賀光宗， 陳懷海， 孫建勇

(1. 山東理工大學(xué) 交通與車輛工程學(xué)院, 山東 淄博 255049； 2. 南京航空航天大學(xué) 航空宇航學(xué)院, 南京 210016；3. 中國(guó)航空綜合技術(shù)研究所， 北京 100028)

多軸向與單軸向隨機(jī)激勵(lì)下結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)對(duì)比研究

賀光宗1,2， 陳懷海2， 孫建勇3

(1. 山東理工大學(xué) 交通與車輛工程學(xué)院, 山東 淄博 255049； 2. 南京航空航天大學(xué) 航空宇航學(xué)院, 南京 210016；3. 中國(guó)航空綜合技術(shù)研究所， 北京 100028)

為了分析結(jié)構(gòu)在多軸向與單軸向振動(dòng)環(huán)境下疲勞失效行為存在的差異，從理論分析、數(shù)值仿真以及試驗(yàn)研究三個(gè)方面，對(duì)典型結(jié)構(gòu)開(kāi)展了多軸向與單軸向隨機(jī)振動(dòng)環(huán)境下動(dòng)力學(xué)響應(yīng)對(duì)比研究。研究結(jié)果表明：多軸向振動(dòng)環(huán)境能夠同時(shí)激發(fā)結(jié)構(gòu)不同方向的模態(tài)振型，在三個(gè)軸向互不相關(guān)的振動(dòng)環(huán)境下，結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)為各個(gè)方向單軸向振動(dòng)時(shí)引起的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的疊加；若各軸向載荷間存在相關(guān)性，則其相關(guān)性對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)存在明顯影響，且影響是有規(guī)律的。對(duì)以上結(jié)論產(chǎn)生的原因進(jìn)行了分析研究，為兩種工況下結(jié)構(gòu)振動(dòng)疲勞失效行為的研究奠定了基礎(chǔ)。

動(dòng)力學(xué)響應(yīng)；多軸向隨機(jī)振動(dòng)；振動(dòng)疲勞；模態(tài)振型

航空航天、車輛及機(jī)械等行業(yè)中的產(chǎn)品所處的振動(dòng)環(huán)境一般是多軸向的，有的振動(dòng)環(huán)境甚至呈現(xiàn)三軸向六自由度特征[1]。但由于試驗(yàn)技術(shù)和設(shè)備的限制，在早期的研究中無(wú)法實(shí)現(xiàn)多軸向振動(dòng)激勵(lì)，因此，在多軸向振動(dòng)環(huán)境試驗(yàn)中，研究者提出在三個(gè)正交軸向依次進(jìn)行單軸向振動(dòng)試驗(yàn)的方式等效真實(shí)的多軸向振動(dòng)環(huán)境[2]。在半個(gè)世紀(jì)的實(shí)踐中，這種試驗(yàn)方式產(chǎn)生了很好的效果，暴露了大量產(chǎn)品的缺陷，提高了產(chǎn)品的振動(dòng)可靠性，該試驗(yàn)方式目前仍在被廣泛應(yīng)用。近年來(lái)，隨著科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步和研究的深入，此類方法的有效性受到了廣泛的質(zhì)疑，文獻(xiàn)[3-4]研究指出產(chǎn)品雖然通過(guò)了單軸等效試驗(yàn)，卻在實(shí)際的振動(dòng)環(huán)境中發(fā)生了疲勞失效；Whiteman等[5-7]對(duì)簡(jiǎn)單試件和典型產(chǎn)品進(jìn)行了單軸向與多軸向振動(dòng)疲勞對(duì)比試驗(yàn)研究。文獻(xiàn)[8]采用等效應(yīng)力法計(jì)算了結(jié)構(gòu)在兩種振動(dòng)環(huán)境下的疲勞損傷，都指出兩種振動(dòng)工況下結(jié)構(gòu)的疲勞時(shí)間、失效位置存在差異。但是對(duì)于兩種工況下結(jié)構(gòu)疲勞失效行為差異原因的分析和研究卻很少，為更好的評(píng)估傳統(tǒng)單軸向等效振動(dòng)試驗(yàn)的有效性，明確其不足產(chǎn)生的原因，對(duì)兩種振動(dòng)模式下結(jié)構(gòu)疲勞失效行為差異的成因開(kāi)展研究十分必要。

