■廣東省信宜礪儒中學(xué) 王位高

解析幾何解答題集錦

■廣東省信宜礪儒中學(xué) 王位高

1.已知橢圓C的對(duì)稱中心為原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上,左、右焦點(diǎn)分別為F1和F2,且|FF|=2,點(diǎn)(1)在該橢圓上。

(1)求橢圓C的方程;

(2)過F1的直線l與橢圓C相交于A, B兩點(diǎn),若△AFB的面積為求以F2為圓心且與直線l相切的圓的方程。

2.已知拋物線E:y2=2px(p〉0)的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)M,過點(diǎn)M作圓C: (x-2)2+y2=1的兩條切線,切點(diǎn)為A,B, |AB|=42。3

(1)求拋物線E的方程;

(2)過拋物線E上的點(diǎn)N作圓C的兩條切線,切點(diǎn)分別為P,Q,若P,Q,O(O為原點(diǎn))三點(diǎn)共線,求點(diǎn)N的坐標(biāo)。

(1)求m的取值范圍;

(2)求△MPQ面積的最大值。

4.已知雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為F1(-2,0),F2(2,0),雙曲線C上一點(diǎn)P到F1,F2距離差的絕對(duì)值等于2。

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)經(jīng)過點(diǎn)M(2,1)作直線l交雙曲線C的右支于A,B兩點(diǎn),且M為AB的中點(diǎn),求直線l的方程;

(3)已知定點(diǎn)G(1,2),D是雙曲線C右支上的動(dòng)點(diǎn),求|DF1|+|DG|的最小值。

5.已知點(diǎn)F(1,0),直線l1:x=-1上有一動(dòng)點(diǎn)A,過點(diǎn)A作直線l2,l1⊥l2,線段AF的垂直平分線與l2交于點(diǎn)P。

(1)求點(diǎn)P的軌跡C的方程;

(2)若M,N是直線l1上兩個(gè)不同的點(diǎn),且△PMN的內(nèi)切圓方程為x2+y2=1,直線PF的斜率為k,求的取值范圍。

6.已知圓心在x軸上的圓C過點(diǎn)(0,0)和(-1,1),圓D的方程為(x-4)2+y2=4。

(1)求圓C的方程;

(2)由圓D上的動(dòng)點(diǎn)P向圓C作兩條切線分別交y軸于A,B兩點(diǎn),求|AB|的取值范圍。

圖1

(2)如圖2,設(shè)N(s,t)。P,Q是以NC為直徑的圓D與圓C的兩個(gè)交點(diǎn)。圓D的方程為即 x2+y2-(s+2)x-ty+2s=0 ①。又圓C的方程為x2+y2-4x+3=0 ②,由②-①得(s-2)x+ty+3-2s=0 ③。

P,Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)是方程①和②的解,也是方程③的解,從而③為直線PQ的方程。

圖2

4.(1)依題意,得雙曲線C的實(shí)半軸長a=1,焦半徑c=2,所以其虛半軸長b=又其焦點(diǎn)在x軸上,所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

(2)設(shè)A,B的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2, y),則兩式相減,得3(x-21x2)(x1+x2)-(y1-y2)(y1+y2)=0。因?yàn)?,)為的中點(diǎn),所以所M21AB以12(x1-x2)-2(y1-y2)=0,即kAB=。故AB所在直線l的方程為y-1=6(x-2),即6x-y-11=0。

(3)由已知,得|DF1|-|DF2|=2,即|DF1|=|DF2|+2,所以|DF1|+|DG|= |DF2|+|DG|+2≥|GF2|+2,當(dāng)且僅當(dāng)G,D,F2三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)。因?yàn)閨GF2|=所以|DF2|+|DG|+ 2≥|GF2|+2=5+2。故|DF1|+|DG|的最小值為5+2。

5.(1)依題意,點(diǎn)P到點(diǎn)F(1,0)的距離等于它到直線l1的距離,所以點(diǎn)P的軌跡是以F為焦點(diǎn),直線l1:x=-1為準(zhǔn)線的拋物線,所以曲線C的方程為y2=4x。

(2)設(shè)P(x0,y0),M(-1,m),N(-1, n),則直線PM的方程為(x+1),化簡得(y0-m)x-(x0+1)y+ (y0-m)+m(x0+1)=0。

因?yàn)椤鱌MN的內(nèi)切圓方程為x2+y2= 1,所以圓心(0,0)到直線PM的距離為1,即

故(y0-m)2+(x0+1)2=(y0-m)2+ 2m(y0-m)(x0+1)+m2(x0+1)2。

易知x0〉1,上式化簡得(x0-1)m2+ 2y0m-(x0+1)=0。同理,有(x0-1)n2+ 2y0n-(x0+1)=0。所以m,n是關(guān)于t的方程(x0-1)t2+2y0t-(x0+1)=0的兩根,所以

6.(1)設(shè)圓C的方程為(x-a)2+y2=r2(r〉0)。因?yàn)閳AC過點(diǎn)(0,0)和(-1,1),所以解得a=-1,r=1。所以圓C的方程為(x+1)2+y2=1。

(2)設(shè)圓D上的動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0, y0),則(x0-4)2+y20=4,即y20=4-(x0-4),解得2≤x0≤6。由圓C與圓D的方程可知,過點(diǎn)P向圓C所作兩條切線的斜率必存在,設(shè)PA的方程為y-y0=k1(x-x0),則點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,y0-k1x0)。同理可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,y0-k2x0),所以|AB|= |k1-k2|x0。

(責(zé)任編輯 王福華)