王 鑫,邢文雅,李勝軍

(海南大學(xué)信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院,海南?？?570228)

一類推廣的KdV方程的新行波解

王 鑫,邢文雅,李勝軍

(海南大學(xué)信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院,海南海口 570228)

本文研究了一類推廣的KdV方程的行波解求解的問題.利用新的G展開法,并借助Mathematica計(jì)算軟件,獲得了該方程的含有多個(gè)任意參數(shù)的新的行波解,分別為三角函數(shù)解、雙曲函數(shù)解、有理函數(shù)解和指數(shù)函數(shù)解,擴(kuò)大了該類方程的解的范圍.

推廣的KdV方程;新的G展開法;行波解

1 引言

本文研究一類推廣的KdV方程

其中00,b/0均為參數(shù).當(dāng)δ∈R,a＞0,b＜0時(shí),Dey求出了該類方程的守恒律和域墻波解[1];在相同條件下,方程的孤波解的存在性在文獻(xiàn)[2]中用動(dòng)力系統(tǒng)分支法得到了證明;通過利用推廣的齊次平衡法和吳氏消元法,文獻(xiàn)[3]得到了方程的孤波解的解析表達(dá)式;文獻(xiàn)[4]通過相似約化,研究了方程的相似解;文獻(xiàn)[5]用首次積分法得到了方程的精確解.

近年來,對(duì)于非線性偏微分方程的精確解的研究,又涌現(xiàn)出例如雙曲函數(shù)展開法、Jacobi橢圓函數(shù)法、Riccati展開法、F展開法、齊次平衡法、首次積分法等方法和技巧.最近,王明亮等又提出了一種簡(jiǎn)潔、有效地求方程精確解的方法,展開法[6-8],即將方程的行波解用的多項(xiàng)式來表示,并且其中的G滿足一類二階線性常微分方程,結(jié)合齊次平衡法得到了方程的精確行波解.

2 新的G展開法

對(duì)于非線性偏微分方程

作行波變換,令u(x,t)=u(ξ),ξ=x-ct,使上式化為常微分方程

設(shè)方程(2.2)的解有如下形式

這里ai(i=0,1,2,···),m為待定常數(shù),其中非負(fù)整數(shù)m可通過齊次平衡法,即平衡最高階非線性項(xiàng)和最高階線性項(xiàng)得到;G=G(ξ)滿足二階非線性常微分方程

這里ρ、λ、μ及ω均為任意常數(shù).通過借助Mathematica軟件,可以求得該方程的解有以下幾種情況

① 當(dāng)ρ/-λ,ρ/0且4ω(ρ+λ)-μ2＞0時(shí),方程(2.4)的解為

這里C1、C2為積分常數(shù).

② 當(dāng),0且4ω(ρ+λ)-μ2＜0時(shí),方程(2.4)的解為

這里C1、C2為積分常數(shù).

③ 當(dāng)ρ/-λ且4ω(ρ+λ)-μ2=0,方程(2.4)的解為

這里C1、C2為積分常數(shù).

④ 當(dāng)ρ=0且0時(shí),方程(2.4)的解為

這里C1、C2為積分常數(shù).

⑤ 當(dāng)ρ=-λ/0且μ=0時(shí),方程(2.4)的解為

這里C1、C2為積分常數(shù).

結(jié)合上述(2.4)方程的解,再將(2.3)式代入(2.2)式,合并且比較的各項(xiàng)系數(shù),可得到一組有關(guān)ai的代數(shù)方程組,求出其解,代回(2.3)式,即得原非線性偏微分方程(2.1)的精確解.

3 方程的行波解

設(shè)方程(1.1)有行波解u=u(ξ)=u(x-ct),其中c表示波速,是一常數(shù),則方程可化為

兩邊關(guān)于ξ進(jìn)行積分,并令積分常數(shù)為零,化簡(jiǎn)得

設(shè)方程(3.1)的解能夠表示成多項(xiàng)式(2.3)式,再利用齊次平衡法,得到,不是整數(shù),故對(duì)方程(3.1)作變換,令v=u2,從而方程(3.1)化為

