鄭偉珊

（韓山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，廣東潮州521041）

帶線性與非線性延遲項的Volterra積分方程研究

鄭偉珊

（韓山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，廣東潮州521041）

主要研究了一類帶線性延遲項與非線性延遲項Volterra型積分方程的收斂情況．首先通過線性變換，將原先定義在[0,T]區(qū)間上的帶線性與非線性延遲項的Volterra型積分方程轉(zhuǎn)換成定義在固定區(qū)間[-1,1]上的方程，然后利用Gauss積分公式求得近似解，進(jìn)而再利用Chebyshev譜配置方法分析該方程的收斂性，最終借助格朗沃不等式及相關(guān)引理分析獲得方程在L∞和L2ωC范數(shù)意義下呈現(xiàn)指數(shù)收斂的結(jié)論，最后給出數(shù)值例子，算出誤差估計并繪圖展示，藉此驗證理論證明的結(jié)論.

Chebyshev譜配置方法；線性延遲項；非線性延遲項；Volterra型積分方程；誤差分析

1 介紹

主要研究帶線性與非線性延遲項的Volterra積分方程，其形式如下

這里y(τ)是定義在[0,T](T＜+∞)上的未知函數(shù)，φ1(τ)=qτ，φ2(τ)=qτ2，q是常數(shù)且0＜q＜1．f(τ),R1(τ,ξ),R2(τ,η)是已知函數(shù)，其中f(τ)∈Cm[0,T]，R1(τ,ξ)∈Cm(Ω1)，R2(τ,η)∈Cm(Ω2)，m≥1,

Volterra型方程作為數(shù)學(xué)模型出現(xiàn)在許多領(lǐng)域中，包括機(jī)械物理問題、天體運(yùn)動問題、生物種群原始狀態(tài)變化問題等．帶延遲項與非延遲項的Volterra型積分方程作為Volterra型方程的一個分支，它通常出現(xiàn)在具有時滯問題的刻畫上，比如股票的震蕩、生物種群繁衍等．關(guān)于Volterra型方程的研究受到較為廣泛的關(guān)注，香港中文大學(xué)湯濤[1]教授用勒讓德譜配置方法研究了Volterra方程的收斂性問題，隨后華南師范大學(xué)陳艷萍教授與湯濤教授共同研究了帶弱奇異核的Volterra型積分方程[2]，采用雅克比譜配置方法并獲得收斂性結(jié)論．此外研究Volterra型積分方程還有噶遼金方法[3-4]、契比雪夫譜方法[5]等等．本文在之前工作[6]基礎(chǔ)上使用契比雪夫譜方法研究帶線性延遲項與非線性延遲項的Volterra型積分方程．

2 契比雪夫譜方法

在介紹契比雪夫譜方法之前，先介紹兩類點：首先對于一個給定的自然數(shù)N，用{θk}Nk=0表示N+1勒讓德高斯點[7]，用表示勒讓德權(quán)，則相應(yīng)的勒讓德高斯積分法則為

這里Fi(x)是以為插值基點的第i個插值基函數(shù)．

通過以下變量變換把方程（1）轉(zhuǎn)化為定義在[-1,1]上

倘若令

則方程（1）相應(yīng)又可以轉(zhuǎn)換為如下形式

再通過如下變換將（3）中兩個變上限[-1,Q1(x)],[-1,Q2(x)]積分轉(zhuǎn)換為固定區(qū)間[-1,1]

則方程（3）化為

顯然以上方程在點xi恒成立，故有

使用N+1點的勒讓德積分法則（2）(相應(yīng)的權(quán)為ωk)，可以得到如下近似式

這里i=0,1,2,...,N，zk=vk是N+1個勒讓德高斯點[7]．，顯然uN(x)∈PN．契比雪夫譜配置方法就是尋求uN(x)使之滿足如下方程:i=0,1,2,...,N，

3 相關(guān)空間及引理介紹

本節(jié)中介紹一些引理，這些引理在接下來的證明中要用到，而為了更方便地介紹引理內(nèi)容，先引入如下幾個空間．

令ωα,β(x)=(1-x)α(1+x)β普通意義下的權(quán)函數(shù)，這里α,β＞-1，記為如下定義的空間是可測的，且，其模為,相應(yīng)的內(nèi)積為

對于非負(fù)整數(shù)m，定義空間

相應(yīng)的模和半模分別為

特別地，當(dāng)α=β=0，用Hm(-1,1)表示；當(dāng)，用ωc表示下面介紹引理

引理3.1[7-8]假設(shè)，m≥1，INu是以N+1契比雪夫高斯點為插值基點的插值算子，即，則有

引理3.2[7-8]假設(shè)，則存在一個不依賴于N的常數(shù)C使得

這里xi是N+1契比雪夫高斯點，相應(yīng)的權(quán)為，而zi是N+1勒讓德點，相應(yīng)的權(quán)為ωi，i=0,1,2,3...,N.

