陳勇，張雷，梁濤，于開(kāi)民

（1.海軍航空工程學(xué)院控制工程系，山東煙臺(tái)264001；2.91880部隊(duì)，山東膠州266300；3.91899部隊(duì)，遼寧葫蘆島125001）

基于Backstepping的多輸入極值搜索系統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)

陳勇1，張雷1，梁濤2，于開(kāi)民3

（1.海軍航空工程學(xué)院控制工程系，山東煙臺(tái)264001；2.91880部隊(duì)，山東膠州266300；3.91899部隊(duì)，遼寧葫蘆島125001）

針對(duì)一類(lèi)含未知參數(shù)的多輸入極值搜索系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)問(wèn)題，設(shè)計(jì)出極值搜索系統(tǒng)的狀態(tài)量極值參考軌跡，利用Backstepping方法進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)，給出未知參數(shù)估計(jì)律，以實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)函數(shù)的極值搜索過(guò)程。數(shù)字仿真驗(yàn)證了所提出的基于Backstepping的控制器設(shè)計(jì)方法的有效性。

多輸入；極值搜索系統(tǒng)；極值參考軌跡；Backstepping控制；未知參數(shù)

1954年，Tsien教授明確定義了極值搜索方法，并將極值搜索方法視為是面向?qū)崟r(shí)系統(tǒng)的自適應(yīng)尋優(yōu)控制方法的一種[1]。目前，極值搜索方法的研究領(lǐng)域已經(jīng)向多變量極值搜索系統(tǒng)、隨機(jī)極值搜索系統(tǒng)和純反饋系統(tǒng)發(fā)展[2]，并已成功地應(yīng)用于極限環(huán)運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)[3-4]、生化反應(yīng)控制系統(tǒng)[5-6]等多種工程系統(tǒng)中。形成了諸如基于正弦激勵(lì)信號(hào)的極值搜索方法[7]、滑模極值搜索方法[8]、簡(jiǎn)單半全局極值搜索方法[9]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)極值搜索方法[10]、多單元極值搜索方法[11]等重要方法，已有的方法中采用Backstepping方法進(jìn)行極值搜索控制器設(shè)計(jì)的文獻(xiàn)尚不多見(jiàn)[12]。利用Backstepping控制方法進(jìn)行系統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)能夠較好地處理參數(shù)未知的情況[13]，文獻(xiàn)[14-15]針對(duì)具有參數(shù)不確定性的嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng)，將自適應(yīng)技術(shù)與Backstepping控制方法相結(jié)合進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)。文獻(xiàn)[16]針對(duì)極值搜索系統(tǒng)進(jìn)行極值參考軌跡設(shè)計(jì)，并利用逆最優(yōu)控制方法進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)。文獻(xiàn)[17]針對(duì)一類(lèi)目標(biāo)函數(shù)含未知參數(shù)的極值搜索系統(tǒng)，設(shè)計(jì)了參數(shù)收斂自適應(yīng)控制器。文獻(xiàn)[18]針對(duì)一類(lèi)多變量參數(shù)不確定極值搜索系統(tǒng)，設(shè)計(jì)了狀態(tài)量極值參考軌跡，利用反演控制方法設(shè)計(jì)控制器，并給出了未知參數(shù)自適應(yīng)估計(jì)律。文獻(xiàn)[19]針對(duì)單輸入極值搜索系統(tǒng)利用Backstepping方法進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)。文獻(xiàn)[20]針對(duì)一類(lèi)多輸入多輸出仿射型非線性極值搜索系統(tǒng)的控制問(wèn)題，提出了一種輸出反饋滑?？刂品椒?。

本文在文獻(xiàn)[18-19]的基礎(chǔ)上針對(duì)一類(lèi)含未知參數(shù)的多輸入極值搜索系統(tǒng)的控制問(wèn)題，設(shè)計(jì)出能使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到極值處的狀態(tài)極值參考軌跡，基于Backstepping方法逐步遞推選取適當(dāng)?shù)腖yapunov函數(shù)進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)，并給出未知參數(shù)自適應(yīng)估計(jì)律，使目標(biāo)函數(shù)搜索到對(duì)應(yīng)的極值。