工程結(jié)構(gòu)或機(jī)械零件在振動(dòng)環(huán)境中長(zhǎng)期服役而產(chǎn)生振動(dòng)疲勞失效，其根本原因是失效部位長(zhǎng)期承受常幅或變幅的應(yīng)力循環(huán)作用，應(yīng)力循環(huán)會(huì)或多或少的對(duì)結(jié)構(gòu)造成疲勞損傷，研究表明結(jié)構(gòu)共振引起的高水平應(yīng)力循環(huán)對(duì)結(jié)構(gòu)的損傷起主要作用[9-10]，當(dāng)疲勞損傷積累超過(guò)疲勞失效的臨界損傷時(shí)，就會(huì)造成結(jié)構(gòu)的疲勞失效。結(jié)構(gòu)在振動(dòng)環(huán)境中產(chǎn)生的應(yīng)力的大小，方向以及應(yīng)力分布將直接決定結(jié)構(gòu)疲勞壽命，裂紋產(chǎn)生或擴(kuò)展的方向，因此，研究結(jié)構(gòu)在不同振動(dòng)環(huán)境下的疲勞失效行為，應(yīng)首先從研究結(jié)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)入手。在多軸向振動(dòng)環(huán)境下結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)研究方面，F(xiàn)üllekrug等[11]對(duì)多軸振動(dòng)環(huán)境下航空構(gòu)件的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)進(jìn)行了研究，得到了頻域內(nèi)和時(shí)域內(nèi)結(jié)構(gòu)與基礎(chǔ)激勵(lì)加速度之間的關(guān)系表達(dá)式。Füllekrug[12]通過(guò)多軸向振動(dòng)臺(tái)模擬了地震激勵(lì)，研究了S形結(jié)構(gòu)在多軸向振動(dòng)激勵(lì)下的模態(tài)識(shí)別問(wèn)題。陳穎等[13]對(duì)典型結(jié)構(gòu)在單、多軸向振動(dòng)環(huán)境下的加速度響應(yīng)進(jìn)行了試驗(yàn)研究，指出了兩種工況下結(jié)構(gòu)加速度響應(yīng)存在的差異。

本文從理論分析、數(shù)值仿真和試驗(yàn)驗(yàn)證三方面，研究了結(jié)構(gòu)在單軸向和多軸向隨機(jī)振動(dòng)環(huán)境下的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。通過(guò)對(duì)不同工況下結(jié)構(gòu)的加速度響應(yīng)和應(yīng)力響應(yīng)的比較分析，研究結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的差異，并分析差異產(chǎn)生的原因，得到載荷工況對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的影響規(guī)律。為多軸向與單軸向振動(dòng)環(huán)境下結(jié)構(gòu)疲勞失效行為分析提供了理論依據(jù)。

1 理論分析

1.1 基礎(chǔ)激勵(lì)下多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)

剛性基礎(chǔ)激勵(lì)下，多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為

(1)

(2)

式中:R為影響系數(shù)矩陣或剛體模態(tài)矩陣，其元素Rij的物理意義為僅在剛性基礎(chǔ)第i激勵(lì)自由度施加單位加速度時(shí)，結(jié)構(gòu)上第j自由度的加速度響應(yīng)，w(t)為剛性基礎(chǔ)的位移。

將式(2)代入式(1)得到

(3)

通過(guò)固有振型矩陣Φ=[φ1,φ2,…,φm]進(jìn)行坐標(biāo)變換，將物理坐標(biāo)v(t)表示為

v(t)=Φη(t)

(4)

根據(jù)模態(tài)振型矩陣的正交性，式(3)可表示為

(5)

(6)

(7)

式中:A為對(duì)角矩陣，且

(8)

(9)

式中:Dσ為應(yīng)力矩陣。

1.2 單、多軸向基礎(chǔ)激勵(lì)下動(dòng)力學(xué)響應(yīng)分析

由式(6)和式(8)可知，基礎(chǔ)激勵(lì)加速度與結(jié)構(gòu)加速度以及應(yīng)力之間的關(guān)系形式相同，在三軸向振動(dòng)環(huán)境下可以表示為

(10)

由上式可知，結(jié)構(gòu)在三軸向振動(dòng)環(huán)境中的響應(yīng)包含了三個(gè)方向的加速度激勵(lì)與不同方向的頻響函數(shù)的組合。根據(jù)式(7)和式(9)可知不同方向的頻響函數(shù)包含不同方向激勵(lì)激發(fā)的模態(tài)振型，因此三軸向同時(shí)振動(dòng)環(huán)境下的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)包含了三個(gè)方向的模態(tài)信息。而結(jié)構(gòu)在單軸向振動(dòng)時(shí)式(10)簡(jiǎn)化為

(11)

式(11)中的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)中只有本方向振動(dòng)激發(fā)出的模態(tài)參與計(jì)算，因此多軸向同時(shí)振動(dòng)與單軸向振動(dòng)環(huán)境下結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)在模態(tài)振型參與以及能量分布等方面都存在區(qū)別，差異的大小與各軸向載荷輸入的量級(jí)以及各軸向載荷之間的相關(guān)性有關(guān)。下面首先考慮各軸向載荷互不相關(guān)的情形，即輸入載荷譜間的互譜為零，則式(10)可以簡(jiǎn)化為

