張 鵬，梁 斌

(1.湖南省交通規(guī)劃勘察設(shè)計院，湖南 長沙 410008；2.湖南工業(yè)大學(xué)， 湖南 株洲 412007)

小樣本下基于代理模型隧道錨噴襯砌穩(wěn)定可靠度求解

張 鵬1，梁 斌2

(1.湖南省交通規(guī)劃勘察設(shè)計院，湖南 長沙 410008；2.湖南工業(yè)大學(xué)， 湖南 株洲 412007)

深部隧道工程結(jié)構(gòu)極限狀態(tài)方程高度非線性隱式特征及基本隨機參數(shù)信息獲取困難，導(dǎo)致在進(jìn)行深部隧道工程可靠度計算時諸如一次二階矩法和二次二階矩法等基于概率論的常規(guī)可靠度計算方法應(yīng)用困難。通過少量的樣本可大致確定參數(shù)的區(qū)間分布范圍，進(jìn)而建立隧道超橢球凸集模型。在參數(shù)的分布區(qū)間內(nèi)采用拉丁超立方試驗獲得有限虛擬樣本點，通過Kriging代理模型擬合隧道錨噴支護(hù)結(jié)構(gòu)的功能函數(shù)。最后，根據(jù)所建立的超橢球凸集模型將Kriging代理功能函數(shù)變換到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間內(nèi)，即可運用蒙特卡洛方法計算失效概率和可靠度指標(biāo)。通過分析某隧道工程錨噴襯砌結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定可靠度，展示了該方法的應(yīng)用前景。

隧道;錨噴襯砌；小樣本；超橢球凸集模型；Kriging代理模型；可靠度

0 引言

基于圍巖加固理念的錨噴襯砌技術(shù)已經(jīng)成為隧道支護(hù)的主要手段。影響其承載性能和穩(wěn)定狀況的各項因素存在不確定性也已經(jīng)成為共識。為了考慮這些不確定性因素，很多學(xué)者開展了錨噴襯砌可靠度分析方法的研究。徐軍等[1]通過Kuper準(zhǔn)則建立極限狀態(tài)方程，計算了目標(biāo)可靠度指標(biāo)和分項系數(shù)。楊成永等[2]建立了噴混凝土襯砌功能函數(shù)，研究了襯砌位移、厚度、噴混凝土材料性能的變異性。邊亦海等[3]采用“荷載-結(jié)構(gòu)”模式，對單線鐵路隧道濕噴混凝土隧道襯砌進(jìn)行了可靠度分析。

隧道結(jié)構(gòu)功能函數(shù)的建立方法及其解析形式和可靠度指標(biāo)計算方法是隧道結(jié)構(gòu)穩(wěn)定可靠度研究的兩個關(guān)鍵問題。錨噴支護(hù)在力學(xué)上是組合體系，上述研究基本是針對體系中的一個或幾個單元，所以構(gòu)建的功能函數(shù)一般為顯式或復(fù)雜性程度不高。蘇永華等[4]推導(dǎo)得出，錨噴支護(hù)結(jié)構(gòu)整體性能的力學(xué)狀態(tài)功能函數(shù)為復(fù)雜的多重非初等隱含形式，對于復(fù)雜地層甚至不能通過解析形式表達(dá)，常規(guī)的可靠度算法無法求解。因此，分別提出了響應(yīng)面法[5]、Kriging插值技術(shù)[6]和差分求解法[4]。

特別地，對于深部隧道，其隨機參數(shù)信息獲取困難，原始樣本數(shù)據(jù)非常有限，參數(shù)的分布概型難以確定，因而導(dǎo)致基于概率論的常規(guī)可靠度計算方法遇到極大阻礙。但是，通過少量的原始樣本可大致確定參數(shù)的分布范圍，即各參數(shù)服從一定的區(qū)間分布。