1 問(wèn)題描述

考慮如下多輸入極值搜索系統(tǒng)：

式（1）中：x=[x1,x2,…,xn+m]T∈?n+m為系統(tǒng)狀態(tài)向量；u=[u1,u2,…,um+1]T∈?m+1為系統(tǒng)控制輸入向量；y∈?為系統(tǒng)輸出；θ=[θ1,θ2,…,θn+m]T∈?n+m為常值有界未知參數(shù)向量；y=J(x1,xp,θ)為含未知參數(shù)的目標(biāo)函數(shù)；為由x1到xi構(gòu)成的狀態(tài)向量；xi(i∈[1,2,…,n])是可測(cè)的；為由xn+1到xn+m構(gòu)成的狀態(tài)向量；gi(?)和?i(?) (i∈[1,2,…,n+m])為連續(xù)有界光滑函數(shù)，定義

控制目標(biāo)：基于Backstepping方法進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)，使得系統(tǒng)（1）中的目標(biāo)函數(shù)J(x1,xp,θ)搜索到極值處，閉環(huán)系統(tǒng)中的所有信號(hào)有界。

假設(shè)1：目標(biāo)函數(shù)J(x1,xp,θ)存在唯一極值點(diǎn)，當(dāng)目標(biāo)處于極值處時(shí)其對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)狀態(tài)量滿(mǎn)足

2 極值參考軌跡設(shè)計(jì)

根據(jù)文獻(xiàn)[18]設(shè)計(jì)關(guān)于狀態(tài)量Xp的極值參考軌跡。考慮目標(biāo)函數(shù)J(x1,xp,θ)存在唯一的極值點(diǎn)，當(dāng)狀態(tài)x1和xp分別沿著各自的極值參考軌跡x1,d和達(dá)到時(shí)目標(biāo)函數(shù)達(dá)到目標(biāo)函數(shù)的唯一極值處。定義，選取Lyapunov函數(shù)

由式（4）可得x1和xp應(yīng)滿(mǎn)足

對(duì)式（5）求解可得x1的極值參考軌跡為：

將式（5）代入式（6）可得xp的極值參考軌跡為：

將式（6）、（7）代入式（4）可得：

由式（3）可得VJ≥0成立且僅在時(shí)存在。由式（4）可得當(dāng)極值參考軌跡x1,d和xp,d分別如式（6）、（7）所示時(shí)可得。當(dāng)Xp沿著極值參考軌跡Xp,d向著使的方向趨近時(shí)，最終可達(dá)到狀態(tài)處，此時(shí)目標(biāo)函數(shù)取得極值。

假設(shè)2：存在常數(shù)J0＞0使得|X1|＞J0成立，極值參考軌跡向量中的元素及其高階導(dǎo)數(shù)都是有界光滑的。

3 基于Backstepping的控制器設(shè)計(jì)及穩(wěn)定性分析

利用Backstepping方法進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)，未知參數(shù)向量θ的估計(jì)誤差為：

利用自適應(yīng)方法對(duì)未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。

整體設(shè)計(jì)過(guò)程如下。

第1步：考慮系統(tǒng)（1）中的第1個(gè)子系統(tǒng)，定義狀態(tài)量x1跟蹤極值參考軌跡x1,d誤差為z1=x1-x1,d，構(gòu)造Lyapunov函數(shù)求導(dǎo)可得

針對(duì)式（9）設(shè)計(jì)x2的虛擬軌跡：

式中，k1＞0為設(shè)計(jì)參數(shù)。

由定義z1=x1-x1,d和式（9）、（10）可得：

式中，定義z2=x2-x2,d，當(dāng)x2能夠準(zhǔn)確跟蹤x2,d時(shí)，即z2趨近于0。

第i步：考慮系統(tǒng)（1）中的第i(i∈[2,3,…,n-1])個(gè)子系統(tǒng)，

定義狀態(tài)量xi+1跟蹤虛擬軌跡xi+1,d誤差為zi+1=xi+1-xi+1,d，構(gòu)造Lyapunov函數(shù)求導(dǎo)可得：

參考式（13）設(shè)計(jì)xi+1的虛擬軌跡：

式中，ki＞0為設(shè)計(jì)參數(shù)。

由定義zi+1=xi+1-xi+1,d和式（13）、式（14）可得：

式中，當(dāng)xi+1能夠準(zhǔn)確跟蹤xi+1,d時(shí)，即zi+1趨近于0。

第n步：考慮系統(tǒng)（1）的第n個(gè)子系統(tǒng)

參考式（17）設(shè)計(jì)控制輸入u1為：

式中，kn＞0為設(shè)計(jì)參數(shù)。

第n+1步：考慮系統(tǒng)（1）的第n+1個(gè)子系統(tǒng)