(12)

式中:Gx(f),Gy(f),Gz(f)分別為結(jié)構(gòu)在各個(gè)方向單軸向振動(dòng)工況下該點(diǎn)的動(dòng)力響應(yīng)的功率譜密度矩陣，由響應(yīng)的均方根與響應(yīng)功率譜密度矩陣之間的關(guān)系

(13)

得到結(jié)構(gòu)在三軸向振動(dòng)和單軸向振動(dòng)環(huán)境下動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的均方根值存在以下關(guān)系

(14)

由上式可知在三個(gè)方向互不相關(guān)的隨機(jī)振動(dòng)載荷作用下，結(jié)構(gòu)上各點(diǎn)的響應(yīng)為三個(gè)方向單獨(dú)振動(dòng)工況下引起響應(yīng)的疊加，其量值應(yīng)明顯大于單軸向振動(dòng)所引起的響應(yīng)。另外，由于疊加作用，三軸向振動(dòng)與單軸向振動(dòng)環(huán)境下結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的分布也是不同的。

根據(jù)式(10)，當(dāng)考慮各軸向載荷間相關(guān)性時(shí)，隨著輸入載荷譜間的相干系數(shù)γij和相位角θij的變化，其互功率譜密度Gij(f)可能為正也可能為負(fù)，其量值也在不斷變化，因此可能使得結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)增大，也可能削弱結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。各軸向載荷間相干系數(shù)和相位角的變化對(duì)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的影響規(guī)律將在下文結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)仿真中進(jìn)行定量分析討論。

2 典型構(gòu)件動(dòng)力學(xué)仿真分析

2.1 動(dòng)力學(xué)仿真模型

本文動(dòng)力學(xué)仿真和試驗(yàn)?zāi)Ｐ?，如圖1所示。結(jié)構(gòu)在x，y，z方向的尺寸分別為180 mm，150 mm和120 mm，底板厚度10 mm，模型上方中央處有一邊長(zhǎng)為40 mm的正方體質(zhì)量塊，其余結(jié)構(gòu)為橫截面為5 mm×10 mm的矩形截面的板件。結(jié)構(gòu)材料為鋁合金6061-T6，彈性模量為69 GPa，泊松比為0.3，密度為2 700 kg/m3。采用大質(zhì)量法模擬結(jié)構(gòu)安裝在振動(dòng)臺(tái)上產(chǎn)生的三軸向平動(dòng)基礎(chǔ)激勵(lì)，通過(guò)模態(tài)分析得到結(jié)構(gòu)的前三階固有頻率分別為122.14 Hz，186.52 Hz和214.13 Hz。模型前兩階振型為沿y軸向和x軸向的擺動(dòng)，可分別由y軸向和x軸向的振動(dòng)激發(fā)；第三階固有振型為沿z軸向的垂直振動(dòng)，可由z軸向振動(dòng)的激發(fā)。

圖1 結(jié)構(gòu)有限元模型Fig.1 The finite element model

2.2 隨機(jī)振動(dòng)環(huán)境下動(dòng)力學(xué)響應(yīng)分析

對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行單軸向以及多軸向隨機(jī)振動(dòng)分析，載荷為施加在模型底板的加速度基礎(chǔ)激勵(lì)，根據(jù)模態(tài)分析的結(jié)果，三個(gè)方向的加速度激勵(lì)的功率譜密度均采用量值為6×10-4g2/Hz的水平直線譜，載荷譜頻帶范圍為100～250 Hz，加速度均方根為0.3g，分析過(guò)程中不考慮各軸向載荷間的相關(guān)性。

2.2.1 加速度分析

對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行三軸向與單軸向隨機(jī)振動(dòng)分析，分析節(jié)點(diǎn),如圖1所示。分析表明對(duì)于本文采用的結(jié)構(gòu)x，y軸向的加速度響應(yīng)主要由本方向激勵(lì)所激發(fā)的模態(tài)計(jì)算得到，如圖2為結(jié)構(gòu)在三軸向和x軸向振動(dòng)工況下x軸向的加速度響應(yīng)，可見(jiàn)節(jié)點(diǎn)在兩種振動(dòng)工況下x軸向的加速度響應(yīng)相同，說(shuō)明三軸向振動(dòng)時(shí)另外兩個(gè)方向的模態(tài)在x軸向加速度響應(yīng)的計(jì)算中的參與可以忽略不計(jì)。

(a)三軸向振動(dòng)

(b)x軸向振動(dòng)圖2 典型節(jié)點(diǎn)不同工況下x軸向加速度PSDFig.2 The x-axial acceleration PSD of different load cases

