汪慧玲

(咸寧職業(yè)技術(shù)學(xué)院 工學(xué)院，湖北 咸寧 437100)

基于方差分析與主成分分析下的教育指標評價應(yīng)用
——以上海市2015年“綠色指標”為例

汪慧玲

(咸寧職業(yè)技術(shù)學(xué)院 工學(xué)院，湖北 咸寧 437100)

在統(tǒng)計學(xué)中，方差分析用于檢驗各因素間顯著性水平，主成分分析用于生成相互獨立的組合變量，便于實際分析需求。在新課程背景下，教育學(xué)中的理論研究與教學(xué)實踐反饋相結(jié)合，為完善教育理論體系，提供有力的數(shù)據(jù)基礎(chǔ)與理論保證。本文主要基于方差分析與主成分分析，結(jié)合教育實際案例，對相關(guān)教育評價指標體系作出科學(xué)評估與反饋。

方差分析；主成分分析；教育指標

作為統(tǒng)計學(xué)與數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要組成部分，方差分析與主成分分析廣泛應(yīng)用于顯著性測評與影響因素管控等方面。近年來，隨著教育的不斷發(fā)展，各地的教育研究學(xué)者都相繼提出不同教育評價指標體系。本文主要基于數(shù)學(xué)中方差分析與主成分分析等方法，以上海市2015年提出的“綠色指標”為例，結(jié)合某小學(xué)實際案例分析，從數(shù)學(xué)應(yīng)用出發(fā)，作出關(guān)于教育評價指標體系科學(xué)性的評價與檢驗，同時也為繼續(xù)發(fā)展和完善相關(guān)教育指標體系提供新的思路與方法。

一、關(guān)于方差分析與主成分分析

(一)方差分析

1.方差分析簡介

方差分析(Analysis of Variance)，簡稱ANOVA，又稱為“變異數(shù)分析”或者“F檢驗”，是R.A.Fisher發(fā)明的用于兩個及以上樣本均數(shù)差別顯著性檢驗的方法。由于各種因素的共同影響，研究所得的數(shù)據(jù)呈現(xiàn)波動狀，而造成波動的原因可以分為兩大類：一類是不可控的隨機因素，另一類是研究中的相關(guān)可控因素對結(jié)果形成的影響。

方差分析是從觀測變量的方差著手，去研究諸多控制變量中對觀測變量有顯著性影響的相關(guān)變量。方差分析可分為單因素方差分析與多因素方差分析。

2.方差分析的作用

方差分析的主要作用有：(1)均數(shù)差別的顯著性檢驗，(2)分離各有關(guān)因素并估計其對總變異的作用，(3)分析因素間的交互作用，(4)方差齊性檢驗，等等。

在實際研究中，針對一個復(fù)雜的事物體系，其中往往有許多因素相互制約又相互依存。方差分析的目的就是通過數(shù)據(jù)分析，找出對該事物體系有顯著影響的因素，各因素間的交互作用，以及顯著性水平等。方差分析在可比較數(shù)組中，將數(shù)據(jù)總的變差，并對變差的度量采用離差平方和，來按照各指定變差來源進行分解處理。

3.方差分析的基本步驟

(1)前提假定

1)各處理條件下的樣本隨機；

2)各處理條件下的樣本相互獨立；

3)各處理條件下的樣本分別來自正態(tài)分布總體；

4)各處理條件下的樣本具有齊效性。

(2)基本步驟

Step 1：建立假設(shè)檢驗(H0：各樣本總體均值相等，H1：各樣本總體均值不全等，檢驗水平α一般默認為0.05)；

Step 2：計算檢驗統(tǒng)計量F值；

Step 3：確定P值并作出結(jié)果評價。

(二)主成分分析

1.主成分分析簡介

主成分分析(Principal component analysis)是采取一種數(shù)學(xué)降維的方法，找出幾個綜合變量來替代原來眾多的原始變量。這些綜合變量盡可能的代表原始變量的信息表達，同時彼此間做到互不相關(guān)性。這種將多個原始變量轉(zhuǎn)化為少數(shù)幾個相互獨立的綜合變量的統(tǒng)計分析方法叫做主成分分析或者主分量分析法。

