劉曉蒙+戴曙光

摘要： 光彈性實(shí)驗(yàn)中，材料條紋值是聯(lián)系光學(xué)現(xiàn)象和材料應(yīng)力的唯一參數(shù)，因而在每次實(shí)驗(yàn)前計(jì)量材料條紋值是非常必要的。條紋值的精確性與選取的實(shí)驗(yàn)計(jì)量點(diǎn)有密切的關(guān)聯(lián)，同時(shí)應(yīng)考慮殘余雙折射和殘余應(yīng)力的影響。根據(jù)實(shí)驗(yàn)獲取的全場(chǎng)數(shù)據(jù)，在試件中選取多個(gè)點(diǎn)構(gòu)成超定方程組，結(jié)合相移技術(shù)，運(yùn)用最小二乘法確定材料條紋值。這種方法不僅能夠確定條紋值，而且可以得到試樣中殘余應(yīng)力的參數(shù)。最后，通過聚碳酸酯受壓圓盤實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了新方法的可行性。

關(guān)鍵詞： 光彈性法； 條紋值； 等差線； 相移法

中圖分類號(hào)： O 348.1 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A doi： 10.3969/j.issn.1005-5630.2017.03.006

Evaluation of material fringe value using whole field data in photoelasticity

LIU Xiaomeng， DAI Shuguang

（School of Optical- Electrical and Computer Engineering， University of Shanghai for Science and Technology， Shanghai 200093， China）

Abstract： In the photoelastic experiment，material fringe value is the only parameter which relates the optical phenomena to the material stresses.It is necessary to calibrate each specimen at the time of experiment.The solutions of fringe value have a strong bearing on the choice of the data points and the effect of residual birefringence should be considered.This paper takes several points in the whole field to obtain an over determined set of equations，using the least squares method combined with phase shifting technology to evaluate fringe value.In this way，not only the fringe order is calculated but also the residual birefringence or residual stress parameters of specimen are obtained.The usefulness of this method is demonstrated by analyzing a circular disc subjected to compressive loading.

Keywords： photoelasticity； fringe value； isochromatic； phase shifting

引 言

光彈性法是實(shí)驗(yàn)力學(xué)的一個(gè)分支[1]，廣泛應(yīng)用在全場(chǎng)應(yīng)力的測(cè)量和分析。通過光彈實(shí)驗(yàn)，可以直接獲取平面應(yīng)力的方向和兩主應(yīng)力之差，分別稱為等傾線和等差線[2]。光彈實(shí)驗(yàn)在平面偏振光場(chǎng)或圓偏振光場(chǎng)下進(jìn)行。平面偏振光場(chǎng)下得到的數(shù)據(jù)，是等傾線和等差線相互疊加的圖像，而在圓偏振光場(chǎng)下，等傾線消失，圖像僅包含等差線[3-4]。應(yīng)用圖像處理技術(shù)[5]和相移技術(shù)[6-9]，可以獲取全場(chǎng)的等傾線和等差線。實(shí)驗(yàn)得到的等傾線和等差線都是包裹的型式[10]，為得到等傾線角度和等差線條紋級(jí)數(shù)，需進(jìn)行解包裹處理[11-14]。

材料條紋值是光彈性實(shí)驗(yàn)中非常重要的參數(shù)，它是聯(lián)系材料應(yīng)力和光學(xué)現(xiàn)象唯一的參數(shù)，表示材料的靈敏度。條紋值與材料和光源的波長(zhǎng)有關(guān)，而與試件的形狀、尺寸、加載方式無(wú)關(guān)。材料的細(xì)微改變，也將引起條紋值變化。因此，在每次光彈性實(shí)驗(yàn)前，計(jì)量條紋值是十分必要的。傳統(tǒng)方法是由補(bǔ)償法得出計(jì)量試件中某點(diǎn)的等差條紋級(jí)數(shù)，然后計(jì)算得到條紋值。如此得出的條紋值，容易受選擇點(diǎn)的影響，數(shù)據(jù)并不精確。本文根據(jù)計(jì)量試件的全場(chǎng)數(shù)據(jù)，選取若干個(gè)點(diǎn)，并考慮殘余應(yīng)力的影響，結(jié)合相移技術(shù)，運(yùn)用最小二乘法確定材料條紋值，再由實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證該方法的可行性。 1 條紋值

對(duì)于各向同性的透明非晶體材料，在受力產(chǎn)生應(yīng)力時(shí)，其特性如同各向異性的晶體，會(huì)產(chǎn)生雙折射現(xiàn)象。這種折射是暫時(shí)的，當(dāng)應(yīng)力解除后也隨即消失，被稱為人工雙折射。晶體中某一點(diǎn)的光學(xué)性質(zhì)可以用折射率橢球來(lái)表示，橢球的三個(gè)主軸為該點(diǎn)的光學(xué)主軸，用方程表示為

