吳文娟，江蘇省宜興市第二實(shí)驗(yàn)小學(xué)辦公室主任，中學(xué)高級(jí)教師，江蘇省數(shù)學(xué)教育學(xué)會(huì)會(huì)員，江蘇省特級(jí)教師“后備班”學(xué)員，曾先后被評(píng)為無(wú)錫市優(yōu)秀教育工作者、無(wú)錫市教育系統(tǒng)優(yōu)秀共產(chǎn)黨員、無(wú)錫市數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人。曾獲得無(wú)錫市優(yōu)質(zhì)課評(píng)比一等獎(jiǎng)、江蘇省優(yōu)質(zhì)課評(píng)比一等獎(jiǎng)等獎(jiǎng)項(xiàng)；參與了4項(xiàng)省、市級(jí)課題研究，有30余篇論文在省級(jí)以上刊物公開(kāi)發(fā)表。

數(shù)學(xué)是研究模式和規(guī)律的科學(xué)。小學(xué)數(shù)學(xué)“數(shù)與代數(shù)”中有大量的規(guī)律、公式和算法，有助于學(xué)生逐步養(yǎng)成從數(shù)學(xué)角度探索身邊事物之間的關(guān)系及變化規(guī)律，并用適當(dāng)?shù)臄?shù)量關(guān)系表達(dá)出來(lái)。新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)，要讓學(xué)生經(jīng)歷探索過(guò)程，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，探索規(guī)律的教學(xué)過(guò)程比結(jié)果更重要。目前，讓探索規(guī)律的重點(diǎn)落在“探索的過(guò)程”之中已是大家的共識(shí)，那探索規(guī)律是不是僅限于“經(jīng)歷過(guò)程，獲得結(jié)果”呢？筆者認(rèn)為，知其然，還應(yīng)知其所以然，即獲得規(guī)律的同時(shí)，還要了解規(guī)律背后蘊(yùn)藏的數(shù)學(xué)道理。

一、尋因：找規(guī)律為何要講“理”

一是講“理”能積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。探索規(guī)律要講“理”，就必須讓學(xué)生經(jīng)歷從具體現(xiàn)象進(jìn)行抽象、猜想，并對(duì)猜想進(jìn)行多方驗(yàn)證的過(guò)程。在豐富多樣的探索活動(dòng)中，學(xué)生積累觀察、試驗(yàn)、猜測(cè)、驗(yàn)證、推理與交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。例如，三角形的內(nèi)角和是180度，如果能夠展開(kāi)探究過(guò)程，讓學(xué)生在面對(duì)已知“直角三角形內(nèi)角和是180度”的情況下大膽猜測(cè)任意三角形內(nèi)角和，再通過(guò)量一量、折一折、拼一拼、轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形、分一分等活動(dòng)驗(yàn)證，學(xué)生不僅能獲得三角形內(nèi)角和是180度的“理”，也從中積累了觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想驗(yàn)證等重要的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

二是講“理”能溝通知識(shí)聯(lián)系。規(guī)律背后的“理”常常是以前學(xué)過(guò)的知識(shí)、定理、方法等，如果在獲得規(guī)律的同時(shí)能講明其中的道理，就會(huì)溝通知識(shí)間的聯(lián)系，將所獲規(guī)律順利納入學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。如在探索小數(shù)的性質(zhì)時(shí)，教師可引導(dǎo)學(xué)生從小數(shù)的數(shù)位及計(jì)數(shù)單位來(lái)觀察小數(shù)的性質(zhì)。經(jīng)過(guò)觀察，學(xué)生就會(huì)發(fā)現(xiàn)：在小數(shù)的末尾添上0或去掉0，并不會(huì)改變小數(shù)各數(shù)位上的數(shù)字，因而小數(shù)的大小不變。這樣說(shuō)的“理”，不僅道明了知識(shí)間的聯(lián)系，而且讓學(xué)生更容易理解和接納新的規(guī)律。

三是講“理”能養(yǎng)成理性思維。數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)、嚴(yán)密的學(xué)科，它要求有條有理、有根有據(jù)地思考，注重對(duì)學(xué)生演繹推理能力的培養(yǎng)。新課改后，學(xué)生推理能力的培養(yǎng)得到了加強(qiáng)，他們經(jīng)常要經(jīng)過(guò)猜想去尋找規(guī)律，但要確認(rèn)它的真實(shí)可信就必須進(jìn)行驗(yàn)證。小學(xué)階段雖然還不能用嚴(yán)格的演繹推理來(lái)證明，但培養(yǎng)學(xué)生的證明意識(shí)和理性思維習(xí)慣，與初中教學(xué)很好地接軌卻是非常重要的。因此，找規(guī)律的同時(shí)要講“理”，讓學(xué)生嘗試用舉例、實(shí)驗(yàn)、推理等多種方式來(lái)驗(yàn)證規(guī)律的正確或錯(cuò)誤，才能使學(xué)生從小養(yǎng)成良好的理性思維習(xí)慣。

