林文賢

（韓山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，廣東潮州521041）

一類具連續(xù)偏差變元的偶數(shù)階中立型偏泛函微分方程振動性的進一步結(jié)果

林文賢

（韓山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，廣東潮州521041）

研究了一類帶有非線性擴散系數(shù)和連續(xù)偏差變元的偶階中立型偏微分方程的振動性，借助廣義Riccati變換和微分不等式技巧，獲得了這類方程分別在Robin、Dirichlet邊值條件下所有解振動的若干新的充分性條件，所得結(jié)果推廣了最近文獻的相關(guān)結(jié)果．

振動性；偶階；偏微分方程；中立型

1 引言

眾所周知，振動是一種帶有普遍意義的物質(zhì)運動形式，是系統(tǒng)的主要動力學(xué)性質(zhì)之一，在日常生產(chǎn)、生活中，振動現(xiàn)象屢見不鮮，如機械振動、聲帶振動、電磁振蕩、熱運動和原子運動等．由于振動的復(fù)雜性，人們往往通過簡化假設(shè)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，把復(fù)雜的振動問題用相對簡單的數(shù)學(xué)方法加以描述，這便是動力方程的振動理論．動力方程的振動理論是微分方程定性理論的一個重要分支，在控制工程、機械振動、生物制藥、力學(xué)等領(lǐng)域具有重要的應(yīng)用價值．

1836年，Sturm在研究熱傳導(dǎo)問題時首次研究了二階動力方程的振動性．此后，一個多世紀內(nèi)，微分方程的振動理論發(fā)展比較緩慢，直到20世紀七八十年代，微分方程的振動理論逐漸成為了國內(nèi)外學(xué)者研究的熱點；隨著研究的深入，研究的對象由線性微分方程拓展到次線性方程、半線性方程、超線性方程等情形，方程的階數(shù)由二階拓展到三階，再拓展到偶數(shù)階，由連續(xù)動力拓展到離散動力方程、時間尺度上的動力方程，而且研究的方程也由一般情形拓展到時滯方程、中立型方程、阻尼方程等情形．

偏泛函微分方程振動理論是微分方程定性理論研究的一個重要組成部分，時滯的存在使系統(tǒng)能更精確地反映事物的變化規(guī)律，同時也使得系統(tǒng)的振動性分析變得更加困難．由于生物遺傳工程、化學(xué)反應(yīng)過程、人口動力學(xué)及其它一些問題中出現(xiàn)了含時滯變元的偏微分方程，因而偏泛函微分方程的振動性研究是近幾十年來微分方程領(lǐng)域興起的一個新的熱點，并且受到人們的日益關(guān)注，取得了許多成果[1-35].

本文討論如下的帶有非線性擴散系數(shù)和連續(xù)偏差變元的中立型偶階偏泛函微分方程

分別在邊值條件

下解的振動性質(zhì)，獲得了其所有解振動的充分判據(jù)，結(jié)論充分表明了時滯量的決定性作用．其中n為偶數(shù)，Δu是RN中的Laplacian算子，Ω?RN是具有逐片光滑邊界?Ω的有界區(qū)域，R+=[0,∞),r∈C(?Ω×R+,R+)，且ν是?Ω的單位外法向量．

假設(shè)下列條件（H）成立:

引理1[36]設(shè)y(t)∈Cn([t0,∞),R)為常號，在[t0,∞)上y(n)(t)≠0且滿足y(n)(t) y(t)≤0，則(i)存在ty≥t0使得y(i)(t)在[ty,∞)上常號，i=1,2,…,n-1.(ii)存在l∈{0,1,2,…,n-1}，n+l為奇數(shù)，使得

引理2[37]設(shè)y(t)滿足引理1的條件，且則對每一θ∈(0,1),存在常數(shù)M＞0，使得

2 主要結(jié)果

則邊值問題（1）、（2）的所有解在G上振動．

證明假設(shè)u(x,t)是問題（1）、（2）的一個非振動解,不失一般性，不妨設(shè)u(x,t)＞0，(x,t)∈Ω×[t0,+∞)(t0＞0)(u(x,t)＜0的情形，令uˉ(x,t)=-u(x,t)，可類似證明．由條件（H2），存在t1≥t0,使得當(x,t)∈Ω×[t1,+∞),有

將方程（1）兩邊在Ω上對x積分，有

由格林公式和邊值條件（2）及（H3）得

其中dS是?Ω上的面積元素.