設(shè)方程(3.2)的解能夠表示成多項(xiàng)式

這里G=G(ξ)滿足二階非線性常微分方程

其中ρ、λ、μ及ω均為任意常數(shù).利用齊次平衡法,有m+m+2=4m或2(m+1)=4m,得m=1.則方程(3.2)的解表示為

由方程(2.4)和(3.3)式,可得

再將(3.3)式和上面的v′和v′′代入(3.2)式,合并的同冪次項(xiàng),比較方程兩端的系數(shù),得

用Mathematica軟件對(duì)以上代數(shù)方程組進(jìn)行求解,可得

將(3.4)式代入(3.3)式,故得

又由v=u2,且令θ=ρ+λ+μ+ω,這時(shí)有

其中G滿足方程(2.4),從而得到了推廣的KdV方程(1.1)的多個(gè)隱式行波解：

① 當(dāng)且4ω(ρ+λ)-μ2＞0時(shí),由(2.5)式,可得方程(1.1)的解為

② 當(dāng)ρ/-λ且4ω(ρ+λ)-μ2＜0時(shí),由(2.6)式,可得方程(1.1)的解為

③ 當(dāng)ρ/-λ且4ω(ρ+λ)-μ2=0時(shí),由(2.7)式,可得方程(1.1)的解為

此為方程的有理函數(shù)形式的解.

④ 當(dāng)ρ=-λ/0且0時(shí),由(2.8)式,可得方程(1.1)的解為

此為方程的指數(shù)函數(shù)形式的解.

⑤ 當(dāng)ρ=-λ/0且μ=0時(shí),由(2.9)式,可得方程(1.1)的解為

4 結(jié)論

本文借助計(jì)算機(jī)Mathematica軟件,運(yùn)用新的G展開法,即展開法,得到了一類推廣的KdV方程的多種新的隱式行波解,其中包括雙曲函數(shù)解、三角函數(shù)解、有理函數(shù)解和指數(shù)函數(shù)解.這些精確行波解都含有多個(gè)自由的參數(shù),當(dāng)這些參數(shù)在一定的條件下取不同數(shù)值時(shí),我們可以得到方程更為豐富的解.

[1]Dey B.Domain wall solutions of KdV like equations with higher order nonlinearity[J].J.Phys.Math.General,1986,19(1)：9-12.

[2]謝紹龍,洪曉春.一類非線性方程的孤立波[J].云南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2001,23(5)：327-330.

[3]劉妍麗,張健.一類非線性發(fā)展方程的孤波解[J].四川師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2003,26(2)：124-126.

[4]王鑫,丁潔.一類非線性發(fā)展方程的相似約化[J].海南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2007,25(2)：128-133.

[5]王鑫.一類非線性偏微分方程的精確解[J].應(yīng)用數(shù)學(xué),2013,26(3)：521-525.

[6]Wang M L,Zhang J L,Li X Z.Application of the-expansion to travelling wave solutions of the Broer-Kaup and the approximate long water wave equations[J].Appl.Math.Comput.,2008,206：321-326.

[7]Wang M L,Li X Z,Zhang J L.The-expansion method and travelling wave solutions of nonlinear evolution equations in mathematical physics[J].Phys.Lett.A,2008,372：417-423.

[8]Li L X,Wang M L.The-expansion method and travelling wave solutions for a higher-order nonlinear schrodinger equation[J].Appl.Math.Comput.,2009,208：440-445.

[9]曹瑞.一類廣義Zakharov方程的精確行波解[J].數(shù)學(xué)雜志,2013,33(5)：837-843.

[10]Huang J,Liu H.New exact traveling wave solutions for Fisher equation and Burgers-Fisher equation[J].J.Math.,2011,31(4)：631-637.

[11]Rong J,Tang S,Huang W.Bifurcations of traveling wave solutions for thek(n,2n,-n)equations[J].J.Math.,2010,30(4)：603-612.

[12]向以華,石義霞.(2+1)維色散長(zhǎng)波方程的擴(kuò)展橢圓函數(shù)有理展開解法[J].數(shù)學(xué)雜志,2009,29(2)：206-210.

NEW TRAVELLING WAVE SOLUTIONS FOR A CLASS OF THE GENERALIZED KdV EQUATION

WANG Xin,XING Wen-ya,LI Sheng-jun
(College of Information Science and Technology,Hainan University,Haikou 570228,China)

In this paper,a class of the generalized KdV equation is studied. By newG-expansion method with the aid of computer symbolic system Mathematica,some new travelling wave solutions which involving parameters are obtained.These solutions contain the hyperbolic function solutions,the trigonometric function solutions,the rational function solutions and the exponential function solutions. The solutions of a class of the generalized KdV equation are enriched.

the generalized KdV equation;newG-expansion method;travelling wave solution

on：35C07;35Q53

O175.29

A

0255-7797(2017)04-0859-06

2015-06-12接收日期：2015-10-19

國(guó)家自然科學(xué)基金資助(11461016).

王鑫(1980-),女,北京,講師,主要研究方向：非線性偏微分方程及其應(yīng)用.