□劉兆瑩 孟乃杰 柏 松 王天珊

（華北理工大學(xué) 河北 唐山 063000）

基于隨機(jī)波動(dòng)模型的雙障礙期權(quán)問題的研究

□劉兆瑩 孟乃杰 柏 松 王天珊

（華北理工大學(xué) 河北 唐山 063000）

本文首先建立隨機(jī)波動(dòng)下的雙障礙期權(quán)定價(jià)問題的模型，進(jìn)而推導(dǎo)出了關(guān)于期權(quán)價(jià)格的偏微分方程。力圖證明現(xiàn)實(shí)的金融市場(chǎng)中,有效的市場(chǎng)模型對(duì)于投資者決策以及金融風(fēng)險(xiǎn)管理和避險(xiǎn)等方面有著重要的影響。

雙障礙；期權(quán)；偏微分方程；金融風(fēng)險(xiǎn)

期權(quán)交易在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中有重要意義，由于障礙期權(quán)可以作為一種防范風(fēng)險(xiǎn)有效手段，近年來發(fā)展迅速，是金融數(shù)學(xué)中的前沿課題之一。

所謂障礙期權(quán)，就是為了減少風(fēng)險(xiǎn)而施加了限制的一種特殊期權(quán)。雙障礙期權(quán)同時(shí)具有高障礙和低障礙，或者說敲出期權(quán)和敲入期權(quán)。敲出期權(quán)就是當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格達(dá)到某障礙水平時(shí)，該期權(quán)作廢；敲入期權(quán)就是當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格達(dá)到某障礙水平時(shí)，該期權(quán)生效。也就是說，雙障礙期權(quán)是兩個(gè)相互依賴的敲出期權(quán)和敲入期權(quán)的結(jié)合體，一旦潛在資產(chǎn)達(dá)到低障礙，敲入期權(quán)立即使其生效；反之，潛在資產(chǎn)超出高障礙，敲出期權(quán)立即使其失效。

雙障礙期權(quán)已經(jīng)成為金融市場(chǎng)上的熱門問題，是單障礙期權(quán)問題的擴(kuò)展形式。障礙期權(quán)問題之所以熱門，原因之一就是比標(biāo)準(zhǔn)期權(quán)廉價(jià)，而且在用作套期保值時(shí)有同等級(jí)別的保護(hù)。

期權(quán)障礙是由Merton于1973年首次提出，給出了連續(xù)監(jiān)測(cè)下的更低敲出邊界的期權(quán)定價(jià)公式；而后Goldman等于1979年給出了路徑依賴型的期權(quán)定價(jià)公式。此后，Rich[1]和 Rubinstein-Reiner[2]于上世紀(jì) 90年代在等價(jià)鞅測(cè)度下使用概率方法，給出了歐洲單障礙期權(quán)的定價(jià)公式。

本文考慮雙障礙期權(quán)問題的基礎(chǔ)資產(chǎn)模型。實(shí)證表明了股票期權(quán)具有隱含波動(dòng)率，并返回時(shí)有非對(duì)稱的尖峰厚尾特征。于是，為了克服這些問題，并且作為GBM的擴(kuò)充，我們考慮使用隨機(jī)波動(dòng)模型，使得波動(dòng)的返回值是隨機(jī)波動(dòng)而且是由快速均值過程驅(qū)動(dòng)。本文首先建立隨機(jī)波動(dòng)下的雙障礙期權(quán)定價(jià)問題的模型，進(jìn)而推導(dǎo)出了關(guān)于期權(quán)價(jià)格的偏微分方程。為下一步作出價(jià)格逼近、并進(jìn)行數(shù)值計(jì)算奠定基礎(chǔ)。

首先，令St為基礎(chǔ)資產(chǎn)價(jià)值，σt為由Ornstein–Uhlenbeck(OU)過程Yt導(dǎo)出的隨機(jī)波動(dòng)過程，其中Yt服從均值m、方差v2的高斯分布。于是，關(guān)于St和Yt的隨機(jī)微分方程為

于是，為建立在風(fēng)險(xiǎn)中性概率測(cè)度P*下的新的動(dòng)態(tài)模型，可知新的布朗運(yùn)動(dòng)如下描述：

其中γ(y)為波動(dòng)風(fēng)險(xiǎn)的市場(chǎng)價(jià)格，是一個(gè)關(guān)于y的有界的光滑函數(shù)。根據(jù)Girsanov定理，均為測(cè)度 P*下的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，其中((μ-r)/f(Yt),γ(Yt))滿足Novikov條件。因此，在P*下，模型（1）可化為下述隨機(jī)微分方程

其中 L0，L1，L2定義如下：

這里算子L0定義了過程Yt的市場(chǎng)概率測(cè)度的無窮小算子，僅作用于變量y；算子L1由兩部分組成：第一部分是與兩個(gè)布朗運(yùn)動(dòng)有關(guān)的混合偏微分算子，第二部分是市場(chǎng)價(jià)格波動(dòng)風(fēng)險(xiǎn)下關(guān)于y的一階偏微分算子；算子L2表示雙障礙期權(quán)的Black Scholes算子。另外，（4）式中的 LBS即為 Black Scholes算子。

障礙期權(quán)的出現(xiàn)給那些金融風(fēng)險(xiǎn)管理者們提供了更合算的方法,讓他們不必為他們認(rèn)為不可能到達(dá)的價(jià)格支付費(fèi)用了。同時(shí)為期權(quán)定價(jià)問題提供了一種新的解決思路。

[1]D Rich.The mathematical foundations of barrier option pricing theory.Adv.Futures Oper.Res.,7(1994)267-311.

[2]M Rubinstein,E Reine.Breaking down the barriers.Risk Mag.,4(8)(1991)28-35.

1004-7026（2017）09-0122-02

O211.6

A

DOI：10.16675/j.cnki.cn14-1065/f.2017.09.075

本文系2017年河北省社科基金項(xiàng)目（項(xiàng)目編號(hào)：HB17YJ094）系列論文。