王華彪，王滄海

（1．重慶電力高等專科學(xué)校，重慶400053；2．四川廣安發(fā)電有限責(zé)任公司，四川廣安638600）

迎風(fēng)型緊致算法在二維不可壓縮粘性流動(dòng)中的應(yīng)用

王華彪1，王滄海2

（1．重慶電力高等?？茖W(xué)校，重慶400053；2．四川廣安發(fā)電有限責(zé)任公司，四川廣安638600）

給出一種高精度求解二維不可壓縮粘性流動(dòng)N－S方程的差分算法，該算法對(duì)流項(xiàng)具有三階精度，粘性項(xiàng)具有四階精度，能精確地求解二維不可壓縮粘性流體運(yùn)動(dòng)的定常解。同時(shí)，用計(jì)算機(jī)數(shù)值計(jì)算和圖像顯示的方法模擬該流體運(yùn)動(dòng)壓力云與流線圖，準(zhǔn)確地描述二維不可壓縮粘性流動(dòng)，完成了典型算例。

迎風(fēng)型緊致算法；納維－斯托克斯方程；不可壓縮粘性流動(dòng)

納維－斯托克斯方程（N－S方程）是計(jì)算不可壓縮流體運(yùn)動(dòng)的基本方程，對(duì)其數(shù)值解法的研究從未間斷，緊致差分格式因能取得高精度的近似解引起人們的關(guān)注［1］。本文采用改進(jìn)的迎風(fēng)型緊致算法求解不可壓縮粘性流動(dòng)的高精度定常解，并用計(jì)算機(jī)數(shù)值計(jì)算和圖像顯示的方法，模擬該運(yùn)動(dòng)壓力云與流線圖［2］，準(zhǔn)確地描述二維不可壓縮粘性流動(dòng)。

1 幾何模型

不可壓縮粘性流體以一定速度流入具有交錯(cuò)雙凹槽管道中，如圖1所示。在凹槽內(nèi)會(huì)形成漩渦，本文將求解此漩渦運(yùn)動(dòng)的最終定常解，并對(duì)該運(yùn)動(dòng)進(jìn)行準(zhǔn)確描述。

圖1 不可壓縮粘性流體在交錯(cuò)雙凹槽管道中流動(dòng)問(wèn)題示意圖

本次模擬管道幾何尺寸為：AG＝FL＝2，GL＝6，GH＝IJ＝CD＝1，HI＝BC＝0．5，AB＝3。

t＝0時(shí)，在計(jì)算區(qū)域內(nèi)流體初始參數(shù)：

邊界條件：①在左邊界AB面上為均勻來(lái)流，均勻來(lái)流參數(shù)可由式（1）計(jì)算得到；②管道的上下壁面、上凹槽的上壁面、下凹槽的下壁面和凹槽的側(cè)壁面是剛性壁面，速度應(yīng)滿足無(wú)滑移反射條件，即在管道的上下壁面、上凹槽的上壁面、下凹槽的下壁面和凹槽的側(cè)壁面上速度為零；③在右邊界CD上應(yīng)滿足自由輸出條件，即滿足

2 計(jì)算方法與計(jì)算流程圖

2．1 數(shù)值方法

對(duì)時(shí)間項(xiàng)取簡(jiǎn)單向前差分格式，壓力項(xiàng)取顯示中心差分格式，對(duì)流項(xiàng)采用迎風(fēng)型三階緊致算法差分格式，粘性項(xiàng)采用對(duì)稱性型四階緊致算法差分格式，則動(dòng)量方程式（3）、式（4）的二維迎風(fēng)型緊致算法差分格式為

考慮迎風(fēng)特性后，流項(xiàng)的差分格式為

對(duì)流項(xiàng)F的三階迎風(fēng)型緊致算法差分格式：

當(dāng)a＞0時(shí)，

其中，求解Fux＋，F(xiàn)ux－，F(xiàn)uy＋，F(xiàn)uy－時(shí)，f為u；求解Fvx＋，F(xiàn)vx－，F(xiàn)vy＋，F(xiàn)vy－時(shí)，f為v。

粘性項(xiàng)S的四階緊致算法差分格式為

其中，求解Sux，Suy時(shí)，s為u；求解Svx，Svy時(shí)，s為v。

針對(duì)本例是二維不可壓縮粘性流動(dòng)，我們采用人工壓縮算法求解。為此，在連續(xù)方程中加 p項(xiàng)，將 t連續(xù)方程式（2）轉(zhuǎn)化得到

