賀婭莉+劉玉春+王洪雁

摘 要： 針對基于最大化互信息（或最小均方誤差）準則所提方法只得到理論上最優(yōu)多輸入多輸出雷達波形，而無法產生可發(fā)射波形的問題，基于交替投影方法，提出一種新的可發(fā)射波形設計算法。該算法得到的可發(fā)射波形漸進逼近基于最大化互信息（或最小均方誤差）準則得到的理論最優(yōu)波形，且迭代的每一步都具有閉式解，因而可獲得高效求解。仿真結果表明，相比較已提出的可發(fā)射波形設計方法，所提算法具有較好的最優(yōu)波形逼近性能。

關鍵詞： 多輸入多輸出雷達； 波形設計； 交替投影； 擴展目標

中圖分類號： TN951?34 文獻標識碼： A 文章編號： 1004?373X（2017）13?0001?05

Abstract： Since the previously?proposed method based on the criterion of maximum mutual information （MMI） or minimum mean?square error （MMSE） can acquire the theoretical optimum multiple?input and multiple?output （MIMO） radar waveform， but cant generate the transmitting waveform， a new transmitting waveform design algorithm based on alternating projection method is put forward. The transmitting waveform obtained by the proposed algorithm is gradually approximate to the theoretic optimum waveform acquired by means of MMI or MMSE criterion. The closed?form solution existing in each step of iteration can be solved effectively. The simulation results show that， in comparison with the previously?proposed transmitting waveform design method， the algorithm has better performance to approximate the optimal waveform.

Keywords： multiple?input and multiple?output radar； waveform design； alternating projection； extended target

0 引 言

近些年來，越來越多的研究人員對多輸入多輸出（MIMO）雷達產生了極大興趣[1?11]。不同于只能發(fā)射相干波形的傳統相控陣雷達，MIMO雷達可以利用多個發(fā)射單元同時發(fā)射幾乎任意波形，此即所謂的波形分集[1]?；陉嚵刑炀€間距，MIMO雷達可分為分置雷達[1]以及共置雷達[2]兩類。相較于傳統相控陣雷達，MIMO雷達具有許多較為優(yōu)異的性能，比如，更好的參數辨識性能[3]，靈活的發(fā)射波束方向圖設計等[4?11]。

由于MIMO雷達相對于相控陣雷達的優(yōu)勢主要來源于波形分集，因而波形設計是MIMO雷達研究領域的熱點之一。根據需要優(yōu)化的目標，現有波形設計方法可以分為以下兩類：僅設計發(fā)射波形[4?5]；發(fā)射波形接收器聯合設計[6?11]。前者主要著眼于波束方向圖以及模糊函數設計。文獻[4]考慮恒模信號設計。文獻[5]則考慮了發(fā)射波形的空?時?多普勒特性的聯合設計問題。而對于后者，文獻[6]基于諸如最小化克拉美?羅界（CRLB）跡等準則設計發(fā)射波形，此問題亦在雜波場景下寄予了關注[7]。針對擴展目標，文獻[8]提出一種基于梯度的波形設計方法，以最大化輸出信干噪比（SINR）以改善系統檢測性能，而文獻[9?11]則基于最大化接收信號與雷達目標特征之間的互信息設計發(fā)射波形以改善系統檢測性能。

文獻[10]證明了基于最大化互信息（MMI）準則與基于最小均方誤差（MMSE）準則設計波形本質上是相同的，并得到理論上最優(yōu)波形，然而此波形由于結構上的原因，實際上無法得到，針對此問題，文獻[11]提出基于最大似然（ML）和分離最小二乘（SLS）的波形設計方法逼近理論最優(yōu)波形，其中ML方法可得到可發(fā)射波形協方差矩陣，不可得到實際波形；而SLS方法雖然可得可發(fā)射波形，然而由于基于不確定的列正交矩陣，因此，可發(fā)射波形不能惟一確定。針對上述問題，本文提出了基于交替投影的波形設計方法。所提方法利用交替投影方法對可發(fā)射波形以及列正交矩陣進行交替優(yōu)化，并保證在迭代過程中漸進逼近理論最優(yōu)波形。此外，迭代的每一步都具有閉式解，從而可以獲得高效求解。

1 問題描述

本文采用文獻[10]中的模型，此模型可描述如下：MIMO雷達系統發(fā)射、接收陣元個數可分別表示為發(fā)射波形離散形式為（為發(fā)射持續(xù)時間），發(fā)射功率為接收數據為接收濾波器長度為。目標為擴展目標，其時域特性可用長度為的FIR表征（設）表示，對于發(fā)射陣元，接收陣元FIR濾波器系數為，則接收陣元在時刻的接收信號可表示為：

式（7）確定了基于MMI以及MMSE準則的最優(yōu)波形的形式，然而可以看到式（7）并不具有式（2）中kronecker積的形式，因而基于式（6）無法得到實際可產生的波形針對此問題，本文提出了基于交替投影的波形設計，以期得到MMI以及MMSE意義下式（7）的最優(yōu)逼近且可實際產生的波形。

2 基于交替投影的波形設計

由以上討論可知，要得到MMI以及MMSE意義下式（7）最優(yōu)逼近且可以實際產生的波形直觀的方法就是利用式（2）逼近式（7），在功率約束下，此逼近可表示如下：

由式（11）可知，此問題有兩個變量，其中為實際發(fā)射波形，具有能量約束，為列正交矩陣，具有結構約束，此類優(yōu)化問題即距離最近問題[12]。本文采用文獻[12]提出的交替投影方法求解優(yōu)化問題。

基于交替投影方法，此優(yōu)化問題的求解可表述為：設其中分別為具有能量約束（譜約束）和結構約束（比如列正交）的矩陣，則分別為相應的集合，則對于某一以為變量的目標函數，可以通過下面的步驟來優(yōu)化目標函數。

