趙 強(qiáng)

(西安交通大學(xué)理學(xué)院，陜西 西安 710049)

均勻外磁場(chǎng)中的超導(dǎo)橢球

趙 強(qiáng)

(西安交通大學(xué)理學(xué)院，陜西 西安 710049)

本文利用“等效的磁荷觀點(diǎn)”簡(jiǎn)捷地求出了均勻外磁場(chǎng)中超導(dǎo)橢球的面電流密度，體現(xiàn)了電場(chǎng)與磁場(chǎng)之間的對(duì)稱之美。

超導(dǎo)橢球； 均勻磁場(chǎng)； 面電流密度； 磁荷觀點(diǎn)； 對(duì)稱性

超導(dǎo)體具有完全抗磁性[1]，因此，若將任意形狀的超導(dǎo)體放到任意的外磁場(chǎng)中(小于臨界磁場(chǎng))，則超導(dǎo)體內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度保持為零.現(xiàn)假設(shè)一種比較簡(jiǎn)單的情況:將一橢球形超導(dǎo)體放進(jìn)均勻的外磁場(chǎng)B0中，此超導(dǎo)橢球的表面將會(huì)感應(yīng)出怎樣的超導(dǎo)面電流?

若用畢奧-薩伐爾定律解決上述問題，且不說計(jì)算過程復(fù)雜與否，首先讓人感到棘手的問題是不知如何下手。但若是采用等效的磁荷觀點(diǎn)來(lái)解決上述問題[2,3]，則不僅求解過程十分簡(jiǎn)潔，而且物理圖像特別清晰。下面就用磁荷觀點(diǎn)討論上述問題。

如圖1所示，超導(dǎo)橢球面的直角坐標(biāo)方程為

圖1 均勻外磁場(chǎng)中的超導(dǎo)橢球

(1)

假設(shè)均勻外磁場(chǎng)B0方向正好沿z軸的正方向，這時(shí)B0可表示為下式

B0=B0k

(2)

根據(jù)超導(dǎo)體的完全抗磁性，當(dāng)超導(dǎo)橢球如圖1所示放進(jìn)均勻外磁場(chǎng)B0中后，超導(dǎo)橢球表面的感應(yīng)電流必然會(huì)在超導(dǎo)橢球內(nèi)產(chǎn)生一個(gè)與B0相反的附加場(chǎng)B′將B0抵消掉?？紤]到式(2)，B′在直角坐標(biāo)系中的表達(dá)式應(yīng)為

B′=-B0k

(3)

根據(jù)文獻(xiàn)[5]，一個(gè)沿z軸的負(fù)方向均勻極化的電介質(zhì)橢球，其極化強(qiáng)度P與其表面的極化電荷在橢球內(nèi)產(chǎn)生的退極化場(chǎng)E′之間的關(guān)系為

(4)

式(4)中的Nz是由橢球的幾何形狀所決定的一個(gè)無(wú)量綱常數(shù)，稱為電介質(zhì)橢球的z主軸的退極化因子。在橢球坐標(biāo)

(5)

下，其具體表達(dá)式為

(6)

在磁荷觀點(diǎn)下，根據(jù)磁荷與電荷之間的對(duì)稱性，“等效永磁橢球”的磁極化強(qiáng)度J與其表面的磁荷產(chǎn)生的退磁化場(chǎng)H′之間的關(guān)系應(yīng)同式(4)一樣，即

(7)

根據(jù)等效的磁荷觀點(diǎn)，對(duì)于“等效永磁橢球”有如下兩式

將式(7)～式(9)聯(lián)合起來(lái)考慮，有

(10)

將式(3)代入式(10)，有

(11)

式(11)為“等效永磁橢球”的磁化強(qiáng)度的具體表達(dá)式。

圖1中“等效永磁橢球”的單位法向矢量n的具體表達(dá)式為[5]

(12)

利用式(11)和式(12)兩式，可以得到“等效永磁橢球”表面的磁化電流密度為

(13)

式(13)是圖1中超導(dǎo)橢球的面電流密度。

根據(jù)對(duì)稱性，可以得到外磁場(chǎng)B0分別沿超導(dǎo)橢球的x主軸及y主軸的正方向時(shí)超導(dǎo)橢球的面電流密度分別為

其中Nx，Ny是文獻(xiàn)[5]中電介質(zhì)橢球x主軸及y主軸的退極化因子(在本文中的磁荷觀點(diǎn)下，也可將其稱為退磁化因子)，在橢球坐標(biāo)下，其具體表達(dá)式為

(18)

超導(dǎo)圓球面電流密度的大小為

(19)

式(19)的形式十分簡(jiǎn)潔優(yōu)美，并且對(duì)應(yīng)著獨(dú)特的電磁現(xiàn)象。這讓北大教授鐘錫華先生大為贊賞，并且還為此公式取了一個(gè)漂亮的名字：正弦型球面電流[2]。在筆者看來(lái)，式(13)～(15)雖然形式上比式(19)復(fù)雜些，但其耀眼的對(duì)稱性就足以讓人一見鐘情。

若將超導(dǎo)橢球以任意姿勢(shì)放進(jìn)均勻外磁場(chǎng)B0中，假設(shè)B0與超導(dǎo)橢球的3個(gè)主軸的夾角分別為α、β、γ，這時(shí)可以將B0沿個(gè)主軸進(jìn)行分解。最后根據(jù)電流密度的矢量特性，得到超導(dǎo)橢球表面的電流密度為

(20)

從表面上看，“均勻外電場(chǎng)中的導(dǎo)體橢球”和“均勻外磁場(chǎng)中的超導(dǎo)橢球”是兩個(gè)毫不相關(guān)的電磁現(xiàn)象，然而，磁荷觀點(diǎn)卻通過J=μ0M這樣一個(gè)簡(jiǎn)單的公式，將二者有機(jī)地統(tǒng)一起來(lái)了，多么美妙的磁荷觀點(diǎn)??！

[1] 張三慧.大學(xué)物理學(xué)(第三冊(cè))·電磁學(xué)[M].北京:清華大學(xué)出版社，1991:316.

[2] 鐘錫華.電磁學(xué)通論[M].北京:北京大學(xué)出版社，2014:282，3.

[3] 趙強(qiáng).應(yīng)用磁荷觀點(diǎn)一例[J].物理與工程，2016，26(3):46-47. Zhao Qiang. An application case of the view of magnetic charge[J]. Physics and Engineering, 2016, 26(3): 46-47. (in Chinese)

[4] 趙凱華，陳熙謀.新概念物理教程·電磁學(xué)[M].北京:高等教育出版社，2003:229.

[5] 趙強(qiáng)，籍萬(wàn)新.均勻外電場(chǎng)中的一般橢球形導(dǎo)體[J].物理與工程，2016，26(5):65-67. Zhao Qiang, Ji Wanxin. Ellipsoidal conductor in uniform electric field[J]. Physics and Engineering. 2016, 26(5): 65-67. (in Chinese)

SUPERCONDUCTING ELLIPSOID IN THE UNIFORM EXTERNAL MAGNETIC FIELD

Zhao Qiang

(College of Science, Xi’an Jiaotong University, Xi’an Shaanxi 710049)

In this paper, by using the view of equivalent magnetic charge, we briefly find out the surface current density of superconducting ellipsoid in an uniform external magnetic field, which shows the beauty of symmetry between the electric and magnetic fields.

superconducting ellipsoid; uniform magnetic field; surface current density; the view of magnetic charge; symmetry

2016-07-13

趙強(qiáng). 均勻外磁場(chǎng)中的超導(dǎo)橢球[J]. 物理與工程，2017，27(2)：23-25.