文︳張新春

位值制

文︳張新春

討論位值制，我們應(yīng)先區(qū)分位值制與進(jìn)位制。事實上，相對于位值制而言，進(jìn)位制出現(xiàn)得更早，更普遍。從某種意義上說，進(jìn)位制是對刻痕記數(shù)的直接改進(jìn)——刻痕記數(shù)，數(shù)是多少就刻多少道痕，對大數(shù)尤其是比較大的數(shù)而言，顯然不方便，于是很容易想到進(jìn)位制。所謂進(jìn)位制，就是以P個數(shù)組成一個新的單位，用一個新的符號表示。P個新的單位又組成一個更高的單位，用另一個符號表示。我們就把這個叫做P進(jìn)制。P叫做進(jìn)位的基。“如不算最原始的刻痕記數(shù)，古今中外的記數(shù)法都是進(jìn)位制的”（梁宗巨，《世界數(shù)學(xué)通史》，遼寧教育出版社），而位值制則是在進(jìn)位制的基礎(chǔ)上，對如何處理新的單位想到了漂亮的辦法。以下即詳述這種辦法。

我們不難發(fā)現(xiàn)，前面敘述的加法累數(shù)制的羅馬記數(shù)和乘法累數(shù)制的中國記數(shù)有一個共同特點：新的單位必須創(chuàng)造新的名稱——無論是羅馬的“X”和中國的“十”，都是表示新的單位的符號。而位值制的漂亮在于不需要創(chuàng)造新的符號表示新的單位。比如，表示“20”，不需要寫成“XX”或“二十”，只需要把表示“2”的符號寫到表示“十”的位置上即可。同樣是這個“2”，還可以表示“200”，或“2000”……一個數(shù)碼表示什么數(shù)值，就看它在什么位置上，這就是位值的含義。

中國算籌記數(shù)與位值制雛形

中國算籌記數(shù)法非常接近位值制。古代的算籌實際上是一根根同樣長短和粗細(xì)的小棍子，一般長為13~14cm，徑粗0.2~0.3cm，多用竹子制成。也有用木頭、獸骨、象牙、金屬等材料制成的。大約二百七十幾根為一束，放在一個布袋里，系在腰間隨身攜帶，需要記數(shù)和計算時就取出來。

在算籌記數(shù)法中，以縱橫兩種排列方式表示單位數(shù)目，其中1～5分別用縱橫方式排列相應(yīng)數(shù)目的算籌表示，6～9則以上面的算籌加下面相應(yīng)的算籌表示，此時上面的一根表示5（如下圖所示）。

表示多位數(shù)時，個位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位用橫式，依此類推，遇零則置空。據(jù)《孫子算經(jīng)》記載，算籌記數(shù)法是“凡算之法，先識其位，一縱十橫，百立千僵，千十相望，萬百相當(dāng)”?！断年柡钏憬?jīng)》說“滿六以上，五在上方，六不積算，五不單張”?？v式和橫式的區(qū)別，再加上個位必用縱式的規(guī)定，較好地解決了空位的問題。比如，3740與374，如果沒有這樣的規(guī)定，用算籌擺出來就沒什么區(qū)別。再如，3704用算籌擺為：，由于7和4都是用的縱式，考慮到縱橫相間的規(guī)定，我們可以肯定7和4之間有一個0。而則表示374。

從這些例子可以看出，除了數(shù)碼的表現(xiàn)形式不同外，中國算籌記數(shù)已經(jīng)和現(xiàn)在的十進(jìn)位值制沒什么兩樣。特別是，后來為了明確起見，規(guī)定用○表示空位，就幾乎與現(xiàn)在的記數(shù)方法完全一樣了（值得說明的是，盡管有了縱橫相間和個位用縱式的規(guī)定，還是無法使算籌的擺法與所記的數(shù)形成一種一一對應(yīng)的關(guān)系，比如，除了表示3704外，說它表示370004也無不可。當(dāng)然，這兩者相差近百倍，根據(jù)所表示的數(shù)的實際意義或上下文進(jìn)行理解也許不會產(chǎn)生混淆。但從理論上看，這是一個問題，于是，零這個符號“○”的發(fā)明成為必要）。

十進(jìn)位值制

十進(jìn)位值制記數(shù)法就是以10為基的位值制記數(shù)法?，F(xiàn)在，我們用通用的阿拉伯?dāng)?shù)字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9表示前幾個自然數(shù)。一個大的自然數(shù)，比如，四千五百七十八可以表示為：4000+500+70+8=4×103+5×102+7×10+8的形式，在十進(jìn)位值制記數(shù)法中，這個數(shù)就用“4578”表示。

