陳 汀,陳重華,吳遠波

(上海衛(wèi)星工程研究所,上海 201109)

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一種滑動摩擦彈性非相似接觸問題直接求解方法研究

陳 汀,陳重華,吳遠波

(上海衛(wèi)星工程研究所,上海 201109)

針對傳統(tǒng)方法在求解滑動摩擦條件下彈性非相似接觸問題時存在多項式積分過多的問題，提出了一種直接求解方法。建立了彈性非相似體接觸問題的模型，用修正的高斯-雅可比積分公式求解奇異積分方程，可求得接觸表面上的接觸應力和與疲勞相關的平面應力。因計算中不含積分過程，所提方法能更有效、更直接地求解滑動摩擦條件下彈性非相似接觸問題，且計算過程可用于其他類型的接觸問題。用一個算例，通過與精確解的比較驗證了方法的有效性。計算了圓柱型壓頭與彈性半平面在滑動摩擦條件下的接觸應力分布實例，分析了摩擦因數(shù)對接觸表面應力分布的影響規(guī)律，探討了接觸表面產(chǎn)生裂紋的可能原因。結果發(fā)現(xiàn)：接觸面的摩擦效應導致接觸區(qū)質心向接觸區(qū)尾翼偏移，偏移量隨摩擦因數(shù)增大而變大，這會產(chǎn)生偏移力矩，而法向接觸力與接觸區(qū)長度近似呈拋物線型的變化關系。研究對設計實際工程中具抗疲勞性能的零部件有理論價值和指導意義。

接觸剛度； 非相似接觸問題； 滑動摩擦； 接觸應力； 平面應力； 多項式積分； 修正的高斯-雅可比積分公式； 圓柱型壓頭

0 引言

對摩擦接觸問題，當作用于接觸體表面切向力Q滿足Q

通常，用于求解摩擦非相似材料接觸問題的方法主要有有限元法和邊界積分方程法兩種。有研究用通用有限元求解器計算了無摩擦和有摩擦的接觸問題[3-5]。雖然有限元法可有效用于求解任意復雜幾何的接觸問題，但它需對數(shù)據(jù)進行大量且繁瑣的前后處理，處理方式的不同對分析結果有較大的影響。邊界積分方程同樣廣泛用于求解此類接觸問題[6-10]。與有限元方法不同，邊界積分方程法能更方便、更有效且更直接地求解問題。雖然邊界積分方程法已用于求解一些特別簡化的模型，但仍缺乏一個完備且系統(tǒng)的求解非相似彈性體接觸問題的理論框架[11-13]。為此，本文提出了一種基于修正的高斯-雅可比積分公式求解非相似彈性體接觸問題的方法，研究了摩擦力對接觸應力分布的影響規(guī)律。本文提出的方法能有效體現(xiàn)滑動摩擦接觸條件下接觸應力的漸進行為特征，并基于計算得到的接觸應力，可推斷產(chǎn)生疲勞和斷裂問題的接觸部件的表面裂紋產(chǎn)生的可能原因。

1 彈性非相似體建模

彈性壓頭與非相似的彈性半空間的摩擦滑動接觸問題如圖1所示。

圖1 一般接觸問題的幾何描述Fig.1 Geometry of general contact problem

壓頭輪廓的幾何形狀表示為y=h(x)。因載荷與坐標z無關，故該接觸問題可簡化為一個二維平面接觸問題。外加切向載荷Q和法向載荷P使壓頭處于一種極限平衡狀態(tài)，或以恒定速度運動。由于該運動很慢，可忽略動態(tài)效應的影響。

設在切向應力p(x)和法向應力q(x)的共同作用下，接觸表面上任一點在x、y向的位移分別為uxi，uyi(其中：i=1表示半平面；i=2表示壓頭)，則由文獻[6]，在接觸表面上的任一點，接觸表面的位移和表面上的法向與切向接觸應力的關系可表示為

(1)

(2)

式中：υi為泊松比。

在與彈性壓頭相連的運動坐標系中，存在以下邊界條件

(3)

(4)

式中：uy為半空間表面上任意一點的法向位移；D為兩接觸彈性體的相互趨近量。

在接觸區(qū)域(-a,b)內(nèi)存在摩擦法則

(5)

(6)

式(5)、(6)構成了一對關于未知接觸應力σ，τ的積分方程。對本文討論的問題，法向接觸力p(x)，-a

(7)

式中：

此處：χ*為常數(shù)，表征兩接觸體材料彈性非相似性的程度；Ei，υi，μi分別為彈性模量、泊松比和接觸體的剪切模量；i=1，2。

為獲取該接觸問題的完備解，需要其他附加條件。首先，p(x)必須滿足

(8)

式中：P為外加法向力。外加力的幅值可通過外加力P或沿y軸的壓頭位移表征；在接觸區(qū)的端點-a，b處，不論接觸光滑與否，切向接觸應力p(x)的解須滿足某種協(xié)調條件。

2 方程求解

(9)

正規(guī)化后，外力與接觸應力分布的平衡方程變?yōu)?/p>

(10)

