■廣東省江門市棠下中學(xué) 林月霞

圓錐曲線中如何解決參變量的取值范圍

■廣東省江門市棠下中學(xué) 林月霞

圓錐曲線與不等式交匯的問題主要是:以圓錐曲線為依托,通過引入不等式求解變量的取值范圍。我們通過下面的例題來闡述在圓錐曲線中應(yīng)如何引入不等式來求變量的取值范圍。

一、由判別式建立不等式

已知一條曲線C在y軸右邊,C上每一點(diǎn)到點(diǎn)F(1,0)的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是1。

(1)求曲線C的方程。

(2)是否存在正數(shù)m,對于過點(diǎn)M(2m, 0)且與曲線C有兩個交點(diǎn)A,B的任一直線,都有若存在,求出m的取值范圍;若不存在,請說明理由。

評注:第(2)問中出現(xiàn)了“一直線與曲線C相交于A,B兩點(diǎn)”這樣的條件,這顯然是探討直線與曲線C的位置關(guān)系的問題。而我們在處理由直線與曲線的位置關(guān)系所引起的變量取值范圍問題時,通常用到的工具就是韋達(dá)定理與判別式。

二、由圓錐曲線方程中變量的取值范圍建立不等式

評注:圓錐曲線方程本身對其上的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)都是有約束的,比如橢圓中,-a≤x≤a、-b≤y≤b;雙曲線中,x≤-a或x≥a。這些都是用來構(gòu)造不等式的非常有效的工具,在圓錐曲線中,對求變量的取值范圍問題,這種引入不等式的方法容易被忽視。審視該題條件,看不到現(xiàn)成的不等式供我們利用,這種情況下就應(yīng)當(dāng)考慮圓錐曲線方程本身所隱含的約束條件。

三、由圓錐曲線的幾何特征引入不等式

由橢圓的幾何性質(zhì)知PF2〈a+c,則,即c2+2c-a2〉0,所以e2+ 2e-1〉0,解得又e∈(0,1),故橢圓的離心率e∈(2-1,1)。

評注:求離心率的取值范圍的難點(diǎn)在于需要發(fā)現(xiàn)一個或多個限制a,b,c的不等式,即要構(gòu)造一個關(guān)于a,b,c的不等式或不等式組。常用來建立不等式的幾何性質(zhì)有:(1)橢圓中|PF1|+|PF2|〉2c、a〉c、a〉b,PF2〈a+c;(2)雙曲線中||PF1|-|PF2||〈2c、c〉a、c〉b等。

(責(zé)任編輯 王福華)