依據(jù)式（20）設(shè)計(jì)控制輸入u2為：

式中，kn+1＞0為設(shè)計(jì)參數(shù)。

以此類(lèi)推，第n+2步至第n+m-1步參考第n+1步進(jìn)行控制輸入設(shè)計(jì)。

第n+m步：考慮系統(tǒng)（1）中的第n+m個(gè)子系統(tǒng)

為消除未知參數(shù)θ的影響，引入未知參數(shù)與其估計(jì)值的誤差項(xiàng)其中，W=diag{w1,w2,…,wn+m}，其中wi＞0，(i∈[1,2,…,n+m])。針對(duì)式（22）構(gòu)造Lyapunov函數(shù)，定義zn+m=xn+m-xn+m,d，對(duì)Vn+m求導(dǎo)，代入式（20）～（22）可得：

參考式（23）設(shè)計(jì)實(shí)際控制量和參數(shù)估計(jì)律分別為：

其中，kn+m＞0為設(shè)計(jì)參數(shù)。

將式（24）、（25）代入式（23）可得：

式中，k=min{2k1,2k2,…,2kn+m}。

對(duì)式（26）兩邊沿(0,t)進(jìn)行積分可得

定理1：考慮如（1）所描述的一類(lèi)嚴(yán)格反饋型多輸入極值搜索系統(tǒng)，在假設(shè)1、2成立的前提下，采用極值參考軌跡如式（6）、（7）所示，虛擬軌跡如式（14）所示，虛擬控制量設(shè)計(jì)如式（15）所示，實(shí)際控制輸入量如式（18）、（24）所示，自適應(yīng)估計(jì)律如式（25）所示，以下結(jié)論成立：①系統(tǒng)（1）的目標(biāo)函數(shù)J(x1,xp,θ)搜索到對(duì)應(yīng)的函數(shù)極值；②系統(tǒng)（1）中的所有信號(hào)有界。

4 仿真分析

針對(duì)如下數(shù)學(xué)模型進(jìn)行仿真分析：

式（28）中：θ1=1為未知參數(shù)；x1=1，x3=2時(shí)目標(biāo)函數(shù)具有全局極大值

狀態(tài)量x1,x3的極值參考軌跡x1,d,x3,d為：

系統(tǒng)的狀態(tài)變量初始值分別為x1(0)=0.5，x2(0)=0，x3(0)=1，未知參數(shù)估計(jì)值的初始值為，極值參考軌跡初始值分別為x1,d(0)=0，x3,d(0)=0。選取控制器參數(shù)w1=1，kd=k1,d=k3,d=1，k1=k2=k3=1。仿真結(jié)果見(jiàn)圖1～6。

5 結(jié)論

本文針對(duì)一類(lèi)含未知參數(shù)的多輸入極值搜索系統(tǒng)的控制問(wèn)題，設(shè)計(jì)出能使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到極值處的狀態(tài)量極值參考軌跡，基于Backstepping方法逐步遞推選取適當(dāng)?shù)腖yapunov函數(shù)進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)，并設(shè)計(jì)未知參數(shù)自適應(yīng)估計(jì)律，使系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)目標(biāo)函數(shù)搜索到對(duì)應(yīng)的極值，仿真驗(yàn)證了本文的方法是可行有效的。

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Controller Design for Multi-Input Extremum Seeking Systems Based on Backstepping

CHEN Yong1,ZHANG Lei1,LIANG Tao2,YU Kaimin3
（1.Department of Control Engineering,NAAU,Yantai Shandong 264001,China; 2.The 91880thUnit of PLA,Jiaozhou Shandong 266300,China; 3.The 91899thUnit of PLA,Huludao Liaoning 125001,China）

For solving control problems of strict-feedback multi-input extremum seeking system with unknown parame?ters,firstly,the extremum reference trajectory of extremum seeking system was designed.Secondly,controller was de?signed by Backstepping control method.At last,adaptive estimation law of unknown parameters was given.Objective func?tion extremum seeking was realized.Simulation result showed that the proposed design method based on Backstepping con?trol was effectiveness.

multi-input;extremum seeking system;extremum reference trajectory;Backstepping control;unknown param?eters

TP273+.23

A

1673-1522（2017）02-0215-05

10.7682/j.issn.1673-1522.2017.02.007

2017-02-22；

2017-03-13

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（60674090）

陳勇（1978-），男，講師，碩士。