李冬柏，解延浩，吳寶林

(哈爾濱工業(yè)大學衛(wèi)星技術(shù)研究所，哈爾濱150080)

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考慮執(zhí)行器安裝偏差的航天器姿態(tài)跟蹤控制

李冬柏，解延浩，吳寶林

(哈爾濱工業(yè)大學衛(wèi)星技術(shù)研究所，哈爾濱150080)

針對存在執(zhí)行器安裝偏差和外干擾力矩的航天器姿態(tài)跟蹤問題，提出了一種基于滑?？刂频聂敯艨刂坡??？刂坡煽紤]了因執(zhí)行器安裝偏差導致的控制力矩偏差，且抑制了其對姿態(tài)控制精度的影響。在控制律設計時，除了保證系統(tǒng)穩(wěn)定性外，還進一步給出了明確的與控制參數(shù)相關的姿態(tài)跟蹤誤差上界。數(shù)學仿真結(jié)果表明了此控制方案的有效性。

飛行器；姿態(tài)跟蹤；執(zhí)行器安裝偏差；魯棒控制

0 引 言

在航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)中，由于制造公差或結(jié)構(gòu)變形，不可避免的會存在執(zhí)行機構(gòu)安裝偏差。在姿態(tài)穩(wěn)定問題中，較小的執(zhí)行器安裝偏差對控制性能的影響并不顯著。然而，對于姿態(tài)跟蹤，特別是快速跟蹤問題，執(zhí)行器安裝偏差將會引起明顯的姿態(tài)角和姿態(tài)角速度跟蹤誤差。而事實上在某些特殊情況下，例如快速響應航天器研發(fā)中，由于時間的關系，執(zhí)行器安裝甚至可能沒有經(jīng)過充分校準便投入使用。因此，在高精度姿態(tài)跟蹤控制系統(tǒng)的設計與分析中，必須考慮執(zhí)行器的安裝誤差問題。

在現(xiàn)有文獻中，在航天器的姿態(tài)控制方法的研究方面已取得了豐富的成果，如自適應控制[1-4]，最優(yōu)控制[5-6]，滑模控制[6-10]，和迭代學習控制[11]等等，但涉及執(zhí)行器偏差問題的研究并不多。文獻[12]提出，可用自適應控制法來解決可變速控制力矩陀螺的安裝偏差問題。但是，此方法中要估計的參數(shù)的個數(shù)為12n+3個，其中n為飛輪的數(shù)量。較多的自適應參數(shù)將使控制律的實現(xiàn)過于復雜。此外，由于持續(xù)激勵不足，估計參數(shù)難以收斂至實際值。而在文獻[13]中，針對存在執(zhí)行器偏差的姿態(tài)穩(wěn)定問題，作者提出了另一種自適應控制律。但文中只推導出了考慮執(zhí)行器安裝偏差下的輸入狀態(tài)穩(wěn)定性。在存在執(zhí)行器安裝偏差時，并不能保證最終有界穩(wěn)定。

本文研究了考慮執(zhí)行器安裝偏差的航天器姿態(tài)跟蹤控制問題。執(zhí)行機構(gòu)安裝偏差會導致姿態(tài)動力學模型不確定，而這一模型不確定性又與控制力矩相關，這將給姿態(tài)控制系統(tǒng)設計帶來很大困難。因此本文提出了一種魯棒控制律來解決此問題?？梢宰C明，通過選擇合適的設計參數(shù)，能保證系統(tǒng)最終有界穩(wěn)定。它也確保了最終的姿態(tài)跟蹤誤差與設計參數(shù)成比例，從而可調(diào)。最后，仿真結(jié)果驗證了所提出的控制方案的有效性。

1 航天器姿態(tài)動力學模型

剛性航天器姿態(tài)跟蹤誤差動力學模型如下：

(1)

(2)

(3)

式中：ωd∈3表示航天器本體坐標系相對于慣性坐標系的目標角速度；ω∈3表示航天器本體坐標系相對于慣性系的角速度；δω=ω-R(δq)ωd表示角速度誤差；R(δq)為從航天器參考坐標系到本體系的姿態(tài)旋轉(zhuǎn)矩陣；表示誤差四元數(shù)；δqv∈3和δq0∈表示誤差四元數(shù)的矢量和標量部分；z∈3表示干擾力矩；I3表示三階單位矩陣；J∈3×3表示轉(zhuǎn)動慣量矩陣。記號a×表示向量構(gòu)成的一個反對稱矩陣：

u=[u1,u2,…,un]T∈n,n≥3

式中：ui,i=1,2,…,n表示第i個執(zhí)行器提供的控制力矩；D=[d1,d2,…,dn]∈3×n為執(zhí)行器的分配矩陣，其中di∈3,i=1,2,…,n表示在本體坐標系下，第i個執(zhí)行器的方向單位向量。di可以寫成di=dn,i+Δdi，在這里dn,i和Δdi表示方向單位矢量的標稱部分和不確定部分。不確定部分Δdi即來自于執(zhí)行器的安裝誤差。因此，分配矩陣D可以表示為