又根據(jù)（H1）、（H3）有

令V(t)=∫Ωu(x,t)dx，顯然，V(t)≥0,t≥t1，于是由式（2）～（5）可得

于是，由引理1，存在t2≥t1，使得

又由（9）式有

從而有

進而有

注意到式(10)、（11）和(H2)，由式(13)得

顯然，W(t)＞0.注意到

于是由引理2，有

于是由式（14）、（15）式有

對上述的不等式從t2到t(≥t2)積分得

推論1若將式（4）換成微分不等式（9）無最終正解，則邊界問題（1）、（2）的所有解在G上振動.

在定理1中，若φ(t)恒為正常數(shù)，則有

定理2若將定理1中的條件（1）替換為

則定理1的結(jié)果仍然成立.

引理3[38]設(shè)α0是下面Dirichlet特征值問題：φ(x)是與α0對應(yīng)的特征函數(shù)，則α0＞0，φ(x)＞0，x∈Ω．

定理3設(shè)定理1的全部條件都成立，h(u)、hj(u)為常數(shù)（均設(shè)為1,j∈Im），則邊界問題（1）、（3）的所有解在G上振動.

證明假設(shè)u(x,t)是問題（1）、（3）的一個非振動解，不失一般性，設(shè)u(x,t)＞0，(x,t)∈Ω×[t0,+∞)(t0＞0)(u(x,t)＜0的情形，令uˉ(x,t)=-u(x,t)，可類似證明．由條件（H2），存在t1≥t0,使得當(x,t)∈Ω×[t1,+∞)，有

將方程（1）兩邊同時乘以?(x)后再對x在Ω上積分，有

由Green公式和邊值條件（3）有

又由（H1）和（H2）有

令U(t)=∫Ωu(x,t)?(x)dx，顯然，U(t)＞0,t≥t1.

于是由公式（16）～（19）有

因此得

由（21）式有

從而有

進而有

注意到Y(jié)(t)＞0,Y′(t)＞0及（H2），由（24）式得

于是由（24）式和（25）式有

對上述的不等式從t2到t(≥t2)積分得

定理3得證．證畢．

由微分不等式（20）有

類似于定理1的證明，可得如下結(jié)果．

則邊值問題（1）、（3）的所有解在G上振動.

注當n=2，q(t)=1時，方程（1）就是文獻[4]所研究的方程，當n=2時，方程（1）就是文獻[22]所研究的方程，當q(t)=1時，方程（1）就是文獻[23]所研究的方程，因而本文的結(jié)論推廣和包含了文獻[4，22，23]的結(jié)果．

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Further Oscillation Results for a Class of Even Order Neutral Partial Differential Equations with Continuous Deviating Arguments

LIN Wen-xian
（College of Mathematics and Statistics,Hanshan Normal University，Chaozhou，Guangdong,521041）

In this paper,the oscillation of a class of nonlinear even order neutral partial differential equations with nonlinear diffusion coefficients and continuous deviating arguments are studied.By employing the generalized Riccati transformation and the technique of differential inequalities,some new sufficient conditions for oscillation of all solutions of such equations are obtained under Robin and Dirichlet boundary value conditions.The results generalize some of the last results.

oscillation；even order；partial differential equation；neutral

O 175.1

A

1007-6883（2017）03-0001-07

責(zé)任編輯朱本華周春娟

2017-02-27

廣東省高等教育教學(xué)改革項目（項目編號：GDJG20142396）；廣東省高等學(xué)校特色創(chuàng)新項目（項目編號：2014GXJK125）．

林文賢（1966-），男，廣東潮州人，韓山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院教授.