為此，針對以上問題，本文的研究思路是：首先在小樣本條件下，建立隧道超橢球凸集模型。然后在參數(shù)分布區(qū)間內(nèi)，運用區(qū)間拉丁超立方試驗得到虛擬樣本點，代入隧道模型獲得其響應(yīng)值，通過Kriging代理模型擬合隧道錨噴支護(hù)結(jié)構(gòu)的功能函數(shù)。最后，根據(jù)所建立的超橢球凸集模型將Kriging代理功能函數(shù)變換到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間內(nèi)，即可運用蒙特卡洛方法計算失效概率和可靠度指標(biāo)。嘗試為解決隧道錨噴襯砌結(jié)構(gòu)穩(wěn)定可靠度計算理論中的上述問題提供一條途徑。

1 隧道超橢球凸集模型的構(gòu)建

對于深部隧道，隨機參數(shù)信息獲取困難，原始樣本數(shù)據(jù)非常有限，因此參數(shù)的分布概型難以確定。但是，通過少量的原始樣本可大致確定參數(shù)的分布范圍，即參數(shù)服從一定的區(qū)間分布。設(shè)隨機參數(shù)為X=(X1,X2,…,Xn)T和功能函數(shù)為Z=gx(X)。對于任意參數(shù)Xi，根據(jù)有限的樣本信息確定的參數(shù)分布區(qū)間為[Ximin，Ximax]，定義δi為參數(shù)Xi的變差：

(1)

ΔXi=(Ximax-Ximin)/2

(2)

(3)

上式在多維空間中表示一超長方體，其外接橢球形式如下：

(4)

式中：ei為橢球半軸；θ為橢球半徑。

轉(zhuǎn)化為半徑為1的橢球：

(5)

此時，外接橢球的半軸為θei,其體積為：

(6)

因為超長方體的頂點在球殼上，故有：

(7)

這樣，確定式(3)的最小外接橢球轉(zhuǎn)化為在已知條件式(7)下的橢球式(5)體積的最小值問題。設(shè)拉格朗日函數(shù)為：

(8)

式中：λ為拉格朗日乘子。由極值的必要條件，得：

(9)

即：

(10)

式(10)兩端同時乘以θei并相加得：

(11)

將式(7)代入式(11)可得：

(12)

將式(12)代入式(10)，得：

(13)

(14)

半徑為1的超橢球凸集模型可以表示為：

(15)

式中：W為加權(quán)矩陣。為簡便處理，假設(shè)橢球各主軸分別與坐標(biāo)軸平行，則W為一對角矩陣，且各元素均大于零。通過上述可知：

(16)

引入向量：

(17)

將式(17)代入式(15)，則原超橢球凸集模型轉(zhuǎn)化為：

(18)

可知，Ec為U空間的一個單位超球集合，這樣對于計算將提供了很大的方便。通過式(17)可得：

(19)

實際操作時，將式(19)代入結(jié)構(gòu)功能函數(shù)，即實現(xiàn)了原始空間向標(biāo)準(zhǔn)向量空間的轉(zhuǎn)換。

2 隧道結(jié)構(gòu)功能函數(shù)非線性特征

隧道結(jié)構(gòu)是巖土工程的一大典型領(lǐng)域，其結(jié)構(gòu)功能函數(shù)體現(xiàn)為復(fù)雜的高度非線性隱式函數(shù)形式，對于隧道錨噴支護(hù)結(jié)構(gòu)通?；趲r體承載理論建立功能函數(shù)[7,8]。文獻(xiàn)[4]基于地下結(jié)構(gòu)力學(xué)、薄壁筒理論、錨噴支護(hù)力學(xué)理論及變形協(xié)調(diào)原理，導(dǎo)出了半徑為r0、遠(yuǎn)場應(yīng)力為σ0的軸對稱圓形巖體隧道工程錨噴支護(hù)結(jié)構(gòu)功能函數(shù)表達(dá)式：

(20)