D=Dn+ΔD

(4)

式中：Dn和ΔD分別表示執(zhí)行器分配矩陣的標稱部分和不確定部分。其中，標稱值：Dn=[dn,1,dn,2,…,dn,n]，由安裝偏差導致的不確定部分：ΔD=[Δd1,Δd2,…,Δdn]。

關于外部擾動的假設如下：

2 問題描述

使用如下的偽逆法分配控制力矩：

(5)

式中：τ∈3表示本體坐標系下的控制力矩。

將式(5)代入式(1)得到

(6)

本文的控制目標是設計一個魯棒控制律τ，并在存在執(zhí)行機構(gòu)安裝偏差和外干擾力矩的前提下，確保姿態(tài)角和姿態(tài)角速度跟蹤誤差收斂到一個包含原點的小區(qū)間內(nèi)。從式(2)、式(3)和式(5)可以看出，航天器姿態(tài)跟蹤問題可以等價的視作一個對于δω和δq的漸近穩(wěn)定問題。一個存在執(zhí)行器安裝偏差的姿態(tài)跟蹤控制系統(tǒng)示意圖如圖1所示：

圖1 考慮執(zhí)行器安裝偏差的姿態(tài)跟蹤系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure of the attitude tracking control system with actuator misalignments

3 魯棒控制律

本節(jié)針對式(2)、式(3)和式(6)描述的姿態(tài)跟蹤控制系統(tǒng)，提出了一個魯棒反饋控制律。為設計控制方法，定義如下滑模矢量：

s=δω+βδqv

(7)

式中：δqv表示誤差四元數(shù)的矢量部分，用來描述航天器姿態(tài)跟蹤誤差；而δω表示角速度跟蹤誤差，β是一個正的常數(shù)。

文獻[14]證明，在滑動面s=0上，隨著t→∞，姿態(tài)角誤差和角速度誤差趨于零，即：

(8)

由式(2)、式(3)和式(7)可得：

(9)

定義：

L(·)= -ω×Jω+J(δω×R(δq)ωd(t)-

(10)

魯棒控制律設計如下：

τ=-L(·)-kssφ-kSAT(s,φ)

(11)

式中：L(·)由式(10)定義；ks和k為由設計者設定的正常數(shù)。式(11)中，SAT(s,φ)的定義為：

SAT(s,φ)

(12)

式中：s1,s2,s3是向量s的元素,飽和函數(shù)定義如下：

(13)

式(11)中的sφ定義如下：

sφ=[sφ,1,sφ,2,sφ,3]T

(14)

式中：

sφ,i=si-φsat(si,φ),i=1,2,3

(15)

式中：sφ,i用于衡量當前狀態(tài)量到邊界層的代數(shù)距離[15]。

注3．根據(jù)文獻[16]方法，式(11)中的反饋增益ks和式(7)中滑模矢量的參數(shù)β取值由下式確定：

(16)

(17)

式中：ts表示由系統(tǒng)任務確定的響應時間，仿真中取ts=60s。

對于姿態(tài)跟蹤閉環(huán)系統(tǒng)可以得到以下定理：

定理1. 對于存在執(zhí)行器安裝偏差的姿態(tài)跟蹤系統(tǒng)(1)～(3)，采用控制律(5)和(11)。如果假設1和2成立，且控制增益k滿足：

(18)

則式(14)中定義的變量sφ將逐漸收斂到零。

證明：選取李雅普諾夫函數(shù)

(19)

(20)

把式(11)中的控制律代入式(20)可得：

(21)

由sat(s,φ)和sφ的定義，得到：

(22)

因此，由式(22)可得：

(23)

結(jié)合式(21)和式(23)可得：

(24)

考慮到假設1和2，式(24)可寫為：

(25)

將控制輸入(11)代入式(25)中：

(26)

式(26)可整理得到：

(27)

如果條件(18)成立，則上述方程可簡化為：

(28)

由定理1和注5可見，滑模矢量s將收斂到一個包含原點的小區(qū)間內(nèi)。因此，δω和δqv都將收斂到一個小區(qū)間內(nèi)，這一點可由以下定理得出：

(29)

上面的方程可以改寫為如下形式

(30)

由式(30)，當

(31)

因此，由式(30)和式(31)可知，姿態(tài)誤差將收斂到區(qū)間：

(32)

由式(29)，有：

(33)

注意到：

(34)

結(jié)合式(32)～(34)，得到角速度誤差的范圍：

(35)

4 仿真校驗

本節(jié)以仿真算例驗證所提出控制方案的有效性。航天器的轉(zhuǎn)動慣量矩陣假設如下：

為了體現(xiàn)執(zhí)行機構(gòu)安裝偏差對姿態(tài)控制性能的影響，在仿真中假定外部干擾為零。三個執(zhí)行器被安裝在航天器本體坐標系的三個主軸上。理想分配矩陣，不確定部分和實際分配矩陣假設如下：

