楊志林，李盟

（青島理工大學理學院，山東青島266033）

含有各階導數(shù)的非線性4階邊值問題的正解

楊志林，李盟

（青島理工大學理學院，山東青島266033）

正解；先驗估計；積分-常微分方程；Dirichlet問題；對稱正解

1 引言

本文主要研究如下非線性4階常微分方程邊值問題的正解：

因而積累了豐富的文獻，參見[1-13]，較早的文獻見[14-18].作者在文[19]中研究了如下比（1.2）更一般的問題正解的存在性和唯一性：

其中αj，βj（j=0，1）為非負常數(shù)，且α0α1+α0β1+α1β0>0.得到的結果與2階情形（即n=1）的結果類似[20，21].這些結果說明，由于具有對稱性，Lidstone問題（1.2）和更一般的問題（1.3）本質(zhì)上分別與2階Dirichlet問題和Sturm-Liouville問題是一樣的.自然地，人們希望知道非線性項依賴于各階導數(shù)從而不再具有對稱性的如下問題能有什么結果（這也是Eloe在[13]中提出的一個公開問題）：

這方面的文獻不多，見[22]，相關的文章還見[23]及參考文獻.本文將研究上述問題的一個類似問題（n=2），即研究如下問題的對稱正解：

基本想法是先研究（1.1）的正解的存在性，然后再把所得結果應用于上述問題.為了克服各階導數(shù)帶來的困難，我們將問題（1.1）降階轉(zhuǎn)化為一個二階積分-微分方程的邊值問題.在先驗估計的基礎上，運用不動點指數(shù)理論建立這個二階積分-微分方程的邊值問題正解的存在性，多重正解的存在性以及正解的唯一性.

本文安排如下：第2節(jié)把問題（1.1）轉(zhuǎn)化為一個二階積分-微分方程的邊值問題，并給出一些必要的引理；第3節(jié)敘述和證明本文的主要結果；第3節(jié)考慮問題（1.1）的一個特殊情形，即非線性項不含2階導數(shù)的情形，得到了最優(yōu)結果；第4節(jié)考慮問題（1.5）的對稱正解.

2 問題的轉(zhuǎn)化和引理

記

則（E，‖·‖）為實Banach空間，P為E中的錐.設

定義積分算子：

則B：E→E為全連續(xù)線性算子，而且是正線性算子，即B（P）奐P.令v（t）=-u″（t），則（1.1）等價于如下二階積分-微分方程邊值問題：

它又等價于如下積分-積分方程：

定義

若（H1）滿足，則A：P→P全連續(xù).從而（1.1）的可解性等價于全連續(xù)非線性算子A：P→P的不動點存在性問題.引理1設v∈C2[0，1]，v（0）=v′（1）=0，則

證分部積分，并利用v′（1）=0，可得到

再對第二個積分分部積分，并利用v（0）=0，得到

從而等式（2.3）成立.注意到（Bv）″=-v，坌v∈C[0，1]，根據(jù)引理1可得.引理2設v∈C[0，1]，則

引理3設v∈P，v（0）=0，v′在[0，1]上遞減，則

證由于v′在[0，1]上遞減，tet在[0，1]上遞增，并注意到v（0）=0，根據(jù)Chebyshev不等式，我們有

另一方面，注意到（1-t）et為[0，1]上遞減函數(shù)，再根據(jù)Chebyshev不等式，得到

根據(jù)（2.4），我們有

聯(lián)立上式和（2.7），即得不等式（2.6）.

引理4設v∈P，v（0）=0，則

證分部積分，并運用條件v（0）=0，可得

從而，

引理5[24]設E為實Banach空間，P為E中的正錐，Ω奐E為有界開集，A：Ω∩P→P全連續(xù).若存在v0∈P {0}使得

則i（A，Ω∩P，P）=0，其中i為錐P上的不動點指數(shù).

引理6[24]設E為實Banach空間，P為E中的正錐，Ω奐E為有界開集，0∈Ω.A：Ω∩P→P全連續(xù).若

則i（A，Ω∩P，P）=1.

以下結果是容易證明的.

引理7對[0，1]上任何非負不恒為0的連續(xù)函數(shù)h，存在正數(shù)bh≥ah，使得

其中

3 正解的存在性：非線性項含有2階導數(shù)的情形

本節(jié)討論（1.1）正解的存在性以及多解的存在性，正解的唯一性.以下是本節(jié)使用的條件.