式中：N1，N2，N3為主折射率。在三相應(yīng)力狀態(tài)下，任意斜截面的應(yīng)力可以用應(yīng)力橢球表示，橢球的三個(gè)主軸為該點(diǎn)的應(yīng)力主軸，用方程表示為

式中：σ1，σ2，σ3為主應(yīng)力。根據(jù)式（1）、式（2）可以得出應(yīng)力橢球和折射率橢球的主軸是重合的。Maxwell在1852年推導(dǎo)并經(jīng)實(shí)驗(yàn)證明，在平面應(yīng)力（無(wú)σ3）狀態(tài)下，主折射率與其對(duì)應(yīng)的主應(yīng)力在數(shù)值上存在如下關(guān)系

式中：S為光程差；d為試件的厚度；C為材料的相對(duì)應(yīng)力光性系數(shù)[1]。對(duì)于特定入射光波長(zhǎng)λ，相位差

將式（3）代入式（4）得

式中：f=λC，稱為材料條紋值，是由材料和光源波長(zhǎng)決定的常數(shù)，單位為N/mm。

式（3）、式（5）就是著名的平面應(yīng)力光性定律。其物理意義是，當(dāng)一束平面偏振光垂直入射平面應(yīng)力試件時(shí)，必沿該點(diǎn)的主應(yīng)力方向分解為兩列平面偏振光，由于它們?cè)谠嚰?nèi)的傳播速度不同，通過模型后產(chǎn)生的光程差與模型的厚度d及主應(yīng)力差（σ1-σ2）成正比。

確定材料條紋值，是光彈性法中非常重要的基礎(chǔ)工作，因?yàn)樗锹?lián)系力學(xué)和光學(xué)的唯一參數(shù)。條紋值可以通過有理論解的試件標(biāo)定出，如徑向受壓的圓盤，以圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，根據(jù)彈性力學(xué)，其x方向的正應(yīng)力分量σx，y方向的正應(yīng)力分量σy和剪應(yīng)力應(yīng)力分量τxy可表示為

式中：R為圓盤的半徑；D為直徑； P為徑向壓力。r21=x2+（R-y）2，r22=x2+（R+y）2。根據(jù)應(yīng)力圓（莫爾圓）得出主應(yīng)力之差為

在圓心處，式（7）可改寫為

令n為等差線條紋級(jí)數(shù)，結(jié)合暗場(chǎng)下的等差線公式

在圓心處的條紋值可表示為

式（10）是確定條紋值的傳統(tǒng)方法，采用Tardy補(bǔ)償法可以得到圓心處的等差線條紋級(jí)數(shù)。通常選取多個(gè)加載力P，根據(jù)各個(gè)力得到f，對(duì)其求平均值得出材料條紋值。

2 相移法獲取等差線

Tardy補(bǔ)償法是一種逐點(diǎn)獲取小數(shù)級(jí)等差級(jí)數(shù)的方法，雖然精度較高但操作費(fèi)時(shí)、費(fèi)力，每次只能得到一個(gè)點(diǎn)的等差級(jí)數(shù)。光彈性實(shí)驗(yàn)中，相移法是根據(jù)空間域光強(qiáng)的變化，分解出全場(chǎng)等傾線和等差線，具有操作簡(jiǎn)便、精度高的優(yōu)點(diǎn)[15]。為得到小數(shù)級(jí)的等差級(jí)數(shù)，本文在圓偏振光場(chǎng)下運(yùn)用五步相移法[3]，采集五幅圖像求出等差級(jí)數(shù)。圖1是圓偏振光場(chǎng)的示意圖。

運(yùn)用Jones矩陣，當(dāng)α=λ/2，ξ=3λ/4，其出射光強(qiáng)可表示為

式中：ib為背景光強(qiáng)度；ia為入射光的強(qiáng)度；θ為等傾線角度；α 和βi分別是起偏鏡偏振軸和檢偏鏡偏振軸與x軸的夾角；ξ和Φi分別是第一個(gè)1/4波片慢軸和第二個(gè)1/4波片慢軸與x軸的夾角；δ為相位差。按照表1中偏振片和1/4波片角度的安排，等差線相位由式（12）給出

與其他相移法相比，五步相移法不僅消除了背景光的影響，而且計(jì)算等差線相位時(shí)，不需要先計(jì)算等傾角[15]。

3 最小二乘法計(jì)算條紋值

光彈性法是全場(chǎng)應(yīng)力分析法，傳統(tǒng)方法僅根據(jù)受壓圓盤的中心點(diǎn)確定條紋值，顯得不夠全面、精準(zhǔn)。Coker等在其研究論文中指出：受載荷傳遞的影響，圓盤中心點(diǎn)的條紋值比理論值小4%，因而根據(jù)中心點(diǎn)的數(shù)據(jù)計(jì)算條紋值并不科學(xué)[16]。研究表明，在圓盤的0.3～0.5倍半徑的區(qū)域內(nèi)，實(shí)驗(yàn)得到的條紋值與理論值非常接近[17]，本文選取此區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)計(jì)算條紋值。

