張 威，李 松，李 林，劉進(jìn)忙

(1.空軍工程大學(xué)防空反導(dǎo)學(xué)院，陜西 西安 710051； 2.西安電子科技大學(xué)電子工程學(xué)院，陜西 西安 710071)

基于校正余數(shù)篩選的余弦信號頻率估計

張 威1，李 松1，李 林2，劉進(jìn)忙1

(1.空軍工程大學(xué)防空反導(dǎo)學(xué)院，陜西 西安 710051； 2.西安電子科技大學(xué)電子工程學(xué)院，陜西 西安 710071)

針對高欠采樣余弦信號頻率估計精度差的問題，提出了基于校正余數(shù)篩選的余弦信號頻率估計算法。該算法運(yùn)用FFT相位差法求得任意初始參考相位估計值，結(jié)合插值方法對頻率和相位進(jìn)行高精度校正，給出了一種降低參考相位估計精度的余數(shù)篩選方案，將簡化后的閉合形式中國余數(shù)定理推廣到實數(shù)域。仿真結(jié)果表明：在有噪聲時，所提算法的頻率估計精度優(yōu)于現(xiàn)有算法；在低信噪比時，所提算法的頻率估計均方誤差遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于現(xiàn)有算法。

頻率估計；相位估計；中國余數(shù)定理；余數(shù)篩選

0 引言

頻率估計[1-2]在雷達(dá)、通信等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，如何提高精度的同時又降低對設(shè)備的要求，一直是頻率估計的研究熱點(diǎn)。為了解決欠采樣高頻信號頻率估計問題，文獻(xiàn)[3]將中國余數(shù)定理(Chinese remainder theorem，CRT)引入該領(lǐng)域。CRT告訴我們：如果一個整數(shù)小于一組兩兩互質(zhì)的數(shù)的最小公倍數(shù)，則該數(shù)可由其取模運(yùn)算后的余數(shù)唯一地確定下來。由于余數(shù)錯誤會對CRT重構(gòu)產(chǎn)生較大誤差，限制了CRT的應(yīng)用，為此提出了兩種方法：余數(shù)數(shù)目冗余方法[4]和余數(shù)冗余方法[5-7]。文獻(xiàn)[3]利用余數(shù)的冗余來魯棒的恢復(fù)原數(shù)，但是搜索算法復(fù)雜度較大。文獻(xiàn)[6]提出了一種魯棒的CRT閉式求解方法，大大降低了運(yùn)算量，并推廣到實數(shù)域，擴(kuò)大了應(yīng)用范圍。文獻(xiàn)[7]提出了一種更簡潔的閉式CRT表達(dá)式，進(jìn)一步降低了運(yùn)算量,但沒有推廣到實數(shù)域。目前多數(shù)的CRT應(yīng)用在復(fù)數(shù)頻率估計場合(如合成孔徑雷達(dá)系統(tǒng)的相位解纏繞[5])，文獻(xiàn)[8]首次利用CRT解決了欠采樣下的實數(shù)余弦信號的頻率估計問題，但該文獻(xiàn)只解決了特定初相的頻率估計問題，而且文中的頻譜校正方法精度不高。本文針對此問題，提出了基于校正余數(shù)篩選的余弦信號頻率估計算法。

1 頻率估計原理

1.1 魯棒的閉式CRT算法

K≡rimodMi

(1)

式中，0≤ri≤M，i=1,…,L。正整數(shù)K小于模M1,…,ML的最小公倍數(shù)，便可以求出其唯一解。

假設(shè)模M1,…,ML的最大公約數(shù)為N，且除去最大公約數(shù)后的模兩兩互質(zhì)，即Mi=NΓi，且gcd(Γi,Γj)=1,i≠j，gcd(·)表示最大公約數(shù)。如果余數(shù)存在誤差，正整數(shù)K的求解過程如下：

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

1.2 余弦信號的CRT模型

n=0,…,N-1;i=1,…,L

(7)

(8)

對式(8)變形，得

(9)

從式(9)可以發(fā)現(xiàn)：待測頻率的估計問題實質(zhì)上就是CRT重構(gòu)問題，其中采樣頻率對應(yīng)于余數(shù)定理中的模值，右邊式子的第二項則對應(yīng)于余數(shù)定理中的余數(shù)值，即

(10)

從式(9)可看出：采樣頻率作為已知參數(shù)，待估計頻率值的精度取決于余數(shù)的估計精度。因此，本文引入頻譜校正提高余數(shù)估計精度(文獻(xiàn)[5]中舍棄了δi而影響了余數(shù)估計精度)。

1.3 基于CRT的頻率估計方案

根據(jù)余弦信號的CRT模型，文獻(xiàn)[8]給出了一種欠采樣余弦信號的頻率估計方案，其具體步驟：

1)對高頻模擬信號做過零點(diǎn)檢測，任取某過零點(diǎn)作為起始采樣位置；分別以L路欠采樣速率對高頻模擬信號做并行采樣，每路均采集N個樣點(diǎn)。

1.4 改進(jìn)的頻率估計方案

文獻(xiàn)[8]的方案在實際應(yīng)用中存在一些問題，比如：采樣路數(shù)過多，造成系統(tǒng)過于復(fù)雜；對于任意初相，導(dǎo)致算法失靈；頻率校正方法精度不高，無法提供高精度余數(shù)；閉合形式的CRT表達(dá)式不夠簡潔，帶來計算量的增加。針對上述問題，在滿足精度的要求下，本文只進(jìn)行了三路采樣，改進(jìn)的頻率估計方案如圖1所示。