從而得到二維粘性流動(dòng)N－S方程組人工壓縮算法的緊致算法差分格式

由此，上述方程組的數(shù)值解就是本例物理問(wèn)題的定常解。

2．2 計(jì)算網(wǎng)格設(shè)計(jì)

同一計(jì)算區(qū)域內(nèi)，網(wǎng)格數(shù)設(shè)計(jì)越大，流動(dòng)模擬越細(xì)致，但算法也越復(fù)雜、計(jì)算速度越慢。為了描述流動(dòng)細(xì)節(jié)，本例采用的網(wǎng)格數(shù)為301×601的交錯(cuò)網(wǎng)格，速度和壓力分別設(shè)置在整網(wǎng)格點(diǎn)和半網(wǎng)格點(diǎn)上，如圖2所示。圖中，粗實(shí)線表示區(qū)域邊界，壓力p設(shè)置在主控單元的中心，速度v在對(duì)應(yīng)壓力點(diǎn)的上方，速度u在對(duì)應(yīng)壓力點(diǎn)的右側(cè)。

圖2 交錯(cuò)網(wǎng)格示意圖

3 計(jì)算結(jié)果及分析

輸出數(shù)據(jù)由tecplot360進(jìn)行后處理。壓力云圖見圖3，流線圖見圖4。

圖3 壓力云圖

圖4 流線圖

該計(jì)算結(jié)果是在Re＝100，網(wǎng)格數(shù)為301×601，時(shí)間步長(zhǎng)為0．001，壓縮因子C＝1．8，收斂條件為當(dāng)計(jì)算區(qū)域內(nèi)各點(diǎn)速度的散度絕對(duì)值的最大值小于0．000 1時(shí)，計(jì)算得到的運(yùn)行步數(shù)為347 750步，普通電腦的運(yùn)行時(shí)間大于10 h。如果壓縮因子C取1．5，其他條件不變，運(yùn)行步數(shù)約為380 000步，壓縮因子取值對(duì)收斂性和收斂速度都有較大影響。

4 結(jié)論

本文采用迎風(fēng)緊致算法求解定常不可壓縮流體N－S方程，該算法中對(duì)流項(xiàng)采用迎風(fēng)型三階緊致算法，粘性項(xiàng)采用四階緊致算法。因此，對(duì)流項(xiàng)具有三階精度，粘性項(xiàng)具有四階精度，較普通對(duì)流算法具有計(jì)算精度高、模擬更合理和接近實(shí)際流動(dòng)的優(yōu)點(diǎn)。壓力云圖和流線圖，算法較為精確且網(wǎng)格數(shù)較大，更好地反映了二維不可壓縮粘性流動(dòng)在小尺度范圍內(nèi)的結(jié)構(gòu)，準(zhǔn)確地反映了實(shí)際運(yùn)動(dòng)事實(shí)，非常精確地獲取了漩渦運(yùn)動(dòng)的最終定常解。

［1］ 王婉歆，白乙拉，孫琦，等．一種改進(jìn)的求解N－S方程的高精度精致算法［J］．渤海大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2012，33（1）：1－5．

［2］ 楊小平，王文豪，馬遠(yuǎn)瓊，等．CFD軟件在流體力學(xué)教學(xué)難點(diǎn)中的應(yīng)用研究［J］．東莞理工學(xué)院學(xué)報(bào)，2016，23（5）：118－122．

A Study on the App lication of the Upw ind Com paction Algorithm in the Two Dimensional Incompressible Viscous Flow

WANG Huabiao1，WANG Canghai2
（1．Chongqing Electric Power College，Chongqing 400053，P．R．China；2．Sichuan Guang an Power Generation Co．，Ltd．of CHD，Guang an Sichuan 638600，P．R．China）

This paper introduces a high accuracy difference algorithm for the solution to the two dimensional incom pressible viscous flow N Sequation，which realizes three order accuracy and four order accuracy for flow and viscos ity items respectively and can be used to reach steady solutions to two dimensional incompressible viscous equations of fluid motion．Meanwhile，numerical computations and image displays can be used to simulate the pressure cloud and the streamlined diagram of the fluid motion，accurately describe the two dimensional incompressible viscous flow，and finish typical examples．

upwind compaction algorithm；N S equation；incompressible viscous flow

O357．1

A

1008 8032（2017）03 0046 03

2017－02－24

王華彪（1989－），助教，研究方向?yàn)閯?dòng)力工程。