引理3.3[2，9]令Fi(x)是以N+1個契比雪夫高斯點為插值基點的第i個拉格朗日插值基函數(shù)，

則有

引理3.4[3，10]（Gronwall不等式）假設(shè)u(x)是一個定義在[-1，1]上的非負(fù)局部可積函數(shù)滿足

這里L(fēng)≥0是一個常數(shù)，v(x)也是一個可積函數(shù)，則存在一個常數(shù)C使得并且

引理3.5假設(shè)0≤M1,M2＜+∞，如果一個非負(fù)可積函數(shù)e(x)滿足

這里v(x)也是一個非負(fù)可積函數(shù)，則

并且

這里C是一個常數(shù)．

證明因為

故有

依據(jù)引理3.4可獲證引理結(jié)論

引理3.6[11]對于一切可測函數(shù)f≥0，如下廣義Hardy不等式成立

當(dāng)且僅當(dāng)

引理3.7[2，12]對一切有界函數(shù)v(x)，存在一個不依賴于v的常數(shù)C使得

4 收斂性分析

使用契比雪夫譜配置方法對方程（3）進(jìn)行收斂性分析，目標(biāo)是獲得方程在L∞以及空間中誤差均呈指數(shù)收斂．

4.1 L∞(-1,1)空間中的收斂性分析

定理4.1設(shè)u(x)是方程（3）的精確解，而uN(x)是通過契比雪夫譜配置方法所獲得的近似解，則當(dāng)N足夠大時，有

這里

證明方程（6）減去（7）得

利用定理4.1的結(jié)論，令m=1有

故得：

相同的推導(dǎo)過程得到

再由定理4.1的結(jié)論，有

聯(lián)合以上證明定理結(jié)論獲證

5 算法設(shè)計及數(shù)值實驗

考慮如下形式的方程（1），其中

方程的精確解為:y(τ)=cosτ，τ∈[0,2]，其誤差表及誤差圖展示如表1及圖1，2所示.

圖1 u-uN在L∞和空間的誤差

圖2 精確解和近似解的對比

表1 u-uN在L∞和空間中的誤差

表1 u-uN在L∞和空間中的誤差

N誤差0.11307 1.6317e-004 2.431e-005 5.5119e-008 1.7854e-010 N24681 0 L∞誤差0.1183 1.6916e-004 3.067e-005 7.437e-008 2.5699e-010 L2 ωc ωc 12 14 16 18 20 L∞誤差6.5353e-013 9.72e-014 1.0103e-014 1.3267e-014 2.2926e-014誤差4.7698e-013 5.6001e-014 7.0571e-015 9.1216e-015 1.4116e-014 L2

[1]TANG T,XU X,CHENG J.On Spectral methods for Volterra integral equation and the convergence analysis[J].J.Comput.Math.,2008,26(6):825-837.

[2]CHEN YP,TANG T.Convergence analysis of the Jacobi spectral-collocation methods for Volterra integral equation with a weakly singular kernel[J].Math.Comput.2010,79(269):147-167.

[3]WAN Z,CHEN Y,HUANG Y.Legendre spectral Galerkin method for second-kind Volterra integral equations[J].Front.Math.China,2009,4(1):181-193.

[4]XIE Z,LI X,TANG T.Convergence Analysis of Spectral Galerkin Methods for Volterra Type Integral Equations[J].J.Sci.Comput,2012,53:414-434.

[5]GU Z,CHEN Y.Chebyshev spectral collocation method for Volterra integral equations[C].Contemporary Mathematics,2013(586):163-170.

[6]LI J,ZHENG W,WU J.Volterra Integral Equations with Vanishing Delay[J].Applied and Computational Mathematics,2015,4(3):152-161.

[7]CANUTO C,HUSSAINI M,QUARTERONI A,et al.Spectral method fundamentals in single domains[M].Germany:Spring-Verlag,2006.

[8]SHEN J,TANG T.Spectral and high-order methods with applications[M].Beijing:Science Press,2006.

[9]MASTROIANNI G,OCCORSIO D.Optional system od nodes for Lagrange interpolation on bounded intervals[J].J.Comput.Appl.Math.,2001(134):325-341.

[10]HENRY D.Geometric theory of semilinear parabolic equations[M].Germany:Spring-Verlag,1989.

[11]KUFNER A,PERSSON L.Weighted inequality of Hardy’s Type[M].New York:World Scientific,2003.

[12]NEVAI P.Mean convergence of Lagrange interpolation[J].Trans.Amer.Math.Soc.,1984(282):669-698.

The Volterra Integral Equation with Linear Delay and Nonlinear Delay

ZHENG Wei-shan
（Colloge of Mathematics and Statistic，Hanshan Normal University，Chaozhou，Guangdong,521041）

This paper is a study of the Volterra integral equation with linear vanishing delay and nonlinear vanishing delay.First,transfer the integral interval[0,T]into interval[-1,1]through the conversion of variables.Then,use the Gauss quadrature formula to get the approximate solutions.Next,propose the Chebyshevspectral-collocation method to solve the equation.With the help of Gronwall inequality and some other lemmas,a rigorous error analysis is provided for the proposed method,which shows that the numerical error decay exponentially in the infinity norm and the Chebyshev weighted Hilbert space norms.In the end,numerical example is given to confirm the theoretical result.

Chebyshev spectral-collocation method；linear delay；non-linear delay；Volterra integral equations；error analysis.

O 242.2

A

1007-6883（2017）03-0015-08

責(zé)任編輯朱本華周春娟

2017-04-05

中山大學(xué)廣東省計算科學(xué)重點實驗室開放基金項目（項目編號：2016011）；韓山師范學(xué)院扶持項目（項目編號：201404）；韓山師范學(xué)院創(chuàng)新強(qiáng)校項目（項目編號：Z16027）．

鄭偉珊（1983-），女，廣東揭陽人，韓山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院教師，博士.