2 基于校正余數(shù)篩選的頻率估計算法

2.1 初相檢測

若待估計信號的初始相位值為90°或-90°，可以考慮對信號作過零點(diǎn)檢測[8]求出相位估計值。假設(shè)實際檢測過程中信號的幅值由正值變?yōu)樨?fù)值記為90°，反之則為-90°。過零點(diǎn)的瞬間相位將為后面的余數(shù)篩選提供相位參考，在工程上僅需借助簡單的觸發(fā)電路即可實現(xiàn)過零點(diǎn)類型檢測。

若待估計信號的初始相位值未知，可以參考文獻(xiàn)[9]給出的FFT相差法進(jìn)行相位估計，該方法估計精度較高。

2.2 余數(shù)校正

對信號作FFT后獲得的幅度譜和相位譜存在以下問題：幅度譜存在泄漏；峰值譜的相位值紊亂，不等于真實相位值(見圖2)。由于余數(shù)的錯誤會導(dǎo)致CRT的重構(gòu)產(chǎn)生較大錯誤。因此，對信號的頻率校正非常有必要。

步驟2：利用頻譜峰值位置km及其左右兩點(diǎn)頻譜值，用下式作頻偏估計。

Liang算法：

(11)

Fang算法：

(12)

(13)

(14)

則可計算出相應(yīng)的CRT余數(shù)估計值為

(15)

2.3 余數(shù)篩選

(16)

通過上式計算，選出距離較小的相位值，并將其所對應(yīng)的頻率值作為余數(shù)輸出。通過3.1節(jié)分析可以發(fā)現(xiàn)：兩個相位估計值的符號相反。因此，參考相位θ0的符號檢測比估計精度對上述距離比較產(chǎn)生的影響更大。在實際應(yīng)用中，應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注初相符號檢測。

2.4 推廣的閉式CRT處理過程

(17)

3 仿真分析

3.1 余數(shù)估計分析

φ1(641)=-105.66°，φ1(1 407)=105.66°，

φ2(972)=60.35°，φ2(1 076)=-60.35°，

φ3(987)=80.00°，φ3(1 061)=-80.00°；

參考初相值為-90°，則篩選出的余數(shù)估計值分別為：

Liang算法相位校正值分別為：

φ1(641)=-105.66°，φ1(1 407)=105.66°，

φ2(972)=60.35°，φ2(1 076)=-60.35°，

φ3(987)=80.00°，φ3(1 061)=-80.00°；

參考初相值為-90°，則篩選出的余數(shù)估計值分別為：

由此可以看出：在沒有噪聲的情況下，Candan算法和Fang算法的余數(shù)估計精度相同。

信號路數(shù)i=1i=2i=3峰值位置K值641140797210769871061相位值/(°)-72 0472 04118 61-118 6197 68-97 68

3.2 估計方案性能分析

由圖4可知：當(dāng)信噪比處于-2～20dB之間，除了Quinn校正的估計精度較差外，其他方法估計精度不相上下；當(dāng)信噪比處于13～20dB之間，Liang校正和Fang校正的性能略微下降；但是當(dāng)信噪比處于-10～-2dB之間時，Liang校正和Fang校正的精度遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于其他三種方法。在實際工程應(yīng)用中，Liang校正因要求解反正切值，需占用存儲器，更傾向于使用Fang校正。

4 結(jié)論

本文提出了基于校正余數(shù)篩選的余弦信號頻率估計算法。該算法運(yùn)用FFT相差法完成了對未知參考初相的估計，解決了算法局限于特定初相的問題；分別運(yùn)用Liang估計器和Fang估計器作為頻率和相位校正方法，解決了Candan估計器余數(shù)估計精度低的問題，進(jìn)一步提高了估計精度；給出了一種降低參考相位估計精度的余數(shù)篩選方案；對現(xiàn)有簡化的閉合形式CRT，將其推廣到實數(shù)域，擴(kuò)大了算法適用范圍。仿真結(jié)果表明：在有噪聲時，所提算法的頻率估計精度優(yōu)于現(xiàn)有算法；在低信噪比時，所提算法的頻率估計均方誤差遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于現(xiàn)有算法。

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Frequency Estimation of Cosine Signal Using Remainder Correction Screening

ZHANG Wei1，LI Song1，LI Lin2，LIU Jinmang2

(1.Air and Missile Defense College，Air Force Engineering University，Xi’an 710051，China； 2.School of Electronic Engineering，Xi Dian University，Xi’an 710071，China)

To solve the poor estimation accuracy in high-undersampling frequency estimation of cosine signal, a new frequency estimation algorithm was proposed, which was based on remainder correction screening. Firstly, a FFT phase difference measuring method estimate the unknown initial reference phase. Furthermore, through applying interpolation method for high precision frequency and phase correction of each undersampling, a reminder filtering scheme was adopted to reduce the reference phase estimation accuracy requirement as well as choosing. Finally, the simplifying closed-form Chinese remainder theorem was generalized to reals, which acquired last frequency estimation. Simulation results showed that the frequency estimation accuracy of the proposed algorithm was higher in noisy environment, and the mean square error of the proposed algorithm was lower in low signal-to-noise ratio, which was better than the existing algorithms.

frequency estimation；phase estimation；Chinese remainder theorem；remainder screening

2017-01-09

張威(1990—)，男，陜西戶縣人，碩士研究生，研究方向：雷達(dá)數(shù)字信號處理。E-mail:wzhang1990@yeah.net。

TN911.7

A

1008-1194(2017)03-0107-05