但是結(jié)構(gòu)上各節(jié)點(diǎn)在z軸向的加速度響應(yīng)卻與多個(gè)軸向的模態(tài)有關(guān)，如圖3所示。當(dāng)z軸向單獨(dú)振動(dòng)時(shí)z軸向加速度響應(yīng)中只有第三階模態(tài)被激發(fā)，而三軸向同時(shí)振動(dòng)時(shí)z軸向加速度響應(yīng)中有兩個(gè)或三個(gè)軸向的模態(tài)被激發(fā)出來(lái)，說(shuō)明三軸隨機(jī)振動(dòng)能夠同時(shí)激發(fā)結(jié)構(gòu)各個(gè)方向的模態(tài)振型，各節(jié)點(diǎn)z軸向的加速度均方根值也明顯大于z軸向單獨(dú)振動(dòng)。

(a)三軸向振動(dòng)

(b)z軸向振動(dòng)圖3 不同工況下z軸向加速度響應(yīng)Fig.3 The z-axial acceleration PSD of different load cases

采用相同的激勵(lì)，對(duì)結(jié)構(gòu)在x和y軸向單獨(dú)振動(dòng)環(huán)境下進(jìn)行了z軸向加速度分析。與圖3中z軸單軸向振動(dòng)相似，在x和y軸向單軸向振動(dòng)時(shí)，結(jié)構(gòu)各點(diǎn)的z軸向加速度功率譜密度在分析頻帶內(nèi)只有一個(gè)峰值出現(xiàn)，結(jié)構(gòu)的第二階和第一階模態(tài)分別被激發(fā)出來(lái)。各個(gè)節(jié)點(diǎn)在三個(gè)軸向單獨(dú)振動(dòng)以及同時(shí)振動(dòng)時(shí)的加速度均方根,如表1所示。

表1 不同工況下z軸向加速度RMS值

由表1可知結(jié)構(gòu)三軸向振動(dòng)工況下z軸向加速度RMS值與各軸向單獨(dú)振動(dòng)工況下z軸向加速度RMS值滿足時(shí)式(14)。即當(dāng)各軸向載荷譜互不相干時(shí)，三軸向同時(shí)振動(dòng)工況下，結(jié)構(gòu)在某個(gè)軸向的加速度響應(yīng)為各個(gè)軸向單獨(dú)振動(dòng)工況下該軸向加速響應(yīng)的疊加。

2.2.2 應(yīng)力響應(yīng)分析

對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行了三軸向與單軸向隨機(jī)振動(dòng)工況下應(yīng)力響應(yīng)分析研究。典型節(jié)點(diǎn)位置,如圖1所示。分析發(fā)現(xiàn)與加速度響應(yīng)不同，各節(jié)點(diǎn)的六個(gè)應(yīng)力分量的功率譜密度圖中均有三個(gè)峰值，例如y軸向正應(yīng)力響應(yīng)(圖4)，即各應(yīng)力分量計(jì)算中三個(gè)軸向的模態(tài)同時(shí)被激發(fā)出來(lái)，說(shuō)明相比加速度響應(yīng)(見(jiàn)圖2)結(jié)構(gòu)的應(yīng)力響應(yīng)的多軸效應(yīng)更為明顯。

圖4 三軸向振動(dòng)工況下節(jié)點(diǎn)y向正應(yīng)力PSDFig.4 The y-axial normal stress PSD under 3-axial excitations

為了研究單軸向振動(dòng)與三軸向振動(dòng)環(huán)境下應(yīng)力響應(yīng)之間的關(guān)系，計(jì)算了三個(gè)軸向單獨(dú)振動(dòng)時(shí)與三軸向同時(shí)振動(dòng)時(shí)各點(diǎn)的von Mises應(yīng)力，其功率譜密度,如圖5所示?？梢?jiàn)在單軸向振動(dòng)時(shí)結(jié)構(gòu)的應(yīng)力響應(yīng)中只有本方向振動(dòng)激發(fā)的模態(tài)參與，而三軸向同時(shí)振動(dòng)時(shí)的應(yīng)力中三個(gè)模態(tài)都被激發(fā)出來(lái)。

(a)x軸向振動(dòng) (b)y軸向振動(dòng)

(c)z軸向振動(dòng) (d)三軸向振動(dòng)圖5 不同工況下von Mises 應(yīng)力PSDFig.5 The PSD of von Mises stress of different load cases

各工況下節(jié)點(diǎn)的von Mises應(yīng)力值,如表2所示，由數(shù)據(jù)可知在各軸向載荷譜之間互不相干的情況下，三軸向同時(shí)振動(dòng)工況下在結(jié)構(gòu)上某點(diǎn)引起的von Mises應(yīng)力為各個(gè)軸向單獨(dú)振動(dòng)工況下在該點(diǎn)引起的von Mises應(yīng)力的疊加，滿足式(14)。