γr0

(21)

ur0,urc分別為r=r0(洞壁處)和r=rc(錨桿內(nèi)端處)圍巖的位移，按下式計算：

(22)

其中E、ν、c、φ、γ分別為圍巖彈性模量、泊松比、粘聚力、內(nèi)摩擦角及重度。

綜合觀察pi,min、ur0、urc及功能函數(shù)值Z的表達(dá)式可以看到：①pi,min是包含自身的多元函數(shù)，而且為三角指數(shù)函數(shù)，是具有較高非線性程度的隱式函數(shù)；②ur0、urc為pi,min的函數(shù)，功能函數(shù)Z的自變量除了其他參數(shù)外，也是pi,min、ur0、urc的函數(shù)。所以功能函數(shù)Z是一個高度非線性多重相互嵌套的隱式泛函。因此，隧道結(jié)構(gòu)的不確定性是一個基于高度非線性隱式功能函數(shù)的可靠度分析問題，在以概率論為基礎(chǔ)的可靠度方法中，基于解析求偏導(dǎo)的一次二階矩和二次二階矩方法對于類似狀況無法適應(yīng)。為此，尋求一個合理的代理功能函數(shù)表達(dá)式成為解決該問題的關(guān)鍵途徑之一。

3 基于代理模型的結(jié)構(gòu)功能函數(shù)構(gòu)建

Kriging方法由南非地質(zhì)學(xué)者Krige于1951年提出，是一種基于隨機過程的統(tǒng)計預(yù)測方法，可對區(qū)域化變量求最優(yōu)、線性、無偏內(nèi)插估計值，具有平滑效應(yīng)及估計方差最小的統(tǒng)計特征[9]。Kriging模型假設(shè)系統(tǒng)的響應(yīng)值與自變量間的關(guān)系表示成如下形式：

y(x)=fT(x)ξ+z(x)

(23)

(24)

(25)

式中：ndv是已知的設(shè)計變量的數(shù)量;ρk為向量ρ的第k個元素。

給定已知的訓(xùn)練樣本S=[x(1),x(2),…,x(m)]和其真實響應(yīng)值Y=[y(1),y(2),…,y(m)]，m為訓(xùn)練樣本的容量，則任意一個待測點xnew的估計值為:

(26)

式中：R是由R(ρ;S)構(gòu)成的對角元為1，大小為m×m的對稱陣；F是由m個樣本點處的回歸模型組成的m維向量；f(xnew)為回歸多項式，由具體工程實際情況確定，一般可采用不高于二階的多項式；r(xnew)是待測點和訓(xùn)練樣本間的相關(guān)向量，其表達(dá)式為：

(27)

極大似然估計因子:

(28)

在高斯過程的假設(shè)下，相關(guān)模型需要通過求解未知量ρ來構(gòu)造最優(yōu)Kriging模型。據(jù)極大似然估計可得：

(29)

其中ρ可通過解：

(30)

的優(yōu)化問題獲得。

根據(jù)Kriging模型的基本原理，取功能函數(shù)的近似顯示表達(dá)式為式(26)，將影響隧道錨噴支護(hù)穩(wěn)定性的隨機參數(shù)表達(dá)為隨機變量x=[x1,x2,…,xn]，則隧道錨噴支護(hù)功能函數(shù)Z的近似表達(dá)式為：

(31)

(32)

為保證代理模型的有效性，需要驗證代理模型的精度，本文采用平均相對誤差作為檢驗的方法[11]：

(33)

式中：當(dāng)Z= 0時，ε= 0.01；Z≠ 0時，ε= 0。N為檢驗樣本的個數(shù)，通常取100即可。當(dāng)滿足ERR≤0.01時，建立的代理模型滿足精度要求。