實際分配矩陣由理想矩陣沿坐標軸輕微偏轉(zhuǎn)1°獲得。仿真中考慮了控制力矩飽和0.5N·m。

仿真中考慮兩種情況：在情形A中，使用文獻[16]中的類PD姿態(tài)控制器如下：

(36)

在情形B下，使用式(5)和式(11)中的控制器。控制器參數(shù)ks和β由式(16)和式(17)確定。φ設定為φ=0.0001。k設定為k=0.015以滿足條件。

情形A：本情形下使用式(5)和式(36)中的類PD姿態(tài)跟蹤控制器，仿真計算結(jié)果如圖2～4所示。為了使結(jié)果直觀，將姿態(tài)誤差從姿態(tài)四元數(shù)轉(zhuǎn)換成歐拉角輸出。從圖2可知，由于執(zhí)行器安裝誤差，姿態(tài)的穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差達0.08°?？梢姡瑘?zhí)行機構(gòu)的安裝誤差對姿態(tài)控制精度有明顯的影響，因此在設計和分析高精度的姿態(tài)控制系統(tǒng)時應考慮到執(zhí)行機構(gòu)安裝誤差的影響。

圖2 情形A下的姿態(tài)跟蹤誤差Fig.2 Attitude tracking errors in case A

圖3 情形A下的角速度跟蹤誤差Fig.3 Angular velocity tracking errors in case A

圖4 情形A下的控制力矩Fig.4 Control torqueτin case A

情形B：在這種情況下，系統(tǒng)使用式(5)和式(11)中提出的姿態(tài)跟蹤控制器。姿態(tài)角跟蹤誤差、姿態(tài)角速度跟蹤誤差和控制力矩如圖5～7所示。由圖5可以看出，相比情形A，穩(wěn)態(tài)誤差大大減少至0.008°。從圖4和圖7可見，在穩(wěn)態(tài)過程中，兩種情況下的控制力矩是相似的。因為兩個控制器幾乎是相同的，除了情形B中控制器相比前者多了一個附加項kSAT(s,φ)?？梢婋m然附加項kSAT(s,φ)的值較小，但顯然它對于抑制執(zhí)行器安裝誤差的影響是有效的。仿真結(jié)果驗證了本文理論，并證明了所提出的控制方案的有效性。

圖5 情形B下的姿態(tài)跟蹤誤差Fig.5 Attitude tracking errors in case B

圖6 情形B下的角速度跟蹤誤差Fig.6 Angular velocity tracking errors in case B

圖7 情形B下的控制力矩Fig.7 Control torque τ in case B

5 結(jié) 論

研究了考慮執(zhí)行器安裝誤差和外部干擾的航天器姿態(tài)跟蹤問題，并針對問題提出了一種魯棒控制律。在設計過程中，除了保證系統(tǒng)穩(wěn)定性外，還給出了明確的跟控制參數(shù)相關的姿態(tài)跟蹤誤差上界。仿真結(jié)果表明，與具有相同控制增益的常規(guī)控制器相比，所提出的控制器能大大減少姿態(tài)跟蹤誤差。因此，可以得出結(jié)論，該控制器能有效地克服執(zhí)行器安裝偏差和外部干擾對姿態(tài)控制的影響。

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通信地址：哈爾濱市南崗區(qū)一匡街2號科學園B3棟3012信箱(150080)

電話：(0451) 86402357轉(zhuǎn)8512

E-mail: watermonth@163.com

吳寶林(1983-)，男，副教授，主要從事衛(wèi)星姿態(tài)控制，姿態(tài)協(xié)同控制研究。本文通信作者。

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Robust Spacecraft Attitude Tracking Control with Actuator Misalignments

LI Dong-bai, XIE Yan-hao, WU Bao-lin

(Research Center of Satellite Technology, Harbin Institute of Technology, Harbin 150080, China)

A sliding mode control-based robust control law is proposed to deal with the problem of spacecraft attitude tracking considering actuator misalignments and external disturbances.The control torque errors due to actuator misalignments are considered in the proposed control law, and its effects on attitude control performance are suppressed. Besides showing stability, explicit bound on the attitude tracking errors is given in terms of design parameters. Simulation results show the effectiveness of the proposed control scheme.

Spacecraft; Attitude tracking; Actuator misalignment; Robust control

2016-05-26;

2017-01-18

國家自然科學基金(61503093,91438202)；哈爾濱工業(yè)大學資助項目(AUGA5710053114)；微小型航天器技術(shù)國防重點學科實驗室開放基金(HIT.KLOF.MST.201502)

V448.2

A

1000-1328(2017)06-0598-07

10.3873/j.issn.1000-1328.2017.06.006

李冬柏(1980-)，男，副研究員，主要從事衛(wèi)星姿態(tài)控制，軌道控制研究。