2.3 載荷相關(guān)性對(duì)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)影響分析

對(duì)模型進(jìn)行了x和y向同時(shí)振動(dòng)試驗(yàn)，兩個(gè)方向激勵(lì)的自功率譜密度與前文三軸向振動(dòng)試驗(yàn)相同。通過(guò)設(shè)置兩振動(dòng)方向載荷間不同相干系數(shù)和相位角的組合，得到不同耦合關(guān)系的兩軸向同時(shí)振動(dòng)環(huán)境，計(jì)算結(jié)構(gòu)在不同振動(dòng)環(huán)境下的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，研究載荷相關(guān)對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的影響規(guī)律。

表2 不同工況下von Mises的RMS值

2.3.1 載荷相關(guān)性對(duì)加速度的影響

計(jì)算了典型節(jié)點(diǎn)在兩個(gè)軸向不同相干系數(shù)與相位角組合工況下的z軸向加速度響應(yīng)。結(jié)果表明：不同軸向載荷譜間相干系數(shù)和相位角的變化對(duì)結(jié)構(gòu)z軸向加速的影響規(guī)律隨著位置的不同而不同，87號(hào)節(jié)點(diǎn)和11763號(hào)節(jié)點(diǎn)(如圖1所示，分別處于結(jié)構(gòu)的x和y軸向?qū)ΨQ軸上)，在兩軸向載荷譜相干系數(shù)和相位角發(fā)生改變的情況下，其z軸向加速度并未放生變化，并且與兩軸向載荷譜互不相干時(shí)的加速度值相同；其余節(jié)點(diǎn)z軸向加速度隨相干系數(shù)和相位角改變的變化規(guī)律可以分為兩種情況，如圖6所示。由圖6可知，z軸向加速度隨兩軸向載荷譜間相干系數(shù)和相位角的改變呈規(guī)律變化，如232號(hào)節(jié)點(diǎn)，當(dāng)相位角小于180°時(shí)，z軸向加速度隨著相干系數(shù)的增大而增大；當(dāng)相位角>180°時(shí)，z軸向加速度隨著相干系數(shù)的增大而減小。在相同相干系數(shù)工況下，z軸向加速度隨相位角的增大呈先增大然后減小，再增大的類似正弦的變化規(guī)律，z軸向加速度的最大值和最小值分別出現(xiàn)在相位角為90°時(shí)以及270°時(shí)。結(jié)構(gòu)上另一側(cè)的節(jié)點(diǎn)如11591號(hào)和11722號(hào)節(jié)點(diǎn)的變化,如圖6(b)所示。其z軸向加速度受相干系數(shù)和相位角影響的變化規(guī)律與232號(hào)節(jié)點(diǎn)完全相反。另外，對(duì)于結(jié)構(gòu)上不同位置受載荷相關(guān)影響產(chǎn)生的最大與最小加速度的差值也是不同的，如表3所示。

2.3.2 載荷相關(guān)性對(duì)應(yīng)力的影響

對(duì)兩軸向不同耦合工況下結(jié)構(gòu)的von Mises 應(yīng)力進(jìn)行了計(jì)算分析，研究結(jié)果表明：結(jié)構(gòu)上各點(diǎn)應(yīng)力隨兩軸向載荷譜間相干系數(shù)和相位角的改變呈規(guī)律變化，典型節(jié)點(diǎn)von Mises 應(yīng)力的變化規(guī)律如圖7所示。其規(guī)律與加速度響應(yīng)的變化規(guī)律相同，但是也存在一定差別：位于結(jié)構(gòu)x和y軸向?qū)ΨQ軸上的12605和12862號(hào)節(jié)點(diǎn)(見(jiàn)圖1)，其von Mises應(yīng)力隨相干系數(shù)和相位角的改變而發(fā)生規(guī)律變化，進(jìn)一步說(shuō)明相比于結(jié)構(gòu)的加速度響應(yīng)，結(jié)構(gòu)的應(yīng)力響應(yīng)的多軸效應(yīng)更為明顯。另外，不同節(jié)點(diǎn)在不同耦合工況下的應(yīng)力增量也是不同的，說(shuō)明載荷譜間的相干性對(duì)結(jié)構(gòu)上的不同位置影響程度是不同的。

(b)11591號(hào)節(jié)點(diǎn)圖6 不同耦合工況下z軸向加速度響應(yīng)Fig.6 The RMS of z-axial acceleration of different coupled load cases

加速度RMS值/g節(jié)點(diǎn)號(hào)11722115918723212746最小值0.31990.24590.32840.19580.2480最大值0.33280.27010.32840.20470.2572增量/%4.049.8704.583.70

(a)7199號(hào)節(jié)點(diǎn)

(b)1006號(hào)點(diǎn)圖7 不同耦合工況下von Mises應(yīng)力變化圖Fig.7 The RMS of von Mises stress of different coupled load cases