通常情況下，用于光彈實(shí)驗(yàn)的試件，不可避免的存在殘余雙折射或殘余應(yīng)力。比如聚碳酸酯材料制成的試件，是由擠壓成型的板材切割得到的，由于擠壓成型的板材存在較大的單向殘余應(yīng)力，切割后的試件必須經(jīng)退火去應(yīng)力后才能用于光彈實(shí)驗(yàn)，然而退火后的試件仍有可能存有殘余應(yīng)力，因此，在確定條紋值時(shí)，考慮殘余雙折射的影響是必要的。將殘余雙折射用條紋級(jí)數(shù)的形式，表示為坐標(biāo)的線性函數(shù)

結(jié)合式（9），試件的條紋級(jí)數(shù)改寫為

對(duì)光彈性實(shí)驗(yàn)來(lái)說，nm 是檢測(cè)出的已知量，Sm可由式（7）得出，因此式（15）中的未知量有4個(gè)，即1/f、A、B和C。理論上，在試樣中選取4個(gè)點(diǎn)就可以求出材料條紋值，但考慮到實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的精確性，可以選取多于4個(gè)點(diǎn)，構(gòu)成超定方程組求解條紋值。通常使用最小二乘法解超定方程組，設(shè)采樣點(diǎn)數(shù)為M，誤差方程可寫為

最小二乘法算子要求

由上式可得出方程組：

用矩陣變換后寫為

可簡(jiǎn)化為

4 實(shí) 驗(yàn)

為驗(yàn)證上述方法確定材料條紋值的有效性，本文選取光彈性實(shí)驗(yàn)中的典型試樣Symbol～B@徑向受壓圓盤，進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。圓盤直徑35 mm，厚度4 mm，材料為聚碳酸酯。實(shí)驗(yàn)圓盤置于可調(diào)節(jié)下壓力的加力架內(nèi)，受力部位安裝有壓力傳感器，可以實(shí)時(shí)讀取壓力數(shù)值，實(shí)驗(yàn)時(shí)通過旋轉(zhuǎn)螺桿緩慢加力。圖2為五步相移法獲取的圖像，光源波長(zhǎng)λ=632.8 nm，加載壓力為215.6 N。

通過式（12）計(jì)算出全場(chǎng)等差線，如圖3（a）所示，此時(shí)得到的數(shù)據(jù)是等差線的相位，經(jīng)解包裹運(yùn)算，可以得出等差級(jí)數(shù)。本文選取0.3 ～0.5倍半徑的區(qū)域計(jì)算條紋值，有效區(qū)域?yàn)閳D3（b）中的黑色圓環(huán)區(qū)域。在有效區(qū)域內(nèi)隨機(jī)選取24個(gè)點(diǎn)，構(gòu)成超定方程組，由式（19）計(jì)算得出f=7.801 0，A=0.004 6，B=-0.005 1，C=-0.040 7。材料條紋值f在合理的區(qū)間內(nèi)，三個(gè)殘余雙折射系數(shù)值都比較小，說明試樣中的殘余應(yīng)力較小。實(shí)驗(yàn)證明，最小二乘法能夠確定光彈性材料條紋值。

5 結(jié) 論

進(jìn)行光彈性實(shí)驗(yàn)時(shí)，確定材料的條紋值后，才能將實(shí)驗(yàn)獲得的光學(xué)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為力學(xué)數(shù)據(jù)。傳統(tǒng)方法采用單點(diǎn)計(jì)算條紋值，使得出的數(shù)據(jù)受選取點(diǎn)的影響，不能精確反應(yīng)條紋值。本文根據(jù)受壓圓盤的全場(chǎng)數(shù)據(jù)，在理想?yún)^(qū)域隨機(jī)選取多點(diǎn)，并考慮殘余應(yīng)力的影響，構(gòu)成超定方程組，運(yùn)用最小二乘法確定材料條紋值。對(duì)于等差線條紋級(jí)數(shù)的確定，傳統(tǒng)的Tardy逐點(diǎn)補(bǔ)償法非常繁瑣，文中使用五步相移法，容易得到全場(chǎng)等差條紋級(jí)數(shù)，不僅消除了背景光的影響，而且計(jì)算等差線時(shí)不涉及等傾角。最后應(yīng)用本文所述的方法，對(duì)徑向受壓的聚碳酸酯圓盤進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果理想，既得出材料條紋值，又得到了殘余應(yīng)力的參數(shù)。

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