方小菊，黃亦其

(1.廣西職業(yè)技術(shù)學(xué)院 計算機與電子信息工程系，南寧 530226；2.廣西大學(xué) 機械工程學(xué)院，南寧 530004)

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基于無源控制的非完整移動機器人軌跡跟蹤誤差仿真研究*

方小菊1，黃亦其2

(1.廣西職業(yè)技術(shù)學(xué)院 計算機與電子信息工程系，南寧 530226；2.廣西大學(xué) 機械工程學(xué)院，南寧 530004)

當(dāng)前，非完整移動機器人在外界干擾作用下容易發(fā)生抖動現(xiàn)象，機器人軌跡跟蹤誤差較大，不能很好的滿足執(zhí)行任務(wù)的需要。對此，文章采用無源控制理論控制非完整移動機器人的軌跡跟蹤，實現(xiàn)軌跡跟蹤誤差最小化。構(gòu)造機器人動力學(xué)模型，介紹了機器人空間運動控制的基本形式，引入無源控制理論，在非完整移動機器人末端安裝無源控制的執(zhí)行器。采用數(shù)學(xué)方法證明了無源控制閉環(huán)系統(tǒng)具有很好的穩(wěn)定性，并且軌跡跟蹤誤差具有收斂性。結(jié)合具體實例，非完整移動機器人末端執(zhí)行器在無源控制條件下，通過數(shù)學(xué)軟件Matlab/Simulink進行軌跡跟蹤誤差仿真，并且與其它軌跡跟蹤誤差控制方法進行對比分析。誤差仿真結(jié)果證明，非完整移動機器人末端執(zhí)行器采用無源控制方法，不僅軌跡跟蹤誤差降低，而且輸入轉(zhuǎn)矩波動程度較小。非完整機器人末端執(zhí)行器采用無源控制方法，具有良好的控制精度，削弱了抖動現(xiàn)象。

移動機器人；無源控制；跟蹤誤差；仿真

0 引言

機器人可以代替手工勞動的一種自動化生產(chǎn)工具，涉及內(nèi)容包括控制、力學(xué)、傳感器技術(shù)及電子技術(shù)等多種學(xué)科的高新技術(shù)，也是二十一世紀(jì)研究的熱點之一。在企業(yè)零部件加工生產(chǎn)中，經(jīng)常采用機器人搬運物體。機器人具有以下優(yōu)點：①可以在危險的環(huán)境條件下工作；②連續(xù)工作時間長；③生產(chǎn)效率高。由于機器人具備許多的優(yōu)越性，它被廣泛應(yīng)用在物資搬運，緊急救援、排爆、監(jiān)視等領(lǐng)域，尤其是在電子、航空及核工業(yè)發(fā)揮著不可替代的作用。因此，為了能夠使機器人能夠精確、快速的完成任務(wù)，對其軌跡跟蹤控制的研究會變得越來越重要。

移動機器人在工作過程中，其運動軌跡跟蹤控制是關(guān)鍵。經(jīng)過多年的發(fā)展，移動機器人跟蹤控制方法也有多種。例如：文獻[1-4]介紹了移動機器人軌跡跟蹤的模糊PID控制算法，構(gòu)造了系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和動力學(xué)模型，設(shè)計了PID控制系統(tǒng)，提高了機器人運動的穩(wěn)定性和適應(yīng)性，得到了較高精度的軌跡跟蹤任務(wù)。文獻[5-7]對移動機器人采用了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)，構(gòu)造一種動力學(xué)與運動學(xué)相結(jié)合的智能控制系統(tǒng)，并對系統(tǒng)的穩(wěn)定性進行了證明，該控制方法能夠有效的提高移動機器人軌跡跟蹤控制性能。文獻[8-10]闡述了自適應(yīng)滑?？刂扑惴ㄔ?，簡化了機器人力矩控制的動力學(xué)模型，對控制器采用滑?？刂扑惴?，優(yōu)化滑模的控制參數(shù)，對滑?？刂频亩秳蝇F(xiàn)象進行了仿真，仿真顯示滑?？刂扑惴▋?yōu)于其它控制算法，跟蹤效果較好。但是，移動機器人在受到干擾情況下執(zhí)行任務(wù)時，軌跡跟蹤精度較低。對此，本文構(gòu)造了非完整移動機器人簡單模型，采用無源控制方法在移動機器人末端設(shè)計了運動控制器，引用李雅普諾夫函數(shù)，對閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性、有界性及收斂性進行了證明。在Matlab /Simulink環(huán)境下對無源控制方法的軌跡跟蹤誤差和輸入控制力矩進行仿真，并與其它控制方法進行比較。仿真結(jié)果證明，非完整移動機器人在受到外界干擾情況下采用無源控制軌跡跟蹤精度較高，抖動現(xiàn)象不明顯，系統(tǒng)穩(wěn)定性較好，能夠很好的執(zhí)行高精度要求的軌跡跟蹤任務(wù)。

