芮利翔

[摘 要]模糊貼近度的常用方法主要包括最大最小貼近度、算術(shù)平均最小貼近度、幾何平均最小貼近度、Hamming貼近度。本文在討論模糊對稱交互熵的數(shù)值特征基礎(chǔ)上，提出模糊對稱交互熵貼近度的概念和計算公式；在討論三角模糊集及權(quán)重、正態(tài)模糊集及權(quán)重的基礎(chǔ)上，提出模糊貼近度OWA加權(quán)平均的方法。最后以企業(yè)管理領(lǐng)域的模式識別為例，應(yīng)用專家測評方法，進(jìn)行被測樣本模式歸屬的實(shí)證研究。

[關(guān)鍵詞]模糊貼近度；OWA加權(quán)；模式識別

doi：10.3969/j.issn.1673 - 0194.2017.12.060

[中圖分類號]F279.23 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼]A [文章編號]1673-0194（2017）12-0-03

模糊貼近度作為一種處理客觀研究對象不確定性的數(shù)學(xué)工具，在企業(yè)管理的控制、決策、推理等多個環(huán)節(jié)中有著廣泛的應(yīng)用。本文主要研究模糊貼近度在工商企業(yè)管理領(lǐng)域進(jìn)行模式識別的應(yīng)用。當(dāng)一個對象在諸多樣本標(biāo)準(zhǔn)中與某一樣本標(biāo)準(zhǔn)的貼近度最大，則認(rèn)為這一對象歸屬這一樣本是合理的，這就是最大貼近度原則。趙沁平對模糊集合的貼近度進(jìn)行了梳理和歸納。盧國祥提出了一種基于模糊信息的距離測度，即模糊對稱交互熵，指出模糊對稱交互熵可用于模式識別。本文的創(chuàng)新之處在于對模糊對稱交互熵進(jìn)行深入研究，揭示其數(shù)值的形態(tài)特征，提出模糊對稱交互熵貼近度的概念和方法，同時，提出以下的論題：本文的任務(wù)不是羅列各種模式識別的方法，得出各種模式識別的結(jié)論，而是要在各種方法的基礎(chǔ)上，綜合出一種更為合理的結(jié)論。

1 模糊貼近度

常見的模糊貼近度用以下各式進(jìn)行表示。

定義1：設(shè)離散論域X={x1，x2，x3，…，xn}，?和為X上的模糊子集，∨和∧表示通常的格運(yùn)算。

（1）最大最小貼近度

（1）

（2）算術(shù)平均最小貼近度

（2）

（3）幾何平均最小貼近度

（3）

（4）Hamming貼近度

（4）

2 模糊對稱交互熵貼近度

2.1 模糊對稱交互熵

盧國祥闡述了模糊對稱交互熵的定義。

定義2：設(shè)A=（μA（x1），μA（x2），…，μA（xn））；B=（μB（x1），μB（x2），…，μB（xn））為兩個模糊向量。

對于某個xi，定義μA（xi）對μB（xi）的交互熵為：

于是兩個模糊集A對B的模糊交互熵（Fuzzy Cross Entropy，F(xiàn)CE）可定義為：

（5）

上述定義的模糊交互熵（FCE）只滿足非負(fù)性，但不滿足對稱性和三角不等式。所以對其進(jìn)行改進(jìn)，提出如下的模糊對稱交互熵定義。

定義3：設(shè)A=（μA（x1），μA（x2），…，μA（xn））；B=（μB（x1），μB（x2），…，μB（xn））為兩個模糊向量。

F（A||B）和F（B||A）分別是A對B和B對A的模糊交互熵。由此對應(yīng)A與B的模糊對稱交互熵（Fuzzy Symmetric Cross Entropy，F(xiàn)SCE）為：

D（A||B）=F（A||B）+F（B||A）（6）

文[2]中證明了模糊對稱交互熵具有非負(fù)性、對稱性，滿足三角不等式，因此構(gòu)成兩個模糊向量的度量。這在某種意義上可以表現(xiàn)為兩個模糊向量之間的距離。當(dāng)距離較大時，可以認(rèn)為其較不“貼近”或“貼近”的度量較?。划?dāng)距離較小時，可以認(rèn)為其較“貼近”或“貼近”的度量較大。顯然，模糊對稱交互熵用于模式識別也是可行的，只是它的度量和貼近度的度量意義正好相反。為了使模糊對稱交互熵和貼近度在相同意義下用于模式識別，對兩者的數(shù)值特性進(jìn)行比較是必要的。一個問題是模糊對稱交互熵的數(shù)值是不是和貼近度一樣滿足0≤σ≤1，下文進(jìn)行一個具體的數(shù)值計算。

