【摘要】作為現(xiàn)行微積分原理的完善，或者作為分析嚴格化的實變函數(shù)理論立得住嗎？本文以通俗而簡明的方式列舉了實變函數(shù)理論的幾處核心錯誤或誤解，從而，讓人們清楚實變函數(shù)理論作為現(xiàn)行微積分原理的完善的論據(jù)是靠不住的.

【關(guān)鍵詞】實數(shù)；數(shù)-形模型；康托定理；測度

一、引言

《淺談現(xiàn)行微積分原理的錯誤》[1]一文發(fā)表后，某名校組織包括數(shù)學院士在內(nèi)的數(shù)學科學學院的教授們寫文章批駁，滑稽的是批不了，理由是“一位工科男撿了個天大的洋便宜”，還有的人說：“我早就知道微積分原理有錯誤，可是，這些問題在實變函數(shù)理論和現(xiàn)代分析那里早已解決了.”事情真的是這樣嗎？

事實上，“最基本內(nèi)容已經(jīng)成為分析數(shù)學各個分支的普遍基礎(chǔ)”[2]的實變函數(shù)理論也立不住.下面，就“冒著被責罵的危險”，[3]與“也要吃飯、穿衣”[4]的數(shù)學家們探討一下實變函數(shù)理論中的問題.

二、實變函數(shù)理論中的種種問題

（一）現(xiàn)行實數(shù)理論還不能自圓其說

現(xiàn)代主流數(shù)學家聲稱實數(shù)理論是嚴密而完整的，因為它以科學的極限理論為依托；極限論的科學性是不容置疑的，因為，它以嚴密而完整的實數(shù)理論為前提.事實上是這樣嗎？在解析幾何視角下，到定點的距離為定長的動點的軌跡為圓.而在解析幾何的坐標中，任意兩點都對應(yīng)兩個數(shù)或者兩個數(shù)組，也就是說，任意兩個點或兩個數(shù)之間都可以插入無限多個點或者數(shù)（數(shù)組），因此，只有這樣幾何圖形或區(qū)間才有長度（測度）可言.基于此，不管邊數(shù)怎樣無限增多，正多邊形的任意一個邊的兩個端點都不會重合，只有這樣，正多邊形才保有周長.然而，這樣一來，“到定點的距離為定長的動點的軌跡”反倒不存在了.極限論的來源就是“正多邊形邊數(shù)無限增多的極限是圓”，而在現(xiàn)行實數(shù)理論體系之下的解析幾何中，極限論中的極限都不存在了，尤其是瞬時變化率對應(yīng)的切線和積分對應(yīng)的曲邊梯形不存在了，而展現(xiàn)在解析幾何中的只能是切割長度無限減小的割線和折數(shù)無限增多的折線梯形.解析幾何是數(shù)與形的統(tǒng)一，也就是說，現(xiàn)行實數(shù)系下的解析幾何從數(shù)和形兩個方面否定了極限論.

Bolzano和Weierstrass，乃至Méray、Heine與Cantor的思想具有一致性，他們都用極限論定義實數(shù)系.只實數(shù)依靠極限論這一點，就足以說明實數(shù)理論的科學性尚待解決.

Dedekind沒有用極限論構(gòu)造實數(shù)，但他的方法沒有能力構(gòu)造出實數(shù)系.他說：“每當我們考慮一個不是由有理數(shù)產(chǎn)生的分割（A1，A2）時，就得到一個新數(shù)即無理數(shù)a，我們認為這個數(shù)是由分割（A1，A2）完全確定的.”[5]“戴德金分割法”的虛偽之處在于只能分割出其性質(zhì)已知的實數(shù).事實上，我們對“代數(shù)數(shù)之外”知之甚少——超越數(shù)又分為多少類？它們的性質(zhì)如何？Dedekind分割法對性質(zhì)尚未弄清的數(shù)是無能為力的.

（二）總體與其局部可以一一對應(yīng)純系囈語

設(shè)A，B，C，D，E為無限集合，A=B+C+D，再設(shè)C=E，則E為A的真子集.A中的真子集C足以與E一一對應(yīng)（有公理保證），故而，E中再無元素可與B和D對應(yīng).這個簡單的證明對無限集合和有限集合都適用.光看到A與E中的元素是無限的，就不區(qū)分增長速度地舉出某一個對應(yīng)方式，很不妥.這種觀點的幼稚在于，因為E中具有無限多元素，所以，E就可以與（B+C+D）中的元素一一對應(yīng)下去，可是，他們忘記了C與E是同步的無窮多，從而，B和D在E中找不到對應(yīng)項.相反，誰舉出某一個對應(yīng)方式，誰就得給出可以這樣列舉的證明.有人說：“通過具體列舉就可以證明一一對應(yīng).”我們說，這是無限集合，誰列舉得完？他們還可以說：“給出列舉方式就可以了.”我們說，忽視兩個集合的增長速度（即關(guān)聯(lián)關(guān)系）的列舉方式是胡扯.當我們說E是A的真子集時，這就已經(jīng)是關(guān)聯(lián)關(guān)系了.