基于多項式的正交特性，奇異積分方程可轉化為一系列關于未知系數(shù)的代數(shù)方程。此方法可有效保證解的收斂性和穩(wěn)定性。但由于所含的積分計算過多，導致求解時間很長。為改善這一缺陷，一種更實用的方法是利用基于修正的高斯-雅可比積分公式[7-8]。與多項式序列法不同，修正的高斯-雅可比積分公式不含積分計算，因而可更直接地求解。

本文用修正的高斯-雅可比積分公式求解奇異積分方程。首先，由文獻[2]，定義復勢函數(shù)

(11)

此勢函數(shù)的基本解可定義為

(12)

式中：常數(shù)κ=-(α+β)為基本解ω(s)的指數(shù)。

式(11)的通解可表示為

(13)

式中：g(s)為區(qū)間[-1，1]中的一個連續(xù)的有界函數(shù)。

對式(13)應用修正的高斯-雅可比積分公式，有柯西核的奇異積分方程可表示為

(14)

將式(14)代入式(9)，常規(guī)運算后可得

(15)

用配點法并令配點中僅有有限個積分點，即s=si。此處：si為以下雅可比多項式的根

(16)

式(10)可化為代數(shù)方程

(17)

(18)

式中：

(19)

以上基于修正的高斯-雅可比積分公式的非相似彈性體的摩擦滑動接觸問題的求解過程同樣適于求解其他類型的接觸問題，包括在接觸區(qū)域端點處未知函數(shù)為有限值或無窮的情形[14]。

在求解式(15)獲取法向接觸應力p(x)后，其余的場變量可由p(x)及合適的格林函數(shù)，用以下方程確定

(20)

影響函數(shù)對所有不存在于邊界上的點都是正規(guī)的[6]。

通過p(x)不僅可直接計算接觸表面上的接觸應力σyy(x,0)，σxy(x,0)，而且能求得因與疲勞相關而引起廣泛關注的接觸表面上的平面應力σxx(x,0)，它與接觸表面的表面裂紋產(chǎn)生密切相關[15-16]。獲取接觸表面的接觸應力σyy(x,0)，σxy(x,0)，接觸表面的σxx(x,0)可用應力-位移關系求得，有

(21)

3 方法有效性驗證

用本文方法計算一個算例，并與解析解進行對比，以驗證本文算法的有效性。算例取自文獻[17]，并做了微小的改動。算例的物理問題描述為：具尖角的粗糙壓頭在彈性非相似半空間表面有摩擦地滑動?？紤]此問題的物理特性，它對應于κ=1的彎曲接觸問題，分量α，β滿足

(22)

積分方程變?yōu)?/p>

(23)

并滿足條件

(24)

式中：L與外載荷相關的參數(shù)。

該有界未知方程的解析解為

(25)

設數(shù)值計算的參數(shù)條件為：α=-0.34，β=-0.66，L=π/sin(απ)。在MATAB 7.0軟件中對本文算法編程，本文方法的計算結果與精確解的對比見表1。

表1 本文方法的計算結果法與精確解對比(n=9)

由表1可知：本文方法的計算精度非常高，與精確值的誤差小于1×10-7，表明本文算法可有效且準確地計算所討論的接觸問題。為進一步驗證本文方法的有效性，以下對具體的接觸算例進行計算。

4 接觸問題實例計算

4.1 問題描述

對工程設計中常用的圓柱型壓頭與彈性非相似半平面的接觸問題進行計算。相關接觸問題如圖2所示。

圖2 圓柱型壓頭與非相似彈性半空間摩擦滑動接觸問題的幾何描述Fig.2 Geometry of contact problem for a cylindrical stamp sliding on half-plane

壓頭的輪廓可表示為

(26)

故有

(27)

根據(jù)圖3和式(7)，積分方程式(9)可表示為

(28)

外力和接觸應力的平衡條件可表示為

(29)

(30)

由于在接觸區(qū)端點x=-a，x=b處均為光滑接觸，根據(jù)上述物理條件可知：α，β均為正實數(shù)，系統(tǒng)指數(shù)κ=-1，故有

f>0時

(31)

α=0.5，β=0.5，f=0時

(32)

f<0時

(33)

對此類接觸問題，在外加法向力P作用下，接觸長度a，b均未知。但對給定接觸長度值，式(30)是關于n個未知參數(shù)g(tj)的n個方程組，即

a*(si-1)]，i=1，2，…，n+1

(34)

(35)

由此，可確定a*，b*的關系。

4.2 計算結果與討論

本文提出的方法主要計算接觸應力，接觸表面的平面內(nèi)應力σxx(x,0)及載荷-接觸長度關系。

對如圖2所示的圓柱型壓頭與非相似彈性半空間接觸問題，設(a+b)/R分別為0.010，0.025，0.050；f分別為0.1，0.3，0.5；υ=0.3。與拋物線型壓頭不同，圓柱型壓頭與非相似彈性半平面在接觸區(qū)域兩端均光滑接觸，因此法向接觸壓力在接觸邊界自然趨于零值。用本文方法計算的f對接觸區(qū)域內(nèi)接觸表面應力的影響分別如圖3～5所示。