二、索果：找規(guī)律如何講“理”

1.把握最恰當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)，提升探索規(guī)律的深度

（1）理為先導(dǎo)，化繁為簡(jiǎn)。有些規(guī)律比較繁難，但背后的道理卻非常簡(jiǎn)單。如果以“理”為魂，串成一條線，學(xué)生就能很容易地理解規(guī)律，從而起到化繁為簡(jiǎn)的效果。例如教師在完成“一一間隔的規(guī)律”教學(xué)后，讓學(xué)生記住三種情況：兩端事物一樣，兩端事物不一樣，在封閉圖形上間隔排列。其實(shí)，有很多學(xué)生難以記住這三種不同的情況。鑒于此，教師可出示摩托車和小汽車雜亂擺放的圖片，引導(dǎo)學(xué)生利用已有的經(jīng)驗(yàn)：一組組圈一圈、一一間隔排一排，比較兩種玩具的多少，自然引入“一一對(duì)應(yīng)”的比較方法，悄無(wú)聲息地滲透了這種數(shù)學(xué)思想。這樣，在接下來(lái)的探索規(guī)律中，學(xué)生就會(huì)主動(dòng)利用對(duì)應(yīng)思想來(lái)理解“間隔排列”規(guī)律。

（2）術(shù)理同行，步步為營(yíng)。有時(shí)探索的過(guò)程和道理的理解要同步進(jìn)行，在逐步深入的探索進(jìn)程中，對(duì)“理”的理解會(huì)越來(lái)越“明”、越來(lái)越“深”。如搭配規(guī)律背后的道理是乘法的意義，所以在每次獲得搭配結(jié)果時(shí)都要圍繞乘法的意義來(lái)理解算式的含義，為最后深刻理解字母表達(dá)式積累認(rèn)識(shí)。首先，出示三種點(diǎn)心和兩種飲料，如果選一種點(diǎn)心和一種飲料配成早餐，有多少種不同的搭配方式？教師要引導(dǎo)學(xué)生借助連線理解為什么是3×2，它表示3個(gè)2種或2個(gè)3種的意思。當(dāng)飲料增加一種時(shí)，同樣要理解3×3的意義；點(diǎn)心再增加一種時(shí)，要理解4×3的意義；最后如果點(diǎn)心有10種，飲料有8種時(shí)，不連線而引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)意義理解列出算式，總結(jié)出搭配規(guī)律的算法。一次次溝通乘法意義和搭配規(guī)律之間的聯(lián)系，使學(xué)生在探究規(guī)律的過(guò)程中對(duì)“理”的認(rèn)識(shí)不斷加強(qiáng)，直至在對(duì)“理”完全理解的基礎(chǔ)上得出最終的規(guī)律。

（3）因術(shù)溯理，溝通聯(lián)系。有時(shí)也會(huì)在規(guī)律探究之后，通過(guò)驗(yàn)證和追問(wèn)“為什么”來(lái)反思和追溯規(guī)律背后隱藏的道理，這往往會(huì)將規(guī)律與以前學(xué)過(guò)的知識(shí)或經(jīng)驗(yàn)聯(lián)系起來(lái)，形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。例如，探索完“3的倍數(shù)的特征”后，學(xué)生都會(huì)產(chǎn)生一種疑惑：為什么2和5的倍數(shù)只要看末尾，而3的倍數(shù)卻要看各數(shù)位上數(shù)字之和呢？雖然經(jīng)歷了探究過(guò)程，但學(xué)生卻無(wú)法解開(kāi)這個(gè)謎。這時(shí)，教師可進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生研究“為什么”，既是順應(yīng)學(xué)生此時(shí)的疑惑心理，也是溝通3的倍數(shù)特征和除法意義最好的時(shí)機(jī)。可以出示一個(gè)具體的題目：現(xiàn)在有342個(gè)蘋果，每3個(gè)分一份，看看能不能分得正好。借助圖引導(dǎo)學(xué)生分一分，第一個(gè)1百，除以3還余1個(gè)，第2個(gè)1百除以3余1個(gè)……即百位除以3余下3個(gè)；同理，十位上除以3余下4個(gè)，個(gè)位上除以3余下5個(gè)。而342除以3是不是正好，現(xiàn)在只要看百位、十位、個(gè)位余下的蘋果總和，也就是3+4+2是不是3的倍數(shù)，即各數(shù)位上的數(shù)字之和是不是3的倍數(shù)。結(jié)合除法的意義，從分東西的角度來(lái)思考，原來(lái)復(fù)雜的道理也會(huì)讓學(xué)生有感性的認(rèn)識(shí)。