就自然數(shù)可以與其子集奇數(shù)一一對應(yīng)的說法而言，一個是1，2，3，，…，n；另一個是1，3，…，2n-1.即使到了∞，n也是同步的，因此，自然數(shù)集合是奇數(shù)集合的2倍.當然，有人又會說：“這是有限集合的邏輯.”可是，主張無限集合具有上述特征的人給出過令人信服的證明嗎？他們不也承認全體自然數(shù)不能與全體實數(shù)建立一一對應(yīng)關(guān)系嗎？難道這不是兩個無限集嗎？

誠然，任意一個實數(shù)區(qū)間里的實數(shù)是可以與自然數(shù)建立一一對應(yīng)關(guān)系的，這也就是通常所說的數(shù)數(shù)（這與1890年Cantor證明他的定理也是截然相反的）[6]，因為這兩個無限集合沒有關(guān)聯(lián)關(guān)系.有人說：“不！自然數(shù)是實數(shù)的真子集.”我們說：“自然數(shù)集是實數(shù)集的真子集，自然數(shù)集可不是實數(shù)集子區(qū)間的真子集.”

（三）Cantor定理的證明的前提不成立

Cantor定理的基本論點散見于似是而非的題為《論全體代數(shù)數(shù)的性質(zhì)》的文章中，這篇文章發(fā)表于1874年克雷爾主編的《純粹數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學》雜志上.Cantor自己滿意的證明發(fā)表于1890年，這個證明的要點是：

“假定（0，1]是可數(shù)集，則必然存在（0，1]中所有實數(shù)的一個序列a1a2a3…an…，然后將每個這樣的實數(shù)寫成十進制小數(shù)形式，并約定將有理數(shù)寫成無窮小數(shù)，如，12=04999…，于是有

再構(gòu)造b=0.b1b2b3…bk…，并規(guī)定Pkk=1，則bk=9，若Pkk≠1，則bk=1，因此，b是（0，1]中的一個實數(shù)，但卻不同于如上序列中的任何一個實數(shù)，這就與假設(shè)矛盾，因此，（0，1]是不可數(shù)的，同理，任何實數(shù)區(qū)間均不可數(shù).”[7]

如上證明有前提性錯誤——實數(shù)不可以寫作無限不循環(huán)小數(shù)，因為這里是純數(shù)學而不是應(yīng)用數(shù)學.有理數(shù)當然不是無限不循環(huán)小數(shù)，無理數(shù)也只是他自己，絕不是無限不循環(huán)小數(shù).無限小數(shù)是動態(tài)的、不確定的數(shù)，而無理數(shù)是靜態(tài)的、確定的數(shù).如果用序列講，無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)序列的極限，而不是它自身，也不是這個動態(tài)過程.Cantor的錯誤在于把無理數(shù)等同于該無理數(shù)對應(yīng)的無限不循環(huán)小數(shù)序列的動態(tài)過程.也就是說，Cantor把無限不循環(huán)小數(shù)序列的極限與無限不循環(huán)小數(shù)序列的動態(tài)延續(xù)混為一談.

康托定理還有一種直觀的證明方式，當然也是反證法.設(shè)（0，1]的所有點（數(shù)）可以排成

人們還須注意一個事實，康托定理，除所謂的反證法之外，“即使在原則上也不可能給出直接的構(gòu)造性證明.”[9]像H.Poincaré（1854—1912）、L.E.Brouwer（1881—1966）、H.Weyl（1885—1955）這類非假大空數(shù)學家是不承認從康托到希爾伯特的不嚴肅的東西的.

（四）現(xiàn)行實數(shù)系沒有測度

“μ可以唯一地擴張成為B（Rn）上的σ的有限測度（稱之為Lebesgue測度）.令 B（Rn）為B（Rn）的完備化，稱B（Rn）中元為Lebesgue可測集，而B（Rn）中元為Borel可測集.”[10]與此相類似，還有C[0，T]上的Wiener測度[11].對此，人們要問測度的數(shù)學承擔者是誰？Lebesgue一行人回答是超越數(shù).在Cantor、Baire乃至Lebesgue等人看來，實數(shù)已經(jīng)填滿了數(shù)軸，無理數(shù)（或者超越數(shù)）就是測度的數(shù)學承擔者，這就是測度理論的核心思想[12].Lebesgue的原話是這樣說的：“我希望首先對集合賦予數(shù)的屬性，這種數(shù)類似于它們的長度.”[13]這種理論是使用排除法完成的，其證明的邏輯脈絡(luò)為：區(qū)間及其對應(yīng)的線段是有測度的，而代數(shù)數(shù)及其對應(yīng)點的測度為0.可是，區(qū)間及其對應(yīng)線段是由代數(shù)數(shù)及其對應(yīng)點和超越數(shù)及其對應(yīng)點構(gòu)成的，所以，超越數(shù)及其對應(yīng)點是測度的數(shù)學承擔者.事實上，區(qū)間及其對應(yīng)的線段不是由二者，而是由三者——代數(shù)數(shù)與超越數(shù)以及數(shù)與數(shù)的間隙共同構(gòu)成，因此，只排除代數(shù)數(shù)是測度的數(shù)學承擔者，但卻不知道與實數(shù)一樣多的間隙存在，就武斷地說超越數(shù)及其對應(yīng)點是測度的數(shù)學承擔者，這種邏輯是可笑的.事實上，現(xiàn)行實數(shù)從來就沒填滿過數(shù)軸，因為現(xiàn)行數(shù)和點都是無度量的，而數(shù)軸是有度量的，無度量的數(shù)或點不管多到何種程度，數(shù)軸都是有空隙的，從這種空想出發(fā)的任何證明都是立不住的.數(shù)是不能有測度的，只有量才可以有測度，量是數(shù)的差.解析幾何告訴人們，超越數(shù)對應(yīng)的點與代數(shù)數(shù)對應(yīng)的點在解析幾何意義上沒有任何不同，代數(shù)數(shù)承擔不了測度，超越數(shù)怎么就能承擔測度呢？

