吳麗華， 趙倩

(華僑大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 福建 泉州 362021)

耦合Burgers方程的Darboux變換及精確解

吳麗華， 趙倩

(華僑大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 福建 泉州 362021)

通過引入與耦合Burgers方程相聯(lián)系的3×3矩陣譜問題的規(guī)范變換，構(gòu)造出耦合Burgers方程的一個Darboux變換，并由此得到了它的一些精確解. 關(guān)鍵詞： 耦合Burgers方程； 規(guī)范變換； Darboux變換； 精確解

孤子理論不僅在水波，而且在等離子體、固體物理、光學(xué)、醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用.隨著研究的深入，涌現(xiàn)了很多經(jīng)典求解孤子方程的方法，如反散射變換[1-2]、Hirota雙線性方法[3]、Painlevé分析[4-5]、代數(shù)幾何法[6-7]、Darboux變換[8-9]等.其中，Darboux變換是最有效、直接的求解方法之一.通過考慮一個3×3矩陣譜問題，Geng等[10]發(fā)現(xiàn)了一個新的耦合Burgers方程，即

(1)

并建立了它的bi-Hamiltonian結(jié)構(gòu).當u=v=r=0時，方程(1)可約化為經(jīng)典的Burgers方程.本文主要構(gòu)造耦合Burgers方程(1)的Darboux變換，并討論它的精確解.

1 耦合Burgers方程的Darboux變換

考慮與耦合Burgers方程相聯(lián)系的3×3矩陣譜問題，即

(2)

及輔譜問題

(3)

式(2)，(3)中:q,r,u,v是4個位勢；λ是常數(shù)譜參數(shù).直接計算可知，零曲率方程Ut-Vx+[U,V]=0可導(dǎo)出耦合Burgers方程(1).

引入譜問題(2)，(3)的一個規(guī)范變換，即

(4)

式(4)中的a和bi，j(i,j=1,2,3)將在下文定出.

顯然，矩陣T的行列式det T是關(guān)于λ的三次多項式.令λj(j=1,2,3)為3個任意給定的常數(shù)且為行列式detT的根.于是，

(5)

(6)

方程(6)可改寫為

(7)

(8)

其中,有

(9)

(10)

變換(10)稱為耦合Burgers方程(1)的一個Darboux變換.

(11)

對式(11)關(guān)于x求導(dǎo)，并聯(lián)立式(11)，可得

(12)

(13)

令(Tx+TU)T*=(fs，l(λ))3×3，顯然，fs，l(λj)=0(s,l,j=1,2,3).經(jīng)計算可知，f1，1(λ)是λ的四階多項式；f1，2(λ),f1，3(λ),f2,1(λ),f3，1(λ)是λ的三階多項式；f2，2(λ),f2，3(λ),f3，2(λ),f3，3(λ)是λ的二階多項式.因此，f2，2(λ)=f2，3(λ)=f3，2(λ)=f3，3(λ)，且

(14)

其中，有

(15)

又T-1=T*/detT,于是式(14)可寫為

(16)

比較(16)中λ2,λ1,λ0的系數(shù)，可得

(17)

和一些恒等式，即有

(18)

(19)

同理，有

(20)

令(Tt+TV)T*=(gs，l(λ))3×3，顯然gs，l(λj)=0(s,l,j=1,2,3).通過計算可知，g1，1(λ)是λ的五階多項式；g1，2(λ),g1，3(λ),g2，1(λ),g3，1(λ)是λ的四階多項式；g2，2(λ),g2，3(λ),g3，2(λ),g3，3(λ)是λ的三階多項式.于是，有

(21)

式(21)中：

(22)

比較式(21)中λ的同次冪系數(shù)，并應(yīng)用恒等式(18)，有

(23)

由此可見，規(guī)范變換(4)將耦合Burgers方程(1)的譜問題(2),(3)變成了形式完全一致的譜問題(8)，稱規(guī)范變換(4)為譜問題(2),(3)的一個Darboux變換.于是，可得如下結(jié)論.

2 精確解

應(yīng)用Darboux變換(10)討論耦合Burgers方程(1)的精確解.依據(jù)Cramer法則，可從式(7)中解得a,b1，2,b1，3和b3，1分別為

(24)

式(24)中：

(25)

1) 選取耦合Burgers方程(1)的初始解q=r=u=v=0，則譜問題(2)，(3)簡化為

(26)

它的一個基解矩陣是

(27)

由式(7)的定義和式(27)，可得

(28)

應(yīng)用Darboux變換(10)，可得耦合Burgers方程(1)的一個精確解，即

(29)

式(29)中:Δ,Δi(i=1,2,3,4)由式(25)定義.

