預測模型.然而，本文缺乏在態(tài)度參數取不同值下組合預測誤差如何變動的討論，這些問題有待深入研究.

[1]Bates，Granger.The Combination of Forecasts[J].Operational Research Quarterly，1969，20（4）：451-468.

[2]陳華友，盛昭瀚，劉春林.基于向量夾角余弦的組合預測模型的性質研究[J].管理科學學報，2006，9（2）：1-8.

[3]楊蕾，陳華友，王寧.基于貼近度的誘導廣義OWA算子最優(yōu)組合預測模型[J].統(tǒng)計與決策，2013（5）：24-26.

[4]王曉，劉兮，陳華友，江立輝.基于IOWA算子的區(qū)間組合預測方法[J].武漢理工大學學報（信息與管理工程版），2010，（02）：221-225.

[5]陶志富，張進，陳華友.基于向量夾角余弦的區(qū)間組合預測多目標規(guī)劃方法[J].西華大學學報：自然科學版，2010，29（3）：35-41.

[6]胡凌云，袁宏俊.基于左右端點的IOWGA算子的區(qū)間型組合預測模型[J].統(tǒng)計與決策，2013（11）：22-25.

[7]金飛飛，李捷，陳華友，等.基于連續(xù)有序加權平均算子的區(qū)間組合預測[J].武漢理工大學學報：信息與管理工程版，2013，35（5）：668-672.

[8]江立輝，陳華友，丁芳清，程玲華.基于IOWC-GOWA算子的區(qū)間組合預測模型[J].計算機工程與應用，2015（3）：50-54.

[9]胡紀綱，芮源，袁宏俊.基于區(qū)間關聯度的IOWGA算子的區(qū)間組合預測[J].統(tǒng)計與決策，2016（12）：19-22.

[10]徐惠莉，吳柏林，講韶珊.區(qū)間時間序列預測精準度探討[J].數量經濟技術經濟研究，2008，12（1）：133-140.

[11]Li-Gang Zhou，Hua-You Chen.Continuous generalized OWA operator and its application todecision making[J].FuzzySets and Systems，2011，168（10）：18-34.

Interval Combination Forecasting Model Based on Vector Angle Cosine And IGOWA Operator

ZHU Shuai-shuai，YUAN hong-jun
（Anhui Finance and Economics University，BengBu，Anhui 233030）

Aim at the interval number prediction problem，using continuous ordered weighted averaging operator，construct prediction accuracy of each single prediction interval value，and take the prediction accuracy as induced value，introducing generalized induced ordered weighted averaging（IGOWA）operator，based on the vector angle cosine criterion and induced generalized ordered weighted averaging operator，respectively establish multi-objective interval combination forecasting models on left and right end points of interval number，and then transformed into a single objective programming problem to calculate the weight.Finally，an example is given to show that the model can effectively reduce the prediction error.

continuous ordered weighted averaging operator；vector angle cosine；induced generalized ordered weighted averaging operator；interval combination forecasting models

O221

A

1671－9743（2017）05－0032－05

2017-03-02

國家社科基金青年項目（13CTJ006）；安徽財經大學研究生科研創(chuàng)新基金項目（ACYC2015094）.

朱帥帥，1990年生，男，安徽宿州人，碩士生，研究方向：經濟統(tǒng)計；袁宏俊，1978年生，男，安徽廬江人，副教授，碩士生導師，研究方向：預測理論和方法、決策分析等研究.