4 基于代理模型的可靠度求解

通過前述代理模型擬合了隧道結(jié)構(gòu)功能函數(shù)，解決了可靠度求解的一大關(guān)鍵問題。但是，基本隨機變量的分布概型未知使得諸如蒙特卡洛法、一次二階矩法、二次二階矩法等方法遇到了極大阻礙。為此，將式(19)代入Kriging代理功能函數(shù)，從而實現(xiàn)了功能函數(shù)由原始空間向標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間的轉(zhuǎn)化，同時實現(xiàn)了不確定性分析由非概率向概率可靠性的轉(zhuǎn)化。

蒙特卡洛法又稱為隨機抽樣法或統(tǒng)計試驗法。該方法是從頻率的角度出發(fā)來求解破壞概率的，首先對影響可靠度的變量進(jìn)行大量抽樣，然后將這些抽樣值逐個代入功能函數(shù)，累計功能函數(shù)小于零的個數(shù)，由此確定隧道的破壞概率。蒙特卡洛法對求解的問題沒有限制，只要隨機抽樣次數(shù)足夠多，就可以得到精度非常高的解。用蒙特卡洛法表示的失效概率可寫為：

(34)

式中Z為隧道功能函數(shù);NMC為總抽樣次數(shù)；NZ≤0為功能函數(shù)小于等于0的樣本個數(shù)。

對于蒙特卡洛法，需要按照下式檢驗蒙特卡洛樣本是否滿足蒙特卡洛法需要最低樣本次數(shù)[12]的要求：

(35)

綜上所述，小樣本條件下，結(jié)合超橢球凸集模型和Kriging代理模型的隧道錨噴襯砌穩(wěn)定可靠度求解的具體實施步驟如下：

2)確定參數(shù)的均值和未確知程度，按照第1部分所述方法建立隧道結(jié)構(gòu)超橢球凸集模型。

3)運用區(qū)間拉丁超立方試驗得到虛擬樣本點，代入隧道模型獲得其響應(yīng)值。

4)通過Kriging代理模型擬合隧道錨噴支護(hù)結(jié)構(gòu)的功能函數(shù)，并用式(33)進(jìn)行模型精度驗證。

5)將式(19)代入Kriging代理功能函數(shù)，運用蒙特卡洛法根據(jù)式(34)即可求得失效概率Pf，并根據(jù)式(35)驗證蒙特卡洛法所需最低樣本次數(shù)的要求。

5 工程案例分析

5.1 工程概況

根據(jù)試驗經(jīng)驗，取參數(shù)c、φ、p0、E、u0、ds作為隨機變量，其表示的隨機向量形式為X=(X1,X2,X3,X4,X5,X6)。根據(jù)現(xiàn)場實測的有限樣本數(shù)據(jù)，各隨機參數(shù)的原始樣本信息見表1。

表1 參數(shù)樣本信息

5.2 分析結(jié)果

根據(jù)以上信息，計算加權(quán)矩陣W：

所建立的半徑為1的超橢球凸集模型為：

運用拉丁超立方試驗得到虛擬樣本點，代入隧道模型獲得其響應(yīng)值，通過Kriging代理模型擬合隧道錨噴支護(hù)結(jié)構(gòu)的功能函數(shù)，并用進(jìn)行模型精度驗證。

根據(jù)式(19)，進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化變換的矩陣為：

代入功能函數(shù)，得到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間中的Kriging代理功能函數(shù)，采用直接蒙特卡洛法求得失效概率：Pf=0.255 9%。

6 結(jié)論

通過研究，本文在如下幾個方面取得進(jìn)展：

1)根據(jù)原始樣本點有限性及區(qū)間分布特征，建立隧道超橢球凸集模型。

2)運用拉丁超立方試驗構(gòu)建樣本點，通過Kriging代理模型擬合隧道錨噴支護(hù)結(jié)構(gòu)功能函數(shù)。

3)將代理模型功能函數(shù)轉(zhuǎn)換到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間中，通過直接蒙特卡洛法計算隧道失效概率和可靠度指標(biāo)。

4)通過工程案例分析，展示了其工程應(yīng)用前景。

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