2) 選定耦合Burgers方程(1)的初始解q=u=v=0,r=1，則譜問題(2),(3)變?yōu)?/p>

(a) t=0時的時的

(c) t=0時的時的圖1 式(29)中的孤子解Fig.1 Soliton solution in formula (29)

(30)

它的一個基解矩陣為

(31)

由式(7)的定義和式(31)，可得

(32)

應(yīng)用Darboux變換(10)，得到耦合Burgers方程(1)的一個精確解,即

(33)

式(33)中:Δ,Δi(i=1,2,3,4)由式(25)定義.

(a) t=0時的時的

(c) t=0時的時的圖2 式(33)中的孤子解Fig.2 Soliton solution in formula (33)

3) 選取耦合Burgers方程(1)的初始解q=r=u=0,r=1，可得耦合Burgers方程(1)的一個精確解,即

(34)

式(34)中:Δ,Δi(i=1,2,3,4)由式(25)定義,且有

(35)

4) 選取耦合Burgers方程(1)的初始解q=r=v=0,u=1，可得耦合Burgers方程(1)的一個精確解，即

(36)

式(36)中:Δ,Δi(i=1,2,3,4)由式(25)定義,且

(37)

3 結(jié)束語

通過引入譜問題的規(guī)范變換，構(gòu)造出耦合Burgers方程的一個Darboux變換.選取耦合Burgers方程的4個平凡的初始解，應(yīng)用Darboux變換，得到了它的4個精確解.在此基礎(chǔ)上，適當選取參數(shù)，給出耦合Burgers方程的兩個孤子解,并畫出了t=0時相應(yīng)位勢的平面圖.

[1]ABLOWITZMJ,KAUPDJ,NEWELLAC.Theinversescatteringtransform-Fourieranalysisfornonlinearproblems[J].StudApplMath,1974,53(4):249-315.

[2]ABLOWITZMJ,SEGURH.Solitonsandtheinversescatteringtransform[M].SIAM:Philadelphia,1981.

[3]HIROTAR.Thedirectmethodinsolitontheory[M].Cambridge：CambridgeUniversityPress,2004.

[4]ABLOWITZMJ,RAMANIA,SEGURH.Aconnectionbetweennonlinearevolutionequationsandordinarydifferentialequationsofp-typeⅠ[J].MathPhys,1980,21(4):715-721.

[5]ABLOWITZMJ,RAMANIA,SEGURH.Aconnectionbetweennonlinearevolutionequationsandordinarydifferentialequationsofp-typeⅡ[J].MathPhys,1980,21(5):1006-1015.

[6]NOVIKOVSP.TheperiodicproblemfortheKorteweg-devriesequation[J].FunctAnalAppl,1974,8(3):236-246.

[7]ITSAR,MATVEEVVB.Schr?dingeroperatorswithfinite-gapspectrumandN-solitonsolutionsoftheKorteweg-deVriesequation[J].TheorMathPhys,1975,23(1):51-68.

[8]MATVEEVVB,SALLEMA.Darbouxtransformationandsolitons[J].JournalofNeurochemistry,1991,42(6):1667-1676.

[9] 谷超豪,胡和生,周子翔.孤立子理論中的達布變換及其幾何應(yīng)用[M].2版.上海：上海科學(xué)技術(shù)出版社,2005.

[10] GENG Xianguo,WANG Hui.A hierarchy of new nonlinear evolution equations and their bi-Hamiltonian structures[J].Chin Phys Lett,2014,31(7):5-8.

(責(zé)任編輯： 黃曉楠 英文審校： 黃心中)

Darboux Transformation and Exact Solutions to Coupled Burgers Equation

WU Lihua， ZHAO Qian

(School of Mathematical Sciences, Huaqiao University, Quanzhou 362021, China)

A Darboux transformation of the coupled Burgers equation is constructed with the help of the gauge transformation of the associated 3×3 matrix spectral problems, from which we obtain some exact solutions of the coupled Burgers equation.

coupled Burgers equation; gauge transformation; Darboux transformation; exact solutions

10.11830/ISSN.1000-5013.201704026

2016-11-22

吳麗華(1983-)，女，副教授，博士，主要從事孤立子與可積系統(tǒng)的研究.E-mail:wulihua@hqu.edu.cn.

國家自然科學(xué)基金資助項目(11401230)； 福建省高校杰出青年科研人才培育計劃項目(2015年度)； 華僑大學(xué)中青年教師科技創(chuàng)新資助計劃(ZQN-PY301)

O 175

A

1000-5013(2017)04-0585-06