3 試驗(yàn)研究

3.1 試驗(yàn)試件與試驗(yàn)系統(tǒng)

試驗(yàn)件,如圖8所示。其尺寸以及材料與仿真模型一致，試件由整塊型材通過(guò)線切割加工而成。通過(guò)試驗(yàn)測(cè)得試件在安裝完成后的前三階固有頻率分別為121.25 Hz，186.5 Hz和213.5 Hz，與仿真結(jié)果吻合較好。試驗(yàn)系統(tǒng)主要由多軸向振動(dòng)控制系統(tǒng)，加速度測(cè)試系統(tǒng)和動(dòng)態(tài)應(yīng)變測(cè)試系統(tǒng)三部分組成。多軸向振動(dòng)控制系統(tǒng)通過(guò)三個(gè)加速度計(jì)將臺(tái)面三個(gè)軸向的加速度反饋給控制系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)多軸向振動(dòng)環(huán)境的控制；加速測(cè)試系統(tǒng)包括加速度計(jì)和動(dòng)態(tài)信號(hào)分析儀，實(shí)現(xiàn)典型位置加速度的測(cè)量和記錄；動(dòng)態(tài)應(yīng)變測(cè)試系統(tǒng)通過(guò)應(yīng)變片和動(dòng)態(tài)應(yīng)變儀測(cè)量并記錄結(jié)構(gòu)典型位置處的應(yīng)變響應(yīng)。

圖8 試驗(yàn)試件和試驗(yàn)現(xiàn)場(chǎng)Fig.8 The photo of the test specimen and test field

3.2 試驗(yàn)過(guò)程與結(jié)果分析

對(duì)試驗(yàn)件分別進(jìn)行三軸向互不相關(guān)的同時(shí)振動(dòng)試驗(yàn)，以及x，y和z軸向單軸向振動(dòng)試驗(yàn)。三軸向與單軸向試驗(yàn)中各個(gè)軸向的加速度載荷譜功率譜密度均與動(dòng)力學(xué)仿真相同。

3.2.1 加速度響應(yīng)分析

通過(guò)加速度計(jì)和動(dòng)態(tài)信號(hào)分析儀測(cè)量記錄結(jié)構(gòu)典型節(jié)點(diǎn)處的加速度響應(yīng)，為了便于對(duì)比分析，測(cè)點(diǎn)位置與動(dòng)力學(xué)仿真位置相同。通過(guò)對(duì)比三軸向振動(dòng)與單軸向振動(dòng)工況下x，y軸向的加速度響應(yīng)(如圖9為y軸向響應(yīng))，得到與仿真結(jié)果(見(jiàn)圖2)相同的結(jié)論，即對(duì)于結(jié)構(gòu)在某些軸向的加速度響應(yīng)主要是由本方向振動(dòng)激發(fā)的模態(tài)引起的。

對(duì)典型節(jié)點(diǎn)進(jìn)行了三軸向同時(shí)振動(dòng)與z軸向單軸振動(dòng)工況的z軸向加速度測(cè)量分析結(jié)果,如圖10所示。由圖可見(jiàn)在三軸向同時(shí)振動(dòng)工況下結(jié)構(gòu)上各點(diǎn)的加速

(a)三軸向振動(dòng)

(b)y軸向振動(dòng)圖9 不同工況下y軸向加速度PSDFig.9 The y-axial acceleration PSD of different load cases

度功率譜密度圖的第一個(gè)峰值比仿真結(jié)果大，可能的原因是在實(shí)際三軸向振動(dòng)試驗(yàn)中y軸向的控制譜量級(jí)略大于參考譜的量級(jí)，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的第一階模態(tài)在振動(dòng)中被放大。除此之外，三軸向振動(dòng)與z軸向振動(dòng)所測(cè)得的試驗(yàn)結(jié)果與仿真結(jié)果(見(jiàn)圖3)基本一致。

(a)三軸向振動(dòng)

(b)z軸向振動(dòng)圖10 不同工況下z軸向加速度響應(yīng)Fig.10 The z-axial acceleration PSD of different load cases

