嚴(yán)建明

（湖南財(cái)政經(jīng)濟(jì)學(xué)院基礎(chǔ)課部，湖南長(zhǎng)沙410205）

具有連續(xù)時(shí)滯的微分方程的概周期解

嚴(yán)建明

（湖南財(cái)政經(jīng)濟(jì)學(xué)院基礎(chǔ)課部，湖南長(zhǎng)沙410205）

結(jié)合運(yùn)用Liapunov泛函數(shù)，研究Lotka-Volterra系統(tǒng)的概周期解的存在唯一性和一致漸近穩(wěn)定性.關(guān)鍵詞：連續(xù)時(shí)滯；競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)；Liapunov泛函；概周期解

眾所周知，在種群動(dòng)力學(xué)的研究中，生物種群的持續(xù)生存是數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)中捕食與競(jìng)爭(zhēng)理論及其相關(guān)課題的一個(gè)重要而廣泛的、且受到人們非常關(guān)注的課題.1965年，Holling在實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，對(duì)不同的物種，提出了三種不同的功能性反應(yīng)函數(shù).對(duì)具有Holling I、II、III類功能性反應(yīng)的系統(tǒng)，許多學(xué)者進(jìn)行了深入研究[1，2].由于概周期現(xiàn)象在實(shí)際問(wèn)題中經(jīng)?？梢?jiàn)，以周期現(xiàn)象作為特例，它是比周期現(xiàn)象更廣泛的現(xiàn)象。對(duì)于Lotka-Volterra系統(tǒng)的概周期解的定性性質(zhì)（概周期解的存在唯一性和一致漸近穩(wěn)定性）的研究工作目前相對(duì)還較少[3-6].而對(duì)于同時(shí)具有連續(xù)時(shí)滯、擴(kuò)散、HollingⅡ類功能性反應(yīng)的Lotka-Volterra型競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)的研究非常少.本文研究如下的具有連續(xù)時(shí)滯、擴(kuò)散、HollingⅡ類功能性反應(yīng)的非自治競(jìng)爭(zhēng)模型：

在本文中，我們采用如下記號(hào)和概念.

代表歐幾里德范數(shù)）的非負(fù)連續(xù)函數(shù)構(gòu)成的Banach空間.因此，如果我們選C+為系統(tǒng)（1）的初始函數(shù)空間，易知對(duì)坌準(zhǔn)=（準(zhǔn)0，準(zhǔn)1，準(zhǔn)2）∈C+且準(zhǔn)（0）＞0，則系統(tǒng)（1）在[-τ，∞）上存在唯一解x（t，準(zhǔn)），且對(duì)于t∈[0，+∞）有x（t，準(zhǔn)）＞0，我們稱此解為系統(tǒng)（1）的正解.因此，在本文下面的研究中，我們總假定

對(duì)于系統(tǒng)（1），記x（t）=x（0，準(zhǔn)）（t）是過(guò)（0，準(zhǔn)）的解，其中初值函數(shù).則x（t）是唯一的，且x（t）＞0，t∈[0，T），這里[0，T）是系統(tǒng)（1）的解的最大存在區(qū)間，這樣的解叫做系統(tǒng)（1）的正解.

引理1[7]考慮泛函微分方程

及乘積系統(tǒng)

這里總是假設(shè)0＜H*＜+∞，f∶R×C→R3對(duì)φ關(guān)于t是一致概周期的，若存在連續(xù)函數(shù)V∶R+×S×S→R+，滿

H*H*H*足如下條件：

（Ⅰ）a（|x-y|）燮V（t，x，y）燮b（|x-y|），其中a（s），b（s）∈CIP，b（0）=0；

（Ⅲ）存在連續(xù)非減函數(shù)p（s），當(dāng)s＞0時(shí)，有p（s）＞s，使得當(dāng)

時(shí)有D+V（t，φ（0），ψ（0））燮-cV（t，φ（0），ψ（0）），c＜0是常數(shù).

如果系統(tǒng)（5）的每一個(gè)解滿足‖ξ（t）‖燮-cV（t，φ（0），ψ（0）），t叟T0，那么系統(tǒng)（5）必存在一致漸近穩(wěn)定的概周期解，進(jìn)而如果（ft，φ）關(guān)于t是ω周期的，則系統(tǒng)（5）存在一個(gè)周期解，且是全局漸近穩(wěn)定的.

定理設(shè)系統(tǒng)（1）滿足以上給定的條件（2）（3），且還滿足

證明考慮系統(tǒng)（1）的乘積系統(tǒng)

定義集合

可知Ω*是系統(tǒng)（7）的最終正向不變集.

在Ω*上定義Liapunov函數(shù)為

對(duì)于乘積系統(tǒng)（9）在Ω×Ω上的任一解

因?yàn)?/p>

其中ξ（t），η（t）分別位于lnm1與lnM1之間及l(fā)nm與lnM之間.

則得到

則

從而由條件（8）可知存在常數(shù)使得有

由引理1知，系統(tǒng)（1）在區(qū)域Ω中存在一致漸近穩(wěn)定的概周期解，進(jìn)而如果系統(tǒng)（1）的右端關(guān)于t是ω-周期的，則系統(tǒng)（1）存在一個(gè)ω-周期解.

[1]靳禎，原三領(lǐng)，馬知恩.具有功能性反應(yīng)的三種群食物鏈系統(tǒng)全局周期解的存在性[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2001，18（4）：69-75.

[2]桂占吉，陳蘭蓀.具有功能性反應(yīng)的非自治競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)持續(xù)性[J].工程數(shù)學(xué)，2001，17（2）：7-10.

[3]羅桂烈.具時(shí)滯的非自治擴(kuò)散捕食系統(tǒng)的概周期解[J].生物數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，1998，13（1）：32-38.

[4]羅桂烈，廖民鋰，江佑霖.兩種群非自治Lotka-Volterra競(jìng)爭(zhēng)擴(kuò)散系統(tǒng)的概周期解[J].系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)，1998，18（2）：204-210.

[5]Zhang Jingru，Chen Lansun.Periodic solutions of single-species nonautonomous diffusion models with continuouse time delays[J].Math. comput.modelling，1996，23（7）：17-27.

[6]楊啟貴，江右霖.Willis環(huán)狀腦動(dòng)脈瘤模型的概周期解[J].生物數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2000，15（3）：313--318.

[7]Yuan Rong.Existence ofalmost periodic solution offunctional differential equations[J].Ann.ofDiff.Eqs.1991，7（2）：234-342.

On almost Periodic Solution of Differential Equations with Continouous Time Delay

YAN Jian-ming
（Dept.of Basic Subject，Hunan University of Finance and Economics，Changsha，Hunan 410205）

In this paper，the existence，uniformly asymptotical stability of almost periodic solutions was considered by using Liapunov functional.

continouous time delay；competition system；liapunov function；almost periodic solution

O175

A

1671－9743（2017）05－0028－04

2016-09-21

嚴(yán)建明，1974年生，男，湖南益陽(yáng)人，講師，研究方向：微分方程.