2.主成分分析的作用

假設(shè)X=(x1,x2,…，xp)T是一個p維的總體，X的期望E(X)和協(xié)方差矩陣cov(X)已知，則我們求解協(xié)方差矩陣的p個特征值，不妨記為：λ1≥λ2≥…≥λp≥0

3.主成分分析的基本步驟

Step 1：對原始數(shù)據(jù)作標準化處理，設(shè)樣本觀測數(shù)據(jù)矩陣為：

其中，

Step 2：計算樣本相關(guān)系數(shù)矩陣R，

其中，為簡便記，假定原始數(shù)據(jù)標準化后矩陣仍為X，此時有：

Step 3：用Jacobi方法求相關(guān)系數(shù)矩陣R的特征值(λ1,λ2,…，λp)與相應(yīng)特征向量

ai=(ai1,ai2,…，aip),i=1,2,…，p；

Step 4：選擇重要的主成分，并寫出主成分表達式，其中：

Step 5：計算主成分得分矩陣F(k為主成分個數(shù))，則有：

Step 6：依據(jù)主成分得分數(shù)據(jù)，可進行進一步統(tǒng)計分析。

二、關(guān)于“綠色指標”體系

(一) “綠色指標”的總體概述

1.實施“綠色指標”評價體系的重要性

(1)“綠色指標”有利于發(fā)揮科學(xué)教育評價的正確導(dǎo)向作用，引導(dǎo)學(xué)校、家長和社會樹立全面的教育質(zhì)量觀，豐富學(xué)業(yè)質(zhì)量評價的內(nèi)涵，引導(dǎo)學(xué)校開展全面質(zhì)量觀指導(dǎo)下的教學(xué)與評價活動，減輕學(xué)生課業(yè)負擔，促進學(xué)生全面發(fā)展。

(2)“綠色指標”有利于構(gòu)建教育內(nèi)部“標準—教學(xué)—評價”的良性循環(huán)系統(tǒng)，指導(dǎo)學(xué)校建立以校為本、基于過程的教育質(zhì)量綜合評價體系，營造有利于學(xué)生健康成長的良好氛圍，促進教育質(zhì)量持續(xù)提高。

2. “綠色指標”的主要內(nèi)容和測評手段

(1)指標內(nèi)容：包括學(xué)生學(xué)業(yè)水平指數(shù)、學(xué)生學(xué)習動力指數(shù)、學(xué)生學(xué)業(yè)負擔指數(shù)、師生關(guān)系指數(shù)、教育方式指數(shù)、學(xué)生社會經(jīng)濟背景對學(xué)業(yè)成績的影響指數(shù)、學(xué)生品德行為指數(shù)、身心健康指數(shù)、校長課程領(lǐng)導(dǎo)力指數(shù)與學(xué)生跨年度進步指數(shù)，共十個方面。本次數(shù)據(jù)評估，只選取前八個指數(shù)參與測評與分。

(2)測評手段：學(xué)業(yè)測試水平(小學(xué)生測試語文、數(shù)學(xué)，初中生測試語文、數(shù)學(xué)、外語等學(xué)科)、問卷調(diào)查(以學(xué)生為主，兼顧教師、校長)等。

(二)關(guān)于“綠色指標”的具體參數(shù)

“綠色指標”主要包括以下具體指數(shù)，并構(gòu)成三層指標體系(指標-指數(shù)-因子)，如表1所示：

表1 綠色指標三層架構(gòu)分類

三、基于數(shù)據(jù)的評價反饋

(一)主要流程

本次數(shù)據(jù)采集對象均來源于湖北省武漢市洪山區(qū)武珞路小學(xué)2015-2016學(xué)年第一學(xué)期三年級(共7個班級)與五年級(共6個班級)的全體在校學(xué)生。具體數(shù)據(jù)分為：(1)2015-2016學(xué)年第一學(xué)期三年級與五年級全體在校學(xué)生的期中測驗有效成績記錄，數(shù)據(jù)由校方提供，并將數(shù)據(jù)按照一定的百分比(原則上人數(shù)前20%為一類，后20%為一類，剩余為一類)(2)以上全體學(xué)生參與的《武珞路小學(xué)關(guān)于“綠色指標”的問卷調(diào)查表》其中的有效問卷數(shù)據(jù)記錄，問卷由校方代為分發(fā)收集，供于非直觀量化評價因子的數(shù)據(jù)采集與分析。

