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(福州大學(xué)電氣工程與自動化學(xué)院，福建 福州 350108)

1 引言

在開關(guān)電源中，磁性元件扮演者重要的角色。磁性元件的損耗是影響效率的重要因素。隨著開關(guān)頻率提高，由于繞組的集膚效應(yīng)和臨近效應(yīng)越顯嚴(yán)重，評估繞組損耗也越顯得重要。目前評估繞組損耗主要有兩種方法：一是采用有限元軟件仿真，二是采用數(shù)學(xué)模型理論分析。兩者各有利弊：有限元仿真可以計(jì)算復(fù)雜模型，精度高，但是需要大量的計(jì)算機(jī)資源和時間為代價，而且，不適合優(yōu)化設(shè)計(jì)；數(shù)學(xué)模型計(jì)算方便，易于繞組優(yōu)化，但只能解決相對簡單的結(jié)構(gòu)，而且精度較低。

從上世紀(jì)60年代起，國外就有學(xué)者致力于繞組損耗的理論計(jì)算。著名學(xué)者P.L.Dowell提出的繞組一維等效模型至今仍被廣泛采用。Dowell模型是把繞組等效成銅箔計(jì)算，其等效原則是：①磁力線必須平行于等效銅箔的長邊；②等效前后保持直流電阻不變。針對平面PCB繞組和E-E或E-I等磁芯結(jié)構(gòu)的繞組損耗已有不少的研究成果，然而環(huán)形磁性元件的研究甚少。

基于此，本文從Dowell模型入手，分析環(huán)形電感的繞組損耗。

2 Dowell模型的表達(dá)形式

2.1 直角坐標(biāo)系下的Dowell模型

針對PCB繞組，傳統(tǒng)的變壓器繞組等結(jié)構(gòu)，均可以將繞組等效成銅箔，采用直角坐標(biāo)系建立模型，如圖1所示。

在圖1中，銅箔繞組的寬度為D，高度和深度為單位長度(1m)，磁力線平行與銅箔導(dǎo)體的長邊，磁場強(qiáng)度的幅值分別為H1和H2。

根據(jù)電磁場理論可知到體內(nèi)的電磁場分布滿足式方程組(1):

圖1 一維銅箔繞組模型

(1)

電流密度和電場強(qiáng)度滿足媒介方程：

J=γE

(2)

在正弦激勵下，可以從(1)和(2)中推導(dǎo)出導(dǎo)體內(nèi)部的磁場分布函數(shù)：

▽2H-jωμγH=0

(3)

在給定邊界條件:

(4)

可以得到導(dǎo)體內(nèi)部的電流密度分布如式(5)所示：

(5)

其中λ=jωμγ，相應(yīng)的繞組損耗可以表示為：

(6)

2.2 柱坐標(biāo)系下的Dowell模型

圖2 環(huán)形繞組模型

對于有的結(jié)構(gòu)，例如環(huán)形電感的內(nèi)外層繞組，更適合等效成圓環(huán)，如圖2所示。在圖2中等效導(dǎo)體的內(nèi)半徑為Ri，外半徑為Ro。磁場方向?yàn)棣确较?，?nèi)外半徑處的幅值分別為H1和H2。導(dǎo)體內(nèi)部的磁場強(qiáng)度分布仍然滿足方程(3)。

方程(3)在柱坐標(biāo)系下展開是一個變系數(shù)的二階微分方程：

(7)

方程(7)經(jīng)過變形后可以改寫為一個修正的Bessel方程：

(8)

(9)

可以得到導(dǎo)體內(nèi)部的電流密度分布如式(10)所示。

(10)

式(10)中λ=jωμr，I0，K0分別表示零階第一類修正的Bessel函數(shù)和零階第二類修正的Bessel函數(shù)，I1，K1分別表示一階第一類修正的Bessel函數(shù)和零階第二類修正的Bessel函數(shù)。相應(yīng)的繞組損壞可以表示為：

(11)

3 環(huán)形電感的繞組損耗計(jì)算

環(huán)形電感的繞組損耗可以分為兩個部分計(jì)算，分別是磁環(huán)內(nèi)外層繞組和上下層繞組。

3.1 內(nèi)外層繞組損耗計(jì)算

以環(huán)形電感的內(nèi)層繞組為例。假設(shè)磁環(huán)內(nèi)半徑為R1，外半徑為R2，導(dǎo)線的線徑是d，導(dǎo)線和磁環(huán)表面的距離是δ。以磁環(huán)圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立柱坐標(biāo)系，將繞組等效成圓環(huán)狀。繞組等效過程如圖3所示。