2.2 模糊對稱交互熵的數(shù)值討論

例1：設(shè)：A=（0.2，0.4，0.5，0.1）；B=（0.2，0.3，0.5，0.2）

同樣可計算F（B||A）=0.066，于是D（A||B）=0.1254。

這一模糊對稱交互熵正好在[0，1]，但是一般情況需要深入討論。從模糊對稱交互熵的計算公式可以看出，模糊對稱交互熵是關(guān)于兩個模糊向量的2n個隸屬度的多元函數(shù)。為了簡化討論，又不失一般性，這里僅對兩個一元互補(bǔ)模糊向量進(jìn)行討論。

例2：設(shè)：

例3：設(shè)

從例2和例3可以看出，模糊對稱交互熵是超出[0，1]的。并且當(dāng)A的隸屬度取值在0～0.5，隸屬度趨向于0時，F(xiàn)（A||B）是增加的，隸屬度趨向于0.5時，F(xiàn)（A||B）是減少的。

定理1：設(shè)模糊向量A=（1-x），B=（x）；x∈[0，0.5]則：

（1）F（A||B）在所論區(qū)間上是遞減函數(shù)；

（2）；

（3）；

證：（1）

求導(dǎo)數(shù)

故為遞減函數(shù)。

（2）

故，

（3）代入即可。

定理2：設(shè)模糊向量A=（1-x），B=（x）；x∈[0，0.5]

則F（A||B）=F（B||A），于是D（A||B）=2F（A||B）=2F（B||A）證：

即得證明。

2.3 模糊對稱交互熵貼近度

有了上述簡明情況作為基礎(chǔ)，為了和貼近度有同樣的數(shù)值性質(zhì)，現(xiàn)定義以下的模糊對稱交互熵的貼近度變換式是合適的。

定義4：設(shè)A=（μA（x1），μA（x2），…，μA（xn））；B=（μB（x1），μB（x2），…，μB（xn））為兩個模糊向量。稱：

（7）

為模糊對稱交互熵貼近度，可記為FSCE貼近度，在本文中FSCE貼近度記為σ5（A，B）。

3 OWA加權(quán)平均

有了文中5種貼近度，可以進(jìn)行5種模式識別。它們的差別表達(dá)了各種不同方法對對象和樣本之間相似狀況的各種不同視角的反映。人們似乎不必在意其間的所謂優(yōu)劣，轉(zhuǎn)而對其進(jìn)行綜合處理是一種可行的方法。在處理時，可以采取抑制極端值，提升中間值的OWA加權(quán)平均方法。

3.1 三角模糊集及權(quán)重

設(shè)有模糊集合B=（b1，b2，…，bi，…，bn）

bi為第i位評分者的評分值。0≤bi≤1，i=1，2，…，n。現(xiàn)在論域U=R上建立三角模糊集

（8）

顯然，這是一個三角模糊集以為軸的對稱分布的圖形。

如，n=5，則其分布為：

（0.2， 0.6， 1， 0.6， 0.2）（9）

由于權(quán)重wi必須滿足wi∈[0，1]，

所以對（8）式進(jìn)行歸一化處理，得基于三角模糊數(shù)的權(quán)重分布

（10）

由此，可得（9）式的權(quán)重分布為

（0.077 0，0.203 8，0.384 6，0.203 8，0.077 0）（11）

3.2 正態(tài)模糊集及權(quán)重

設(shè)有模糊集合B=（b1，b2，…，bi，…，bn）

bi為第i位評分者的評分值。0≤bi≤1，i=1，2，…，n現(xiàn)在論域U=R上建立正態(tài)模糊集：

（12）

其中

顯然，這是一個正態(tài)模糊集以為軸的對稱分布的圖形。

如，n=5，則其：

則其分布為：

（0.367 9，0.778 8，1，0.778 8，0.3679）（13）

對（12）式進(jìn)行歸一化處理，得基于正態(tài)模糊數(shù)的權(quán)重分布：

（14）

其中，i=1，2，…，n

于是式（13）變換為：

（0.112 0，0.236 0，0.304 0，0.236 0，0.112 0） （15）

3.3 OWA加權(quán)平均

1989年美國學(xué)者Yager提出OWA算子

設(shè)F：Rn→R，如果

（16）

其中，（a1，a2，…，an）為模糊向量，w=（w1，w2，…，wn）T是權(quán)重向量，其是與F相關(guān)聯(lián)，由F所決定的。顯然，，aj∈[0，1]wj∈[0，1]，且（j=1，2，…，n）。（b1，b2，…，bn）是把（a1，a2，…，an）重新由大到小排列后得到的，其第j大的數(shù)記為bj，即bj=σ（j）。