圖3 圓柱型壓頭與非相似彈性半平面接觸時的接觸應力分布(f=0.1，0.3，0.5；(b+a)/R=0.010)Fig.3 Contact stresses on surface of half-plane loaded by a cylindrical stamp (f=0.1,0.3, 0.5, (b+a)/R=0.010)

圖4 圓柱型壓頭與非相似彈性半平面接觸時的接觸應力分布(f=0.1，0.3，0.5；(b+a)/R=0.025)Fig.4 Contact stresses on surface of half-plane loaded by a cylindrical stamp (f=0.1,0.3, 0.5, (b+a)/R=0.025)

圖5 圓柱型壓頭與非相似彈性半平面接觸時的接觸應力分布(f=0.1，0.3，0.5；(b+a)/R=0.025)Fig.5 Contact stresses on surface of half-plane loaded by a cylindrical stamp (f=0.1,0.3, 0.5, (b+a)/R=0.050)

由圖3～5可知：當x<-a時，σxx(x,0)為壓應力；當x>b時，σxx(x,0)為拉應力。描述接觸區(qū)位置的接觸長度a，b事先未知，是隨外加法向載荷P增大而單調遞增的強非線性函數(shù)。在求解該接觸問題時，首先假設初值a，b，然后根據(jù)壓頭的平衡條件計算外加法向載荷P，重復此過程即可求得外加載荷P與接觸長度a+b的關系。有趣的是，法向接觸力與接觸長度a+b的關系曲線近似為拋物線，觀察接觸應力分布，可發(fā)現(xiàn)接觸區(qū)的質心向接觸區(qū)域的尾翼偏移。此偏移量隨摩擦因數(shù)增大而變大。該現(xiàn)象使法向接觸應力不再關于y軸對稱，從而形成一個傾斜力矩。與拋物線型壓頭相似的是，摩擦因數(shù)變化對法向接觸應力幅值σyy(x,0)的影響很小，但對平面內(nèi)應力的影響顯著。隨著摩擦因數(shù)的增大，拉應力σxx(x,0)的峰值顯著增大。在接觸區(qū)前翼處的壓應力和在尾翼處的拉應力均隨摩擦因數(shù)增大而增大。

5 結束語

本文提出了一種求解滑動摩擦條件下的彈性非相似接觸問題的有效方法。該法的優(yōu)點是對不同類型的接觸問題，都能有效而正確地獲取接觸應力的漸進行為特征。通過求解一個有尖角的粗糙壓頭與彈性非相似半平面的滑動摩擦接觸問題并與精確解進行對比，驗證了該方法的有效性，并討論了一類典型的圓柱型壓頭與非相似彈性半平面的接觸問題。研究結果表明：接觸面的摩擦效應將導致接觸區(qū)質心向接觸區(qū)尾翼偏移，隨著摩擦因數(shù)的增大，偏移量也逐漸增大，這將不可避免地產(chǎn)生偏移力矩，而法向接觸力與接觸區(qū)長度近似呈拋物線型的變化關系。本文研究可用于分析接觸表面裂紋發(fā)生的可能原因，對設計實際工程中具抗疲勞性的零部件有重要的理論價值和指導意義。本文提出的方法的一個潛在應用是可用于求解部分滑動接觸問題，后續(xù)將進一步研究。

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An Efficient Solution Study for Elastically Dissimilar Contact Problems under Sliding Condition

CHEN Ting, CHEN Chong-hua, WU Yuan-bo

(Shanghai Institute of Satellite Engineering, Shanghai 201109, China)

An efficient and straightforward technique based on the improved Gauss-Jacobi quadrature rule was studied for solving elastically dissimilar contact problems under sliding condition in the paper. The model of contact problem for elastically dissimilar contact problems was established. The singular integral equation was solved by the improved Gauss-Jacobi quadrature rule. The contact stress on the contact surface could be obtained, and so was the plane stress which was related to the fatigue. Because there is no integration process in the computation, the elastically dissimilar contact problem can be worked out by the method proposed more efficiently and directly. The computation can be applied to other types of contact problems. The effectiveness of the method proposed was proved by comparing with the exact value for some computation sample. The real contact problem for a cylindrical stamp sliding on a half-plane was calculated. The effect of frictional coefficient on the contact pressure distribution was analyzed. The possible reasons for crack initiation associated with fatigue and fracture of the contacting components were also discussed. It finds that the frictional effect on the contact surface will cause the centre of the contact area migrating to the end of the contact area. The migration will become bigger when the frictional coefficient is bigger. It will form migration moment. And the relationship of the normal contact force and the length of the contact area can be characterized by paracurve. This study has its theoretically value and reference meanings in designing the anti-fatigue parts in engineering.

contact rigidity; disimilar contact problem; sliding condition; contact stress; plane stress; polynomial integral; improved Gauss-Jacobi quadrature rule; cylindrical stamp

1006-1630(2017)03-0066-07

2016-08-12；

2016-10-22

陳 汀(1984—)，男，博士，主要研究方向為衛(wèi)星總體設計、機械系統(tǒng)動力學。

TH113

A

10.19328/j.cnki.1006-1630.2017.03.009