（H2）存在α叟0，β叟0，c>0，使得α（1-2e-1）+β>1，且

對任意（t，x1，x2，x3，x4）∈[0，1]×R+成立.

（H3）對任意M>0，存在函數(shù)Φ∈C（R+，R+）使得

（H4）存在a叟0，b叟0，r>0，使得a+b<1，且

對任意（t，x1，x2，x3，x4）∈[0，1]×[0，r]×[0，r]×[0，r]×[0，r]成立.

（H5）存在ξ叟0，η叟0，c>0，使得ξ+η<1，且

對任意（t，x1，x2，x3，x4）∈[0，1]×R4+成立.

（H6）存在p叟0，q叟0，r>0，使得p（1-2e-1）+q>1，且

對任意（t，x1，x2，x3，x4）∈[0，1]×[0，r]×[0，r]×[0，r]×[0，r]成立.

（H7）存在ω>0，使得f在[0，1]×[0，ω]×[0，ω]×[0，ω]×[0，ω]上為x1，x2，x3，x4的增函數(shù)，且f（t，ω，ω，ω，ω）<ω，坌t∈[0，1].

（H8）f為x1，x2，x3，x4的增函數(shù)，且

對任意x1>0，x2>0，x3>0，x4>0，t∈[0，1]，λ∈（0，1）成立.

以下記Bρ={v∈E：‖v‖<ρ}，ρ>0.

定理1若（H1）-（H4）滿足，則邊值問題（1.1）至少有1個正解.

證明令

其中φ（t）=te-t.下證M1有界.事實上，若v∈M1，則v∈P∩C2[0，1]，v（0）=v′（1）=0，且存在μ≥0，使得

它等價于

根據(jù)（H2），我們有

上式中以ψ（t）=tet相乘，在[0，1]上積分，并注意到等式（2.3）和（2.5），得到

易知，對任意v∈M1，v′在[0，1]上遞減，從而根據(jù)不等式（2.6），得到

從而

根據(jù)不等式（2.8），得到

由此進一步得到，對任意v∈M1，

另一方面，令

故存在M1>0，使得

這說明M1有界.任取R>sup{||v||：v∈M1}，必有

根據(jù)不動點指數(shù)的缺方向性（引理5），

下證M2＝{0}.事實上，若v∈M2，則，且存在θ∈[0，1]，使得

它的等價形式是

根據(jù)（H4），我們有

兩邊用ψ（t）=tet相乘，并注意到等式（2.3）和（2.5），得到

根據(jù)不動點指數(shù)的同倫不變性（引理6），

結合（3.4）（3.5），得到

定理2若（H1）（H5）（H6）滿足，則邊值問題（1.1）至少有1個正解.

證明令

下證M3為有界集.事實上，若u∈M3，則由定義知，v∈P∩C2[0，1]，v（0）=v′（1）=0，且存在λ∈[0，1]，使得

它等價于

根據(jù)（H5），我們有

兩邊用ψ（t）=tet相乘，并注意到等式（2.3），可得

從而，根據(jù)（2.8），得到

根據(jù)上式，更進一步，對任意v∈M3，我們有

注意到v′（1）=0，由上式得到

從而

這證明了M3的有界性.任取R>sup{‖v‖：v∈M3}，則必有

根據(jù)不動點指數(shù)的同倫不變性（引理6），

另一方面，令

其中φ（t）=te-t.下證M4={0}.事實上，若v∈M4，則v∈Br∩P∩C2[0，1]，v（0）=v′（1）=0，且存在λ叟0，使得

等價形式為

根據(jù)（H6），我們有

兩邊用ψ（t）=tet相乘，在[0，1]上積分，并注意到等式（2.3），得到

由于對任意v∈M4，v′在[0，1]上遞減，從而根據(jù)不等式（2.6），得到

根據(jù)不動點指數(shù)的缺方向性（引理5），有

結合（3.6）（3.7）式，得到

故A在（BRBr）∩P上至少有一個不動點.從而邊值問題（1.1）至少有一個正解.

定理3若（H1）（H2）（H3）（H6）（H7）滿足，則邊值問題（1.1）至少有2個正解.

證明根據(jù)（H2）（H3）（H6），可知（3.4）（3.7）成立，且可選取R>ω>r（參看定理1和定理2的證明）.根據(jù)（H9），

更進一步，有

根據(jù)不動點的同倫不變性（引理6），

再根據(jù)（3.4）（3.7），得到

所以A在（BRBω）∩P上和（BωB）r∩P上分別至少有1個不動點.從而邊值問題（1.1）至少有2個正解.