上述的F稱為n維OWA算子。OWA算子的關(guān)鍵之處在于，要對（a1，a2，…，an）這一表示評語集的數(shù)組按大到小重新排列，而對第j大的數(shù)據(jù)bj賦予wj的權(quán)重。這里wj只與第j個位置相關(guān)，而這一位置放置的數(shù)據(jù)即為第j個大，或由大到小排列時居第j位。

第（16）式給出的加權(quán)是通常采用的（·，+）型加權(quán)。如果權(quán)重采用上述的三角模糊數(shù)型，或正態(tài)模糊數(shù)型，由于其中間位置取值較大，兩側(cè)對稱地取逐次遞減的較小的值。加權(quán)時，將使中間位置的數(shù)值得以提升，而兩側(cè)、較大、較小的值得以抑制，達(dá)到了減弱極端值在整體評價中的比重的作用。

例，在對某一指標(biāo)評價中，有5位評分者，得到的評分向量為

（0.2，0.7，0.5，0.9，0.4）

按數(shù)值由大到小，重新排列后，得（0.9，0.7，0.5，0.4，0.2）

應(yīng)用（11）式所示的權(quán)向量，應(yīng)用OWA算子，所得的F值為：

（17）

bij為（a1j，a2j，a3j，a4j，a5j）依大到小，重新排列后第i大的值。即bij=σ（i）。

cj表示B與Aj的OWA綜合加權(quán)平均貼近程度。用它于模式識別具有抑制極端值，提升中間值的作用，比較科學(xué)客觀。

5 應(yīng)用實(shí)例

在工商企業(yè)管理領(lǐng)域有眾多需要進(jìn)行模糊模式識別的領(lǐng)域，如產(chǎn)業(yè)集群發(fā)展模式的識別、并購中目標(biāo)企業(yè)的評估、中小企業(yè)技術(shù)創(chuàng)新模式的選擇、新興商業(yè)模式的評測，以及市場營銷中難以通過準(zhǔn)確量化進(jìn)行衡量的質(zhì)量判定問題等。本文試通過實(shí)例確立基于OWA加權(quán)平均的模糊貼近度在模式識別問題領(lǐng)域的數(shù)學(xué)應(yīng)用模型。在管理學(xué)中常見的模式識別問題中，以A1、A2、A3、A4、A5、A6分別代表不同的標(biāo)準(zhǔn)模式；本實(shí)證研究選取各模式中最具代表性特征的Z1、Z2、Z3三個指標(biāo)為測評指標(biāo)；B表示待估樣本。依據(jù)專家打分取均值的方法，確立標(biāo)準(zhǔn)模式及待估樣本的指標(biāo)數(shù)據(jù)，并標(biāo)準(zhǔn)化到[0，1]，從而建立模糊集合。如表2所示。

即σ5（A1，B）=0.6646

對于數(shù)據(jù)進(jìn)行從大到小的排列，且采用式（11）賦予的權(quán)重，根據(jù)式（17）計算得：C1=0.7631×0.0770+0.7452×0.2038+0.69×0.3846

+0.6646×0.2038+0.5939×0.0770=0.6572

同理可求C2、C3、C4、C5、C6。

的計算結(jié)果看，樣本的OWA綜合加權(quán)平均貼近度C2最高，表示樣本與A2集合最為貼近，可以判定待估樣本為A2標(biāo)準(zhǔn)模式。表中的其他數(shù)據(jù)提供了樣本與其他標(biāo)準(zhǔn)貼近的不同情況的信息，也有價值。

6 結(jié) 語

模糊貼近度是模糊數(shù)學(xué)中的重要理論，在模糊數(shù)學(xué)以及模糊信息處理中具有重要的理論和實(shí)際意義。本文梳理了各種模糊貼近度，還在此基礎(chǔ)上提出了模糊對稱交互熵貼近度的概念和方法。并且運(yùn)用OWA加權(quán)平均的方法，對5種模糊貼近度進(jìn)行均衡處理，得出了較為合理的識別結(jié)果。

主要參考文獻(xiàn)

[1]趙沁平.模糊集合的模糊度與貼近度[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識，1982（1）.

[2]盧國祥.一種基于模糊信息的距離測度及應(yīng)用[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)，2014（1）.