圖3 柱坐標(biāo)系下Dowell模型繞組等效

根據(jù)直流電阻不變的原則，先把各個圓形截面的導(dǎo)體變成等面積的扇環(huán)。然后把各個扇環(huán)連接成一個圓環(huán)，填充整個區(qū)域。為保證繞組等效前后直流電阻不變，相應(yīng)的電導(dǎo)率應(yīng)修正為：

(12)

式(12)中N表示電感繞組的匝數(shù);γ0表示導(dǎo)體的電導(dǎo)率。

取線徑d為0.9mm，δ為0.2mm，對比R1為5mm的仿真值和柱坐標(biāo)系下Dowell模型計(jì)算結(jié)果如圖4所示。在頻率20～500kHz范圍內(nèi)，誤差均在10%以內(nèi)。

圖4 R1為5mm的內(nèi)層繞組單位長度電阻

針對外層的繞組，采用與內(nèi)層繞組相同的等效方法。取線徑d為0.9mm，δ為0.2mm，對比磁環(huán)外半徑R2為8.33mm的仿真值和柱坐標(biāo)系下Dowell模型計(jì)算結(jié)果如圖5所示。

同樣的線規(guī)和頻率范圍內(nèi)，當(dāng)磁環(huán)的外徑R2增加到16.67mm。計(jì)算的單位長度電阻如圖6所示。

圖5 R2為8.33mm的外層繞組單位長度電阻

圖6 R2為16.67mm的外層繞組單位長度電阻

從圖5和圖6可以看出，在磁環(huán)外徑較小的時候，外層繞組之間的間距較大，磁場具有二維特征，除了θ方向的磁場外，ρ方向的磁場同樣不可忽略。因此，計(jì)算的誤差大。當(dāng)磁環(huán)外徑較大的時候，外層繞組排列緊密，磁場基本上只有θ方向，滿足Dowell模型的等效原則。因此，誤差可以降低。

3.2 上下層的繞組損耗計(jì)算

上下層的繞組損耗與內(nèi)外層的繞組損耗相當(dāng)，但是與內(nèi)外層的繞組相比，上下兩層的繞組的空間分布具有三維特征，不易計(jì)算。若將磁環(huán)展開，雖然可以簡化為二維模型，但是改變了磁場分布。繞組損耗的根源在于磁芯的磁壓降產(chǎn)生漏磁場，漏磁場切割繞組產(chǎn)生渦流，引起損耗。因此，將磁芯去除，引入等效電流元，用電流來代替磁芯的磁壓降。將環(huán)形電感沿半徑ρ(R1<ρ

磁芯的總磁壓降為NI，均勻分布到每個電流元上，可以得知電流元的電流為I。磁芯展開后建立仿真模型，磁力線分布如圖8所示。從圖8可以看出，在A1和A3區(qū)域磁力線不滿足繞組上實(shí)際的磁場分布。中間區(qū)域A2，磁力線分布和實(shí)際的磁場分布基本一致。為減小端部磁場對中間導(dǎo)體的影響，導(dǎo)體數(shù)量應(yīng)該足夠多，考慮到對稱性，若電感繞組匝數(shù)為N匝，展開后用N+1匝來等效?？梢杂?jì)算導(dǎo)體1的損耗來表征任意一匝的繞組損耗。

為了方便計(jì)算，將線徑為d的導(dǎo)體等效為邊長為d的正方形導(dǎo)體，如圖9所示。在導(dǎo)體上各個邊均勻取多個點(diǎn)計(jì)算磁場。

圖8 上下層繞組的周圍磁場分布

圖9 圓形導(dǎo)體等效為正方形導(dǎo)體

由于所有導(dǎo)體的電流均為z方向，采用磁矢位A作為中間變量。在直角坐標(biāo)系下，源點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0)，場點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y)，那么磁矢位A可以表示為：

(13)

上式中R0表示磁矢位參考點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的距離。通過對磁矢位求旋度即可得到場點(diǎn)(x,y)處的磁場強(qiáng)度。

(14)

通過三次樣條插值可以得到等效導(dǎo)體四個邊上的磁場強(qiáng)度。插值法得到的磁場強(qiáng)度和仿真的磁場強(qiáng)度如圖10所示。

圖10 仿真和計(jì)算的磁場強(qiáng)度

從圖10可知，導(dǎo)體1四周的磁場具有二維特征，除了很強(qiáng)的x方向磁場外，y方向磁場同樣不可忽略在。因此，有必要采用二維的Dowell模型計(jì)算。當(dāng)導(dǎo)體四周的磁場是位置的函數(shù)時，采用Dowell模型無法得到解析解，為了方便計(jì)算，各個邊的磁場強(qiáng)度分別用平均值來表示，即：