本部分基于武漢市某小學(xué)三年級段在2015-2016學(xué)年第一學(xué)期的學(xué)測成績與問卷調(diào)查結(jié)果的統(tǒng)計分析，運用“綠色指標”評價體系，對該年級師生作出新的一輪評價，并分析學(xué)生學(xué)業(yè)成績與其余指標間的顯著性水平[1]。

本部分主要采用方差分析與主成分分析法，采用的分析軟件主要有：IBM SPSS Statistics 20與MATLAB 2007b等。

(二)學(xué)生基本信息

1.年級基本概況

本年級共有學(xué)生334人，有效成績記錄332人，有效問卷調(diào)查數(shù)據(jù)316人。

2.成績基本信息統(tǒng)計

本次期中測試共有332人參加，語文平均為91.4分，成績及格率為100%。數(shù)學(xué)平均為92.6分，成績及格率為100%。其余信息詳見以圖2所示：

圖2 三年級期中語文成績箱式分布圖

3.非成績基本信息統(tǒng)計

本次問卷調(diào)查共有316人有效參與。問卷部分數(shù)據(jù)有缺損，不作為作廢標準。各題情況與初步分析見以圖3～4表示：

圖3 三年級作答情況統(tǒng)計圖(單選)

圖4 三年級作答情況統(tǒng)計圖(多選)

圖5 單因素方差分析

(三)方差分析

1.明確目的

我們通過方差分析，得出單純依靠成績衡量學(xué)生標準下的“好與壞”，在新型建立的“綠色指標”教育評價體系下的更多相關(guān)因素，以探討學(xué)生學(xué)業(yè)成績水平的綜合因素。

2.統(tǒng)計分析

我們對本年級學(xué)生學(xué)業(yè)水平指數(shù)(即成績因子)與問卷調(diào)查因素(如上所示)的關(guān)聯(lián)性加以分析，試圖找出成績與其它因素的相關(guān)性，并給出指導(dǎo)性建議[2]。我們采用各因素方差分析的方法，具體如圖5所示。

圖6 各因素主成分分析

3.相關(guān)分析

我們選擇的顯著性為0.05，即置信度為95%。關(guān)注圖表中的sig.指數(shù)，其中：

單選題01,04,12,13,15,18,19的sig<0.01，說明以上單選題與學(xué)生分類顯著相關(guān)；

單選題02,03的sig<0.05，說明以上單選題與學(xué)生分類有相關(guān)性。

4.相關(guān)結(jié)論

(1)在三年級中，學(xué)生成績的好壞，與學(xué)生的自信心，學(xué)生的自我認同度有關(guān)聯(lián)。通過對數(shù)據(jù)的分析，一般地，成績好的學(xué)生有較大自信，自我認同度高；成績中等的學(xué)生，自信心與自我認同度會較之下降；成績較差的學(xué)生，自信心與自我認同度較低；

(2)在三年級中，學(xué)生成績的好壞，與學(xué)習動力、往次成績對自身的影響因素有關(guān)；其中，成績較好的學(xué)生，學(xué)習動力越強，也較看重往次成績，對自身影響較大；反之亦然；

(3)在三年級中，學(xué)生成績的好壞，與家庭和諧因素有關(guān)；其中，學(xué)生成績較好，家庭較為和諧；反之，學(xué)生成績較差，家庭和諧程度也較為低迷；

(4)在三年級中，學(xué)生成績的好壞，與學(xué)生尊重與責任心有關(guān)，且成正相關(guān)：學(xué)生成績較好，相應(yīng)尊重與責任心表現(xiàn)也越好；

