金麗宏

(武漢科技大學(xué)城市學(xué)院公共課部,湖北武漢 430083)

α-混合的部分線性EV模型的矩收斂性

金麗宏

(武漢科技大學(xué)城市學(xué)院公共課部,湖北武漢 430083)

本文研究誤差為α-混合的部分線性EV模型的矩收斂性問題.利用小波估計(jì)和修正最小二乘法,給出了參數(shù)和非參數(shù)部分的小波估計(jì)量,獲得了小波估計(jì)量的矩收斂速度,推廣了現(xiàn)有的一些結(jié)論.

α-混合;部分線性EV模型;小波估計(jì);修正最小二乘法;矩收斂速度

1 引言

本文研究如下部分線性EV(errors-in-variables)模型

其中Xi∈R,ti∈R,i=1,2,···,n是已知的點(diǎn)列,β是未知參數(shù),g(·)是定義在[0,1]上的未知函數(shù),誤差{ei,i=1,2,···,n}是平穩(wěn)的α-混合隨機(jī)變量且Eei=0和.{xi}是通過Xi=xi+?i觀測(cè)到的,{?i}是獨(dú)立同分布的測(cè)量誤差,且且和{ei}是獨(dú)立的.

定義1[1]設(shè){ξi,i≥1}是α-混合的,如果α-混合系數(shù)

當(dāng)n→∞時(shí)收斂到0,其中表示包含ξl,ξl+1,···,ξm,l≤m的σ-代數(shù).

文獻(xiàn)[2]用加權(quán)的方法研究了異方差α-混合半?yún)?shù)模型,得到了估計(jì)量的Berry-Esseen界;文獻(xiàn)[3]研究了部分線性變系數(shù)EV模型,得到了估計(jì)量的漸近性質(zhì);文獻(xiàn)[4]用加權(quán)的方法研究了誤差獨(dú)立的半?yún)?shù)回歸模型的矩相合性;文獻(xiàn)[5]用加權(quán)的方法研究了NA樣本下部分線性回歸模型的矩相合性;文獻(xiàn)[6]用小波方法研究了鞅差時(shí)間序列半?yún)?shù)回歸模型的矩收斂速度;文獻(xiàn)[7]用小波方法研究了φ-混合和ψ-混合的非參數(shù)回歸模型的矩收斂速度.然而對(duì)α-混合的部分線性EV模型的矩收斂性還沒有研究,因此本文研究模型(1.1)的矩收斂性.

本文用小波方法研究模型(1.1),仍采用文獻(xiàn)[8]修正后的最小二乘估計(jì),即

2 引理

下面是本文的基本假設(shè).

(1)xi=f(ti)+ηi,i=1,2,···,n,其中f(·) 是定義于 [0,1]的函數(shù),{ηi}i.i.d 且Eηi=0,Var(ηi)=ση,而且 {ηi} 和 { (ei,?i)} 是相互獨(dú)立的.

(2)g(·)和f(·)∈Hα(Sobolev 空間),

(3)g(·),f(·)滿足κ階 Lipschitz 條件,κ＞0.

(4)φ(·)∈Sι(階為ι的Schwartz空間,ι≥α),φ滿足1階Lipschitz條件且具有緊支撐,當(dāng)ξ→0時(shí),|(ξ)-1| =o(ξ),其中為φ的Fourier變換.

注1條件(1)是文獻(xiàn)[8]的特殊情形,條件(2)-(5)是小波估計(jì)中經(jīng)常用到的(如文獻(xiàn)[9-11]等).由此可見本文的假設(shè)條件是相當(dāng)一般的.

引理1[12]若條件(1)-(5)成立,則

引理2[13]若條件(5)成立,其中k∈N,Ck只與k有關(guān)的實(shí)數(shù),則有

引理3若條件(1)-(5)成立,則

證注意到由引理1可得U1→0.由強(qiáng)大數(shù)定理和

(見文獻(xiàn)[14]),有

同理,很容易證明U3→0 a.s..使用Cauchy-Schwarz不等式,有

由(2.1)-(2.4)式即得引理3.