(15)

圖11 兩維Dowell模型

磁環(huán)在某一固定半徑ρ下展開，導(dǎo)體1四個邊的磁場方向如圖11(a)所示。在H1x和H3x作用下，感應(yīng)電流只是關(guān)于y的函數(shù)；在H2y和H4y作用下，感應(yīng)電流只是關(guān)于x的函數(shù)。因此，可以將x方向磁場和y方向磁場分別考慮，導(dǎo)體內(nèi)部的電流密度可以看成是直流的電流密度JDC加上x方向和y方向磁場產(chǎn)生的感應(yīng)電流的電流密度Jy(x)和Jx(y)，即。

J(x，y)=Jy(x)+Jx(y)+JDC

(16)

取圖11(b)中的安培環(huán)路，可以得到方程:

(17)

對式(17)求兩次導(dǎo)數(shù)可以得到：

(18)

根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律和媒介方程:

(19)

帶入式(18)可以得到電流密度和磁場強(qiáng)度的方程：

(20)

式(20)中，γ是修正的電導(dǎo)率，

(21)

給定邊界條件:

(22)

可以算出電流密度Jy關(guān)于x的函數(shù):

(23)

同理，根據(jù)圖11(c)可以得到x方向磁場產(chǎn)生的感應(yīng)電流Jx(y)：

(24)

假設(shè)導(dǎo)體在R1和R2之間等分成M份，上下兩個面的繞組損耗可表示為：

(25)

磁環(huán)高度h為5mm，線徑d為0.9mm，導(dǎo)體與磁芯的間距δ為0.2mm，給定每匝導(dǎo)體之間的間距為1.4mm。在頻率20～500kHz范圍內(nèi)，導(dǎo)體1的單位長度損耗的仿真值和計(jì)算值如圖12所示。

圖12 導(dǎo)體1的單位長度電阻

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

電感除了繞組損耗外還包括磁芯損耗，直接測量電感的電阻實(shí)際上是包括磁芯損耗的等效電阻，因此很難得到實(shí)際的繞組電阻。然而，空心環(huán)形電感和帶磁芯環(huán)形電感的磁場分布基本一致，繞組損耗相差微小。因此，可以采用空心環(huán)形電感的繞組電阻來替代實(shí)際的電感電阻，也不會引入磁芯損耗的影響。圖13(a)是繞制的空心電感。內(nèi)徑8.58mm，外徑13.85mm，高度8.12mm，采用線徑0.9mm的漆包線均勻繞制46匝。圖13(b)是內(nèi)徑16.77mm，外徑28.63mm，高度16mm，采用線徑0.9mm的漆包線均勻繞制87匝。在頻率20kHz至500kHz時，測量和計(jì)算的繞組電阻分別如圖14(a)和(b)所示。

圖13 空心電感

從圖14可以看出，在頻率20kHz～1MHz范圍內(nèi)(即線徑和集膚深度的比值在2～13之間)，最大誤差在15%以內(nèi)。

5 結(jié)語

磁性元件的繞組損耗是影響開關(guān)電源效率的重要因素。本文首先從直角坐標(biāo)系和柱坐標(biāo)系下的一維銅箔模型推導(dǎo)繞組損耗的數(shù)學(xué)模型。接著分析環(huán)形電感的繞組損耗，分為兩個部分計(jì)算。

圖14 空心電感電阻測量值和計(jì)算值

內(nèi)外層的繞組損耗基本滿足柱坐標(biāo)系下的一維銅箔模型，當(dāng)繞組繞制較為緊密的時候，采用柱坐標(biāo)系下的Dowell模型計(jì)算不至于帶來較大的誤差。

直接計(jì)算上下層的繞組損耗難度較大，通過用電流元代替磁芯磁壓降的方法將磁環(huán)展開成二維結(jié)構(gòu)。采用二維Dowell模型計(jì)算中間一匝的繞組損耗。

實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證表明，通過該方法可以估算出繞組的電阻，并且誤差可以控制在15%以內(nèi)。誤差來源主要有兩個部分：一是模型本身存在誤差，尤其是計(jì)算外層繞組損耗，該模型誤差較大。二是手工繞制的電感各匝之間的間距不均勻，影響實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

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