Step0：設置初始值（比如中的每個元素為獨立同分布，且服從均值為0，方差為1的復高斯分布，然后再正交化）；也可以先設置的初始值，只要滿足式（11）的約束條件（此時，步驟1，2也要調換）；

Step1：固定為最新求解值，求解式（14），得到

Step2：固定為最新求解值，求解式（22），得到

Step3：迭代Step1，Step2，直到滿足設定終止條件。在本文的仿真部分，終止條件為式（11）中臨近兩次迭代目標函數Frobenius范數之差小于設定的值，比如。

交替投影方法步驟比較簡單，但此方法一般情況可收斂至局部最優(yōu)值，在文獻[12]中對影響此方法性能的初始值選擇問題進行了討論，并對不同條件下的收斂性進行了詳細的分析，具體過程請參考文獻[12]。

具體到本文，選用交替投影方法的優(yōu)勢在于：Step1，Step2都可得到閉式解，因此在迭代過程中運算量較少，并且此方法經過較少迭代便可得到最優(yōu)解。下面來推導步驟1，2的閉式解：

對于步驟1，可基于SLS [13]得到閉式解。固定為最新值，設式（11）可改寫為：

則得到步驟2的閉式解。

至此，得到步驟1，2的閉式解。迭代過程中只需計算閉式解，因而計算量較小。

3 仿真結果及分析

3.1 仿真條件

本仿真中，假設目標濾波器系數協方差矩陣具有Toeplitz結構，此假設需要為寬平穩(wěn)過程，這在長度很長時是成立的。具有Toeplitz結構的矩陣可用對應的循環(huán)矩陣近似，又知可用DFT來對角化循環(huán)矩陣，因此可得對應近似值，具體過程可參考文獻[14]。下面仿真中，都采用此方式獲得，的功率譜采樣值可隨機產生，根據式（7），可得對應功率譜值以及對應的值。

本仿真采用如下MIMO系統：發(fā)射陣元個數，接收陣元個數，在下面的仿真中，如果不加特別說明接收濾波器階數目標階數發(fā)射功率噪聲且獨立同分布。

對于交替投影方法，首先設置的初始值，中的每個元素為獨立同分布，且服從均值為0，方差為1的復高斯分布，然后再正交化，得到迭代終止閾值為，進行1 000次蒙特卡洛實驗。

3.2 仿真結果及分析

下面對基于交替投影得到的波形（即為仿真圖中標注The proposed method）與文獻[10]中的理論最優(yōu)波形（即為仿真圖中標注Yang method）以及文獻[11]中的兩種方法（即為仿真圖中標注ML method以及SLS method）得到的波形在MMI，MMSE等方面進行比較并分析。

3.2.1 MMI準則下性能比較

接下來考慮文獻[11]中的兩種方法以及本文提出的方法與文獻[10]中的理論最優(yōu)波形的逼近程度進行比較，此處采用均方根準則刻畫此性能，均方根定義如下：

基于最大互信息準則，其中為文獻[10]得到的最大互信息，而則為文獻[11]及本文所提方法得到的最大互信息。不同方法得到的以及RMSE與以及的關系如圖1所示。

從圖1可知：首先，四種方法得到的隨著或者的增大而增加，這是由于SNR會隨著的增大而增大，由此系統就會獲知更多目標信息，因而，也隨之增大；同理，隨著增大，系統目標駐留時間就越長，由此得到目標能量就越大，從而也隨之增大。相同條件下，文獻[10]中的方法得到的 最大，然而由于這種方法得不到具有kronecker積結構的結果，因而得不到實際發(fā)射波形，只能是理論上最優(yōu)。

再者，文獻[11]的ML方法得到的略小于最優(yōu)值，然而由于ML方法只能得到的協方差矩陣，而不是具體波形。而文獻[11]的SLS方法，可得可發(fā)射波形。然而可知，相同條件下此方法的最小。而本文提出的基于交替投影的方法，通過交替迭代，以較小計算量代價就可以較好地逼近最優(yōu)值，且隨著或增大，相對于文獻[11]的兩種方法，本文方法可較快逼近文獻[10]的最優(yōu)值。

3.2.2 MMSE準則下性能比較

與最大互信息準則下類似，首先可得到不同方法所獲得的MMSE與以及之間的關系，如圖2（a），圖2（b）所示。其次，基于MMSE準則，可設式（23）中，其中為文獻[10]得到的MMSE，而為其他方法得到的MMSE，則不同方法得到的RMSE與以及之間的關系，如圖2（c），圖2（d）所示。

由圖2可以看到，相同條件下文獻[10]所得MMSE性能最好，本文所提方法得到的MMSE次之，文獻[11]中的ML方法稍差，SLS方法最差。并且隨著或增大，相對于文獻[11]所提兩種方法，本文所提基于交替投影的波形優(yōu)化方法在均方根意義上較快逼近理論最優(yōu)值。

4 結 論

針對基于MMI以及MMSE準則得到的理論最優(yōu)而實際不可產生波形的問題，基于交替投影，本文提出一種可實際產生波形的迭代設計方法。基于交替迭代方法，在實際波形的功率約束以及正交矩陣的結構約束下，對實際波形以及最優(yōu)波形中的列正交矩陣同時進行迭代最優(yōu)化，從而可逐漸逼近理論最優(yōu)值。需要注意的是，所提方法中，每一步迭代都可表示為閉式解，因而可以高效求解。仿真表明，相對于已存在的可發(fā)射波形產生方法，本文所提方法以增加較小的計算復雜度為代價，具有較好的最優(yōu)逼近性能。

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