引理4[13](1)存在δ＞0,使得Eei=0且E|ei|2+δ＜∞,則

其中 ‖ei‖2+δ=(E|ei|2+δ)1/(2+δ).

(2)存在r＞2,δ＞0,λ＞和α(n)=o(n-λ),使得Eei=0且E|ei|r+δ＜∞,則?ε＞0,存在正整數(shù)c=c(k,r,δ,λ),有

引理5[15]如果{Xk}是數(shù)學(xué)期望為0的獨(dú)立r.v.序列,那么對(duì)r≥2,

引理6如果{ξi,i≥1}是α-混合的隨機(jī)變量,{ζi,i≥1}是獨(dú)立的隨機(jī)變量,那么{ξiζi,i≥1}也是α-混合的隨機(jī)變量.

證令表示包含ξι,ξι+1,···,ξm,ι≤m的σ-代數(shù);

表示包含ζι,ζι+1,···,ζm,ι≤m的σ-代數(shù);

表示包含ιm=σ{ξιζι,ξι+1ζι+1,···,ξmζm},ι≤m的σ-代數(shù).,有

因?yàn)閧ξi,i≥1}是α-混合的隨機(jī)變量,所以{ξiζi,i≥1}也是α-混合的隨機(jī)變量.

3 主要結(jié)果及證明

定理1若本文假設(shè)(1)-(5)成立,且存在r＞2,δ＞0,λ＞和α(n)=o(n-λ),使得,且滿足

則

由Cr不等式,引理3,引理5和Cauchy-Schwarz不等式有

由Cr不等式,引理1,引理3和引理5,有

由Cr不等式,引理3和引理5,有

由Cr不等式,引理1,引理3和引理5,有

由Cr不等式,引理3,引理4,引理5和引理6,有

由Cr不等式,引理1,引理3和引理4,有

由Cr不等式,(3.1)-(3.8)式,得

定理1得證.

定理2若本文假設(shè)(1)-(5)成立,且存在r＞2,δ＞0,λ＞和α(n)=o(n-λ),使得,且滿足

證注意到

由引理2,有

由Cauchy-Schwarz不等式和引理5,有

由引理1,可得

由引理4,有

由Cauchy-Schwarz不等式和引理5,有

由引理5,有

由Cr不等式和(3.10)-(3.15)式,有

定理2得證.

注2當(dāng)?i=0時(shí),模型(1.1)退化為一般的部分線性回歸模型,因此模型(1.1)是一般的部分線性模型的推廣.文獻(xiàn)[4]要求ei獨(dú)立而本文只需ei是α-混合,在條件比文獻(xiàn)[4]弱的情況下,由定理1和定理2可以直接得到文獻(xiàn)[4]相應(yīng)的結(jié)論.進(jìn)一步,當(dāng)β=0時(shí)模型(1.1)退化為非線性模型,在文獻(xiàn)[7]中要求ei是φ-混合,而模型(1.1)是α-混合比文獻(xiàn)[7]的條件弱,因此文獻(xiàn)[7]的結(jié)論是定理2的推論.

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THE MOMENT CONVERGENCE RATES OF PARTLY LINEAR ERRORS-IN-VARIABLES MODEL WITH α-MIXING ERRORS

JIN Li-hong

(Department of Basic,College of City,Wuhan University of Science and Technology,Wuhan 430083,China)

In this paper,we discuss the moment convergence rates of partly linear errorsin-variables model.Using wavelet smoothing and modi fi ed least-squares methods,we investigate a partly linear errors-in-variables model withα-mixing sequence,the wavelet estimators of the parametric parts and nonparametric parts are given.We obtain the moment convergence rates of wavelet estimators,which extend some present conclusions.

α-mixing;partly linear errors-in-variables model;wavelet estimation;modi fi ed least-squares;moment convergence rate

on：62J05

O212.1

A

0255-7797(2017)04-0797-08

2016-12-21接收日期：2016-12-22

國(guó)家自然科學(xué)基金資助(40974002;41374017;11471105).

金麗宏(1976-),女,漢,湖北仙桃,副教授,主要研究方向：測(cè)量數(shù)據(jù)的處理與應(yīng)用的研究.