為了研究結(jié)構(gòu)在三軸向同時(shí)振動(dòng)與單軸向振動(dòng)時(shí)加速度響應(yīng)之間的關(guān)系，對(duì)結(jié)構(gòu)分別進(jìn)行了x和y軸向的單軸向振動(dòng)試驗(yàn)，試驗(yàn)中對(duì)典型節(jié)點(diǎn)z軸加速度響應(yīng)進(jìn)行了測(cè)試，結(jié)果如圖11所示。由圖可見(jiàn)當(dāng)結(jié)構(gòu)受到x軸或y軸向激勵(lì)時(shí)，z軸向加速響應(yīng)中結(jié)構(gòu)的第二階模態(tài)和第一階模態(tài)振型被激發(fā)，這與分析結(jié)論一致。與仿真結(jié)果不同的是圖中出現(xiàn)了第三階模態(tài)振動(dòng)引起的峰值，其原因可能為三軸向振動(dòng)臺(tái)的并非完全解耦，通過(guò)三軸振動(dòng)臺(tái)進(jìn)行單軸向振動(dòng)試驗(yàn)時(shí)，結(jié)構(gòu)實(shí)際所處的振動(dòng)環(huán)境并非絕對(duì)的單軸向振動(dòng)環(huán)境，從而導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的某些軸向的敏感模態(tài)振型在實(shí)際振動(dòng)環(huán)境中能夠被激發(fā)出來(lái)。

(a)x軸向振動(dòng)

(b)y軸向振動(dòng)圖11 單軸向振動(dòng)時(shí)在z軸向引起的加速度響應(yīng)Fig.11 The z-axial acceleration PSD under uniaxial load cases

通過(guò)典型節(jié)點(diǎn)不同工況下加速度響應(yīng)的時(shí)域信號(hào)，計(jì)算了各個(gè)節(jié)點(diǎn)在不同工況下z軸向加速度的均方根值，試驗(yàn)結(jié)果如表4所示。

由表中數(shù)據(jù)可知結(jié)構(gòu)在各軸向載荷譜互不相干的三軸同時(shí)振動(dòng)下的加速度度響應(yīng)基本滿足理論分析中式(14)所表示的關(guān)系。另外，通過(guò)數(shù)據(jù)看出，結(jié)構(gòu)在三軸向單獨(dú)振動(dòng)時(shí)引起的加速度的疊加大于三軸向同時(shí)振動(dòng)時(shí)的加速度值，其原因是在實(shí)際單軸向振動(dòng)試驗(yàn)中，結(jié)構(gòu)敏感模態(tài)(z軸向第三階振型)也被激發(fā)出來(lái)(見(jiàn)圖11)，因此導(dǎo)致了單軸向振動(dòng)時(shí)結(jié)構(gòu)在z軸向的響應(yīng)大于理論計(jì)算的響應(yīng)。

表4 不同工況下z軸向加速度RMS值

3.2.2 應(yīng)力響應(yīng)分析

von Mises應(yīng)力是金屬材料強(qiáng)度問(wèn)題的考核的重要指標(biāo)，但是von Mises應(yīng)力為當(dāng)量應(yīng)力，在試驗(yàn)中無(wú)法全部測(cè)量結(jié)構(gòu)各點(diǎn)的應(yīng)力分量，因此通過(guò)試驗(yàn)無(wú)法得到結(jié)構(gòu)上節(jié)點(diǎn)的von Mises應(yīng)力值。為了驗(yàn)證多軸振動(dòng)環(huán)境下的應(yīng)力響應(yīng)的模態(tài)參與情況，本部分在三軸向振動(dòng)環(huán)境和單軸向振動(dòng)環(huán)境下對(duì)典型節(jié)點(diǎn)(節(jié)點(diǎn)號(hào)：12605，12682，見(jiàn)圖1)處的x和y軸向線應(yīng)變，以及典型節(jié)點(diǎn)(節(jié)點(diǎn)號(hào)1006)的z軸向線應(yīng)變進(jìn)行了動(dòng)態(tài)測(cè)試。將測(cè)得的應(yīng)變信號(hào)轉(zhuǎn)化為應(yīng)力信號(hào)，根據(jù)式(15)通過(guò)MATLAB編制程序計(jì)算不同工況下各軸向正應(yīng)力功率譜密度。

(15)

式中:N為采樣點(diǎn)數(shù);h為采樣間隔;Xk為應(yīng)力時(shí)域信號(hào)的離散傅里葉變換。

圖12為三軸向振動(dòng)工況下各節(jié)點(diǎn)三個(gè)方向應(yīng)力分量的功率譜密度圖，圖中都出現(xiàn)了三個(gè)峰值，說(shuō)明三軸向同時(shí)振動(dòng)激發(fā)了結(jié)構(gòu)在三個(gè)方向上的模態(tài)振型，在應(yīng)力響應(yīng)的計(jì)算中結(jié)構(gòu)的前三階模態(tài)振型都有貢獻(xiàn)。這與動(dòng)力學(xué)仿真結(jié)果(見(jiàn)圖4)與分析結(jié)果一致。

(a)正應(yīng)力σxx (b)正應(yīng)力σyy (c)正應(yīng)力σzz圖12 三軸向激勵(lì)下正應(yīng)力功率譜密度Fig.12 The PSD of normal stress under 3-axial excitations