再從另一個角度看測度論：一個超越（數(shù)）點的測度是0，可數(shù)無窮多個超越（數(shù)）點的測度也是0，而不可數(shù)無窮多個超越（數(shù)）點的測度就是非0的一個具體數(shù)值了.誰的大腦可以接受這樣的邏輯？

除非是全體實數(shù)，否則，就不存在不可數(shù)、無窮多.自然數(shù)集是實數(shù)集的真子集，因此，自然數(shù)不能與全體實數(shù)一一對應(yīng)；而自然數(shù)不是實數(shù)集子區(qū)間的真子集，因而，它們之間沒有關(guān)聯(lián)關(guān)系，自然數(shù)可以與任意實數(shù)區(qū)間建立一一對應(yīng)關(guān)系.正是這個道理，任意實數(shù)區(qū)間里的數(shù)都是可數(shù)的.

（五）實變函數(shù)論對劉維爾不等式的解釋有錯誤

三、結(jié)語

分析數(shù)學，尤其是近代分析，從來就不像對數(shù)學史知之甚少的數(shù)學工作者所理解的那個樣子，也從來不像當代數(shù)學教科書所寫的那個樣子.以S.D.Poisson（1781—1840）為代表的數(shù)學家從來就不同意以柯西為代表的微積分原理，以H.Poincaré、F.Klein（1849—1925）等為代表的數(shù)學家從來就不同意實變函數(shù)理論.人們似乎忘記，“龐加萊、克萊因和希爾伯特，是在19世紀和20世紀數(shù)學交界線上聳立著的三個巨大身影”.[19]“三個巨大身影”中的兩個都反對的東西，竟然會向希爾伯特一邊倒，個中就不是數(shù)學之外的原因在起作用嗎？

總而言之，這里不求如上論證各個四平八穩(wěn)，只要其中有一個立得住，就足以說明作為現(xiàn)行微積分原理的完善的實變函數(shù)理論是立不住的.

【參考文獻】

[1]丁小平.淺談現(xiàn)行微積分原理的錯誤[J].前沿科學，2015（4）：82-87.

[2]中國大百科全書（數(shù)學卷）[M].北京：中國大百科全書出版社，1988：279.

[3]J·迪爾多內(nèi).現(xiàn)代分析基礎(chǔ)：第一卷[M].北京：科學出版社，1982：11.

[4]張景中.數(shù)學與哲學[M].大連：大連理工大學出版社，2008：26.

[5]C·愛德華.微積分發(fā)展史[M].北京：北京出版社，1987：454.

[6]R·柯朗，H·羅賓.什么是數(shù)學（第二版）[M].上海：復旦大學出版社，2008：95.

[7]李文林.數(shù)學史概論（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2002：257.

[8]R·克朗，H·羅賓.什么是數(shù)學（第三版）[M].上海：復旦大學出版社，2012：96-97.

[9]R·克朗，H·羅賓.什么是數(shù)學（第三版）[M].上海：復旦大學出版社，2012：101.

[10]嚴加安.測度論講義（第二版）[M].北京：科學出版社，2004：23.

[11]張恭慶，郭懋正.泛函分析講義（下冊）[M].北京：北京大學出版社，1990：250.

[12]周民強.實變函數(shù)論（第二版）[M].北京：北京大學出版社，2008：51-59

[13]H Lebesgue.Lecons sur l′intégration et la recherché des fonctions primitives[J].Gauthier-Villars，1904：36.

[14]W Dunham.微積分的歷程[M].北京：人民郵電出版社，2010：140.

[15]E T Bell.Men of Mathematics[M].New York：Simon & Schuster，1937：569.

[16]于秀源.超越數(shù)論基礎(chǔ)[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學出版社，2011：22.

[17]于秀源.超越數(shù)論基礎(chǔ)[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學出版社，2011：35-39.

[18]朱堯辰.無理數(shù)引論[M].合肥：中國科學技術(shù)大學出版社，2012：9-16.

[19]李文林.數(shù)學史概論（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2002：270.