定理4若（H1）（H5）（H6）（H8）滿足，則邊值問題（1.1）恰有1個正解.

證明根據(jù)定理2，邊值問題（1.1）至少有1個正解，從而只需要證明正解的唯一性.設u1∈C4[0，1]，u2∈C4[0，1]為邊值問題（1.1）的兩個正解，則為算子A的兩個正不動點，滿足

根據(jù)引理7，存在ai>0，bi>0，使得

其中w0（t）由（2.9）給出.從而

令μ0=sup{μ>0：v2（t）叟μv1（t），坌t∈[0，1]}.則0<μ0<+∞.現(xiàn)在斷言必有μ0叟1.否則0<μ0<1，令

根據(jù)（H8），有g（t）>0，坌t∈（0，1）.從而根據(jù)引理7，存在ε>0，使得

從而

這與μ0的定義矛盾.故μ0叟1，從而v2（t）叟μ0（t）叟v1（t），同理v1（t）叟v2（t）.故v1（t）≡v2（t），從而u1（t）≡u2（t）.所以邊值問題（1.1）恰有1個正解.

4 正解的存在性：非線性項不含2階導數(shù)的情形

本節(jié)我們考慮如下非線性項不含2階導數(shù)u″的4階邊值問題正解的存在性問題：

其中非線性項f的條件如下：

對任意（t，x1，x2，x3）∈[0，1]×R3+成立.

（H11）對任意M>0，存在函數(shù)Φ∈C（R+，R+）使得

（H12）存在0<β<1，使得

對任意（t，x1，x2，x3）∈[0，1]×[0，r]×[0，r]×[0，r]成立.

（H13）存在00，使得

對任意（t，x1，x2，x3）∈[0，1]×R3+成立.

（H14）存在b>1，r>0，使得

對任意（t，x1，x2，x3）∈[0，1]×[0，r]×[0，r]×[0，r]成立.

根據(jù)引理1，可得到如下結果.

引理8若v∈C2[0，1]，v（0）=v′（1）=0，則

以下是本節(jié)的兩個結果.

定理5若（H9）-（H12）滿足，則邊值問題（4.1）至少有1個正解.

定理6若（H9）（H13）（H14）滿足，則邊值問題（4.1）至少有1個正解.

運用引理8和第2節(jié)的有關引理，定理5和定理6的證明可仿照定理1和定理2的證明進行，故從略.還可以考慮（4.1）多重正解的存在性和正解的唯一性，限于篇幅，也從略.

注4.1可以看出，定理5和定理6給出了問題（4.1）正解存在的最佳條件.

5 Dirichlet問題的對稱正解

本節(jié)我們應用主要結果來建立問題（1.5）對稱正解的存在性，其中f滿足如下條件：

（H15）f∈C（R+×R×R+×R，R+），f（x1，-x2，x3，-x4）=f（x1，x2，x3，x4），坌（x1，x2，x3，x4）∈R+×R×R+×R.

稱u為（1.5）的對稱正解，若u∈C4[.1，1]為（1.5）的解，且滿足u（t）>0，坌t∈（-1，1），且u（-t）=u（t），坌t∈[-1，1].

定理7若（H15）（H2）（H3）（H4）滿足，則（1.5）至少有1個對稱正解.

證顯然，（H15）可推出（H1）.于是，根據(jù)定理1，問題

至少有一個正解w.令

則u∈C4（[0，1]，R+）為（1.5）的一個對稱正解.

類似可證明如下結果：

定理8若（H15）（H5）（H6）滿足，則（1.5）至少有1個對稱正解.

定理9若（H15）（H2）（H3）（H6）（H7）滿足，則（1.5）至少有2個對稱正解.

定理10若（H15）（H5）（H6）（H8）滿足，則（1.5）恰有有1個對稱正解.

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Positive Solutions of a Fourth-order Boundary Value Problem Involving all Derivatives

YANG Zhi-lin，LI Meng
（Department of Mathematics，Qingdao Technological University，Qingdao，Shandong 266033）

positive solution；a priori estimate；integro-ordinary differ-ential equation；dirichlet problem；symmetric positive solution

O175.8；O177.91

A

1671－9743（2017）05－0014－09

2016-11-09

山東省教育廳基金資助項目（J16LI09）.

楊志林，1963年生，男，湖南芷江人，教授，博士，研究方向：非線性泛函分析.