2.尋找最恰當(dāng)?shù)男问?，適應(yīng)兒童認(rèn)知水平

（1）幾何直觀，讓理可視。幾何直觀是具體、生動(dòng)、看得見(jiàn)的，它能讓學(xué)生更容易接受和理解。如通過(guò)“和的奇偶性”一課的學(xué)習(xí)，學(xué)生知道了“偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)”“奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)”“奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)”，為什么會(huì)有這樣的規(guī)律呢？教師可先出示并解釋華羅庚說(shuō)過(guò)的一段話：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休”，引導(dǎo)學(xué)生用畫圖來(lái)表示這三個(gè)規(guī)律。通過(guò)合作交流后獲得三幅圖（見(jiàn)圖1、圖2、圖3），直觀形象地說(shuō)明了以上三個(gè)結(jié)論。

通過(guò)“數(shù)形結(jié)合”，使原本抽象的規(guī)律變得生動(dòng)、形象了，背后隱藏的道理也變得“看得見(jiàn)、摸得著”了。

（2）演繹推理，讓理可證。探索規(guī)律常常起始于對(duì)現(xiàn)象的觀察、比較、歸納、類比，通過(guò)合情推理提出猜想，再通過(guò)演繹推理驗(yàn)證猜想。在這里，演繹推理不僅可以證明規(guī)律是否正確，也可以揭示“為什么有這樣的規(guī)律”。例如，六年級(jí)下冊(cè)探究“面積的變化規(guī)律”一課，學(xué)生通過(guò)畫圖、舉例、計(jì)算，發(fā)現(xiàn)無(wú)論是長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形、梯形、三角形還是圓，若圖形按3∶1放大，那放大后圖形的面積與原圖形面積的比就是9∶1，于是猜想圖形按n∶1放大，那放大后圖形的面積與原來(lái)圖形的面積比是n2∶1。為什么會(huì)有這樣的規(guī)律，可以引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)演繹推理來(lái)證明。如長(zhǎng)方形放大前：a×b，放大后：na×nb，放大后與放大前的面積比是■=■=■。

按教材要求只需用具體的數(shù)計(jì)算得出規(guī)律，這樣學(xué)生就看不到1的實(shí)質(zhì)是1的平方。用演繹推理來(lái)證明其中的道理，不僅讓結(jié)論變得更可信，也為結(jié)論的推廣提供了有力的經(jīng)驗(yàn)支撐。

（3）實(shí)驗(yàn)操作，讓理可信。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是為了檢驗(yàn)數(shù)學(xué)事實(shí)或驗(yàn)證數(shù)學(xué)猜想而進(jìn)行的一系列數(shù)學(xué)操作或數(shù)學(xué)活動(dòng)。有些規(guī)律之“理”很難證明，或證明所用知識(shí)超出了學(xué)生的認(rèn)知水平，而數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)恰好是一種可信的說(shuō)理方法。如探索“三角形內(nèi)角和”時(shí)，首先讓學(xué)生計(jì)算三角板的內(nèi)角和，初步得到猜想：等腰直角三角形三個(gè)內(nèi)角和是180度，那其他直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形的內(nèi)角和呢？學(xué)生首先想到了測(cè)量，結(jié)果發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)均不相同，但接近180度。鑒于測(cè)量方法有誤差，不夠嚴(yán)謹(jǐn)，故教師可引導(dǎo)學(xué)生用撕角拼一拼、折角拼一拼的辦法。但撕、拼的過(guò)程中仍會(huì)不準(zhǔn)確，這時(shí)學(xué)生一時(shí)難以想到，教師意在引導(dǎo)學(xué)生借助長(zhǎng)方形，將長(zhǎng)方形分成兩個(gè)完全相同的直角三角形。反之，任意兩個(gè)完全相同的直角三角形可以拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，這可以證明每個(gè)直角三角形的內(nèi)角和就是“360÷2=180”度；任意一個(gè)銳角三角形、鈍角三角形也可以分成兩個(gè)直角三角形。

在一個(gè)比一個(gè)精確的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中，學(xué)生越發(fā)確信結(jié)論的正確，同時(shí)也體會(huì)到數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)也是要講究科學(xué)性和精確性的。

三、結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)探索規(guī)律要讓學(xué)生親自經(jīng)歷探索的過(guò)程，對(duì)是否揭示規(guī)律背后的“理”不作要求，但教師不能對(duì)隱藏在規(guī)律背后的“理”視而不見(jiàn)，而應(yīng)利用恰當(dāng)?shù)姆绞?，在合適的時(shí)機(jī)揭示規(guī)律背后的基本概念、原理、方法、思想，讓學(xué)生知其然并知其所以然。這既是數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)的要求，也是促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)能力發(fā)展的要求，更是追求有深度的課堂的要求。

參考文獻(xiàn)（編者略）

（責(zé)任編輯 郭向和）