通過(guò)對(duì)單軸向振動(dòng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析可知，試驗(yàn)結(jié)果與仿真結(jié)果基本一致，同時(shí)證明了理論分析的結(jié)果：理論上在單軸向振動(dòng)環(huán)境下，結(jié)構(gòu)的應(yīng)力響應(yīng)只與該軸向振動(dòng)引起的模態(tài)振型有關(guān)，與其它軸向振型無(wú)關(guān)。在試驗(yàn)結(jié)果中在第三階模態(tài)振型的頻率點(diǎn)上，應(yīng)力的功率譜密度有小的峰值出現(xiàn)，其出現(xiàn)原因與圖12結(jié)果分析相同。典型節(jié)點(diǎn)在y軸向振動(dòng)環(huán)境下的三個(gè)方向正應(yīng)力分量的功率譜密度,如圖13所示。

(a)正應(yīng)力σxx (b)正應(yīng)力σyy (c)正應(yīng)力σzz圖13 y軸激勵(lì)下正應(yīng)力功率譜密度Fig.13 The PSD of normal stress under y-axial excitation

4 結(jié) 論

分析了結(jié)構(gòu)在三軸向同時(shí)振動(dòng)與單軸向振動(dòng)環(huán)境下動(dòng)力學(xué)響應(yīng)之間的區(qū)別于聯(lián)系，以及各軸向載荷相關(guān)性對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的影響；通過(guò)動(dòng)力學(xué)仿真，對(duì)不同工況下結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)進(jìn)行了量化分析；通過(guò)不同工況下典型構(gòu)件的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)測(cè)試，對(duì)上述結(jié)論進(jìn)行了試驗(yàn)驗(yàn)證。得到以下主要結(jié)論：

(1)結(jié)構(gòu)在單軸向振動(dòng)環(huán)境下，動(dòng)力學(xué)響應(yīng)僅由該振動(dòng)方向所激發(fā)的模態(tài)振型計(jì)算得到的；多軸向振動(dòng)環(huán)境下，會(huì)激發(fā)出結(jié)構(gòu)的不同方向的多個(gè)模態(tài)振型。另外，通過(guò)研究發(fā)現(xiàn)在多軸振動(dòng)環(huán)境下結(jié)構(gòu)的應(yīng)力響應(yīng)比加速度響應(yīng)具有更為明顯的多軸效應(yīng)。

(2)在不考慮各軸向載荷相關(guān)性的工況下，三軸向同時(shí)振動(dòng)工況下結(jié)構(gòu)上某點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)為該點(diǎn)在各個(gè)方向做單軸向振動(dòng)時(shí)引起的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的疊加，因此，多軸向同時(shí)振動(dòng)環(huán)境下結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)明顯高于單軸向振動(dòng)環(huán)境下的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。并且由于疊加作用，結(jié)構(gòu)上動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的極值位置以及方向也與單軸向振動(dòng)不同。

(3)在各軸向相關(guān)的載荷工況下，結(jié)構(gòu)上各點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)隨著載荷譜間相干系數(shù)和相位角的改變的呈規(guī)律變化：相位角相同的工況下，相干系數(shù)越大對(duì)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的影響越明顯；相干系數(shù)相同的工況下，動(dòng)力學(xué)響應(yīng)隨相位角的改變呈類似正弦規(guī)律變化，極值響應(yīng)出現(xiàn)在相位角為90°或270°時(shí)，且變化規(guī)律受到節(jié)點(diǎn)位置的影響而不同。

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Dynamic responses of structures under multiaxial and uniaxial random excitations

HE Guangzong1,2， CHEN Huaihai2， SUN Jianyong3

(1. School of Transportation and Vehicle Engineering, Shandong University of Technology, Zibo 255049, China；2. Aerospace College, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 210016, China；3. China Aero-Polytechnology Establishment, Beijing 100028, China)

In order to evaluate the vibration failure behaviors of structures under multiaxial and uniaxial excitations, contrast theoretical analyses, finite element analyses and experiments on the dynamic responses of structures under multiaxial and uniaxial excitations were performed. The results show that the structural vibration modes in different directions can be excited simultaneously under multiaxial excitations. Under three simultaneous uncorrelated axial excitations, the responses of structures are the square root of the sum of the squares of each uniaxial excitations results. If the random excitations are correlated, there are significant effects of input correlation on the dynamic responses, and the effects are of regularity. In addition, the reasons for the phenomena mentioned above were also analyzed. The study provides references for the vibration failure behavior analysis of structures under multiaxial and uniaxial random excitations.

dynamic response ; multiaxial random excitation; vibration fatigue; modal shape

航空科學(xué)基金重點(diǎn)項(xiàng)目(20140241002)

2016-04-14 修改稿收到日期： 2016-06-07

賀光宗 男，博士，講師，1980年生

O342；V416. 2

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.14.031