一般地，就整數(shù)而言，十進(jìn)位值制通過“逢十進(jìn)一”，把一個正整數(shù)從右到左分成個位、十位、百位、千位等，每個數(shù)位上的計數(shù)單位分別為一、十、百、千……，即依次為100，101，102，103……。十進(jìn)位值制表示一個數(shù)的通用方式為：N=ak×10k+ak-1× 10k-1+…+a1×101+a0×100。其中a0，a1，a2，…，ak∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}且ak≠0。這種形式的N可簡記為akak-1ak-2·…·a1a0。若對每個ai都指定了具體的數(shù)，則上述記號中的橫線省略不寫。規(guī)定最高位不能為0是為了保證這種表示方式的唯一性。顯然，如果最高位可以是0，25就可以寫成025或0025，數(shù)的表示方式就不唯一了。在這種表示法之下，我們也稱N為k+1位數(shù)。很顯然，0不符合這種表示方式（因為0的最高位就是0），因此，我們通常不說0是幾位數(shù)。自然數(shù)中，最小的一位數(shù)是1。需要了解的是，“位數(shù)”這樣的概念概括的不是數(shù)的本質(zhì)特征，而是與記數(shù)法有關(guān)的形式特征。以5為例，在十進(jìn)位值制記數(shù)法之下，它是一位數(shù)；若在二進(jìn)制記數(shù)法之下，它就記為1012，成為三位數(shù)了。

如前面所述，當(dāng)前通用的數(shù)字為阿拉伯?dāng)?shù)字，但使用何種數(shù)字卻并非十進(jìn)位值制的實質(zhì)。比如，我們可以用零、一、二、……九表示，4785就表示為“四七八五”。事實上，阿拉伯?dāng)?shù)字剛傳到歐洲，即引起當(dāng)時的大數(shù)學(xué)家斐波拉契的高度關(guān)注。他在其名著《算盤書》中寫道：“這里的印度9個數(shù)字9，8，7，6，5，4，3，2，1，還有一個阿拉伯人稱之為零的符號0，可以把任何數(shù)表示出來，實在是一種理想的計數(shù)符號。”正是基于這種認(rèn)識，他號召歐洲人用這種數(shù)字取代羅馬數(shù)字。隨后又經(jīng)過諸多曲折，阿拉伯?dāng)?shù)字終于在16世紀(jì)得到廣泛的應(yīng)用。

位值制記數(shù)法最重要的優(yōu)點之一就是便于計算?！捌溆嬎阋?guī)則可以用這些數(shù)字的加法表和乘法表的形式來表示，而且一旦記住，便可永遠(yuǎn)運用自如。古代的計算技巧一度只限于少數(shù)專家所掌握，而現(xiàn)在則是小學(xué)里的課程了。像這樣的科學(xué)進(jìn)步對日常生活有如此深刻影響，并帶來極大方便的例子還不是很多”（[美]R·柯朗，H·羅賓，《什么是數(shù)學(xué)》，復(fù)旦大學(xué)出版社，2008）。

在加法交換律和結(jié)合律的支持下：

而這一切又可寫成一種更簡單的形式（如右所示）。

于是，在十進(jìn)位值制記數(shù)法之下，在運算定律的支持下，任意兩個數(shù)相加，通過以上豎式的計算程序（法則），可以轉(zhuǎn)化成一系列20以內(nèi)加法的組合。而20以內(nèi)的加法原則上都是需要記憶的。因此，在20以內(nèi)加法的教學(xué)過程中，不管我們?nèi)绾未_定教學(xué)目標(biāo)，“接受”“記憶”是必須的方法。一定的計算速度是必要的目標(biāo)，不能簡單地將“接受”和“記憶”等同于“落后”。

對于乘法，也完全類似。有了十進(jìn)位值制記數(shù)法，在乘法交換律、結(jié)合律以及分配律的支持下，任意兩數(shù)相乘都可以通過一定的程序（法則）轉(zhuǎn)化為一系列表內(nèi)乘法和加法的組合。這里的程序（法則）可以用我們熟悉的乘法豎式表示，而表內(nèi)乘法正如20以內(nèi)的加法一樣，都是需要記憶的。于是，乘法口訣的教學(xué)也一樣，其最根本的目標(biāo)是口訣能脫口而出。

數(shù)學(xué)教育的真功夫是對數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育的把握，唯此才能成就好的數(shù)學(xué)課堂。湖南數(shù)學(xué)教師的老朋友，《湖南教育》的申建春老師開通了微信公眾號“與數(shù)學(xué)老師談心”，請關(guān)注。