(5)在三年級中，學(xué)生成績的好壞，還與學(xué)生鍛煉與幸福指數(shù)相關(guān)，且呈正相關(guān)：學(xué)生成績較好，相應(yīng)的鍛煉積極性與幸福感表現(xiàn)也較好；反之亦然。

5.相關(guān)評價

通過進行方差分析，我們可以得出以下結(jié)論：

(1)學(xué)生學(xué)業(yè)成績(即分數(shù))的高低與“綠色指標”評價體系中的因素有相關(guān)性，部分指標顯出的顯著性較強；

(2)存在部分指標是各類學(xué)生都具有共性的，或者分布較為均勻的；

(3)我們在教育中，應(yīng)重視顯著性較強的相關(guān)指標，在日常的教育中有所體現(xiàn)和側(cè)重，并建立更為科學(xué)合理的評價標準，因材施教。

(四)主成分分析

1.明確目的

我們通過主成分分析，可以優(yōu)化現(xiàn)有的“綠色指標”評價體系，使得評價指標更簡潔，更精準，更具有相互獨立性。

2.統(tǒng)計分析

我們對除學(xué)生學(xué)業(yè)水平指數(shù)(即成績因子)外的其余19個單選研究指數(shù)做主成分分析[3]，并得出主成分指標，以便進行進一步的有效研究。詳見上圖3-5所示。

此分析中不可允許NaN或者Inf，故我們采用平均取值的方法補齊為數(shù)不多的缺損值。

3.相關(guān)分析

主成分分析旨在找到分析問題的主要指標因素，在本年級數(shù)據(jù)中，由圖6可知，取前12個主成分，其累計貢獻率達85%，即其代表率達85%，即可符合要求。

四、結(jié)語

在當今“育人為本，教育為先”的背景下，用適合學(xué)生全面發(fā)展的教育評價體系來代替以往“唯成績論成敗”的評價標準，是一種勢在必行的趨勢和發(fā)展方向。面對各種教育評價體系的提出與實踐，我們更加需要用一種科學(xué)嚴謹?shù)膽B(tài)度，去反復(fù)的跟蹤論證它的科學(xué)性與可行性。

本文中主要運用的方差分析與主成分分析法，則為我們提供了對教育評價體系作出效能評估的有力方法，它使得我們?nèi)ピu價一種體系時，有理有據(jù)，從理論中來，到教學(xué)實踐中去，最后再反饋和修正機制，使得更加科學(xué)完善。

同時，關(guān)于“綠色指標”評價，應(yīng)根據(jù)各個學(xué)校的實際情況，選擇主要影響因素來分析學(xué)生、教師、家庭、學(xué)校、社會等方面的相互影響性。對于“綠色指標”評價體系而言：一方面，要關(guān)注普遍傾向性明顯的作答情況，此說明學(xué)生與家庭的普遍訴求與愿望；另一方面，要重點關(guān)注某些因素(如學(xué)業(yè)水平因素)與其余某些因素之間的關(guān)系，以作為“綠色指標”的重要應(yīng)用之一。針對后續(xù)規(guī)劃，我們可以進一步分析其余因素間影響，優(yōu)化問卷調(diào)查形式及內(nèi)容，保證進行的客觀性，持續(xù)關(guān)注效果反饋等。

將數(shù)學(xué)統(tǒng)計分析應(yīng)用于教學(xué)評價中，無疑為我們得出的結(jié)論提供了強有力的保障，使得我們在教育改革的路上，走得自信，科學(xué)，可持續(xù)發(fā)展。

[1] 薛薇.統(tǒng)計分析與SPSS的應(yīng)用(第4版)[M].北京:中國人民大學(xué)出版社,2014.90～97.

[2] 趙東方.數(shù)學(xué)模型與競賽[M].武漢:華中師范大學(xué)出版社,2014.50～70.

[3] Rick Durrett.Probability:Theory and Examples[M].Oxford:Cambridge University Press,2010.20～22.

責任編輯：熊 瑛

2017-01-12

2095-4654(2017)03-0148-05

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