■浙江省江山市第五中學(xué) 徐洪軍

拋物線一組結(jié)論的證明與應(yīng)用

■浙江省江山市第五中學(xué) 徐洪軍

拋物線有很多優(yōu)美的結(jié)論,在平時(shí)的學(xué)習(xí)中,同學(xué)們要能夠靈活應(yīng)用。下面,筆者通過拋物線一組結(jié)論的證明與應(yīng)用來進(jìn)一步揭示拋物線的本質(zhì)。

結(jié)論1 已知直線l經(jīng)過拋物線C:y2= 2px(p〉0)的焦點(diǎn)F,直線l與拋物線C交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),則y1·y2=

應(yīng)用1 已知直線l經(jīng)過拋物線C:y2= 8x的焦點(diǎn)F,直線l與拋物線C交于A(x1, y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),則:

(2)根據(jù)拋物線的結(jié)論1可得x1·x2=因?yàn)閤1〉0,x2〉0,所以

(3)根據(jù)拋物線的結(jié)論1可得y1·y2= -p2=-16。因?yàn)閥1·y2〈0,所以|16y1-25y|=16|y|+25|y|≥160,當(dāng)且僅當(dāng)16|y1|=25|y2|=80,即y1= 5,y=-或y=-5,y=時(shí),取等號(hào),因此|16y1-25y2|的最小值為160。

結(jié)論2 已知直線l與拋物線C:y2= 2px(p〉0)交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),且滿足y1·y2=-p2,則直線l經(jīng)過拋物線C的焦點(diǎn)。

證明：(1)當(dāng)x1=x2時(shí),有|y1|=|y2|。

因?yàn)閥1·y2=-p2,所以|y1|=|y2|= p,于是因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為,所以直線l經(jīng)過焦點(diǎn)F。

應(yīng)用2 已知直線l與拋物線C:y2=8x交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),且滿足y1· y2=-16,則直線l經(jīng)過定點(diǎn)。

證明：因?yàn)閜=4,y1·y2=-16,所以y1·y2=-p2。根據(jù)拋物線的結(jié)論2可知,直線l經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F(2,0)。

結(jié)論3 已知F是拋物線C:y2=2px (p〉0)的焦點(diǎn),直線l與拋物線C交于A、B兩點(diǎn),記直線FA、FB的斜率分別為k1、k2,若直線l經(jīng)過點(diǎn),則k+k=0。

證明：設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由題意可設(shè)直線l的方程為,把直線l的方程代入拋物線方程y2= 2px,消去y整理可得k2x2+(k2p-2p)x+

因?yàn)閗≠0,且Δ=(k2p-2p)2-k4p2= 4p2(1-k2)〉0,所以-1〈k〈0或0〈k〈1。

應(yīng)用3 已知F是拋物線C:y2=12x的焦點(diǎn),直線l:y=k(x+3)與拋物線C交于A、B兩點(diǎn),記直線FA、FB的斜率分別為k、k,則=____。

解析：由題意可知,拋物線焦點(diǎn)為F(3, 0),直線l恒過定點(diǎn)(-3,0),根據(jù)拋物線的結(jié)論3可得,k+k=0,于是

結(jié)論4 已知F是拋物線C:y2=2px (p〉0)的焦點(diǎn),斜率存在的直線l與拋物線C交于A、B兩點(diǎn),記直線FA、FB的斜率分別為k1、k2,若k1+k2=0,則直線l恒過定點(diǎn)

證明：由題意可設(shè)直線l的方程為x= my+t,其中m≠0。把直線l的方程x= my+t代入拋物線方程y2=2px,消去x得y2-2mpy-2pt=0,由Δ=4m2p2+8pt= 4p(m2p+2t)〉0,可得m2p+2t〉0。

應(yīng)用4 已知F是拋物線C:y2=32x的焦點(diǎn),斜率存在的直線l與拋物線C交于A、B兩點(diǎn),記直線FA、FB的斜率分別為k1、k2,若k1+k2=0,則直線l經(jīng)過定點(diǎn)。

證明：根據(jù)拋物線的結(jié)論4可知,直線l經(jīng)過定點(diǎn)(-8,0)。

在設(shè)直線方程時(shí),要注意考慮直線的斜率不存在的情況是否滿足題意。有時(shí),也可以把直線方程設(shè)成x=my+t的形式來避免復(fù)雜的運(yùn)算,進(jìn)一步提高解題的準(zhǔn)確率。

(責(zé)任編輯 王福華)