1 移動機器人機械臂模型

通常情況下，具有n維移動機器人在運動過程中，會受到其它力矩的干擾。由拉格朗日方程式可知，非完整移動機器人的動力學(xué)方程式[11]如下所示：

(1)

式中：q∈Rn×1代表n維廣義坐標(biāo)，M(q)∈Rn×n代表正定慣性的對稱矩陣，C(q,q′)∈Rn×n代表向心力和哥氏力矩陣，F(xiàn)(q′)表示摩擦力矩陣，G(q)∈Rn×1代表重力矢量，τd∈Rn×1代表外部轉(zhuǎn)矩干擾矢量，τ∈Rr×1代表輸入轉(zhuǎn)矩矢量，B(q)∈Rn×r代表輸入變換矩陣，λ∈Rm×1代表約束力向量拉格朗日乘子，A(q)∈Rm×n代表約束矩陣。

圖1 兩關(guān)節(jié)移動機器人結(jié)構(gòu)簡圖

本文選擇非完整運動機器人的兩個機械臂為研究對象，如圖1所示。

在圖1中，θ1代表機械臂1轉(zhuǎn)角，θ2代表機械臂2轉(zhuǎn)角，m1代表機械臂1的質(zhì)量，m2代表機械臂2的質(zhì)量，l1代表機械臂1的長度，l2代表機械臂2的長度，g代表重力加速度。

移動機器人屬于不完整約束，m階不可積分和獨立的速度約束條件[11]如下所示：

(2)

m階約束條件在直角坐標(biāo)系中存在如下關(guān)系式：

(3)

式中：S(q) = [S1(q),…,Sn-m(q)]∈Rn×r，STS為滿秩。

公式(3)具有向量θ′∈Rn-m，滿足以下關(guān)系式：

(4)

將公式(4)求導(dǎo)后代入公式(1)中，同時將等式左邊和右邊乘以ST。由于重力勢能不變，因此G(q)=0，則機器人動力學(xué)模型公式(1)可以簡化如下：

(5)

式中：Mθ=STMS，Cθ=ST(CS+MS′)，F(xiàn)θ=STF(q′)，τθ=STτd和Bθ(q) =STB。

非完整移動機器人在執(zhí)行任務(wù)過程中，運動的期望軌跡都是在指定工作空間內(nèi)。在移動機器人末端安裝執(zhí)行器所需設(shè)計變量為Xm，則末端執(zhí)行器運動方程[12]關(guān)系式如下：

(6)

式中：f(θ)代表移動機器人執(zhí)行器和關(guān)節(jié)非線性轉(zhuǎn)換式。

將公式(6)求導(dǎo)，可以得到移動機器人末端執(zhí)行器的速度表達式如下所示：

(7)

式中：Jm(θ)=?f(θ)/?θ代表雅克比矩陣。

除了對移動機器人末端執(zhí)行器位置定義以外，還需要定義一個運動函數(shù)集[13]，如下所示：

(8)

(9)

式中：J(θ)代表移動機器人位置的雅克比矩陣。由公式(9)可得：

θ′=J-1X′,θ″=J-1X″-J-1J′J-1X′

(10)

將公式(10)代入公式(5)，并將左側(cè)乘以J-T，可以得到工作空間內(nèi)移動機器人的動態(tài)方程：

(11)

式中：Mx=J-TMCJ-1，Cx=J-T(Cθ-MCJ-1J′)J-1，F(xiàn)x=J-TFθ，τx=J-Tτd和Bx(q)=J-TBθ。

根據(jù)非完整移動機器人的工作空間動態(tài)方程，可以推導(dǎo)出如下[14]性質(zhì)：

(1)有界性：工作空間系統(tǒng)慣性矩陣Mx(q)對所有的q和q′是有界的，且滿足以下不等式約束條件[12]：

(12)

式中：λmin(Mx)代表矩陣Mx的最小特征值，λmax(Mx)代表矩陣Mx的最大特征值。

(2)正定性：對于任何的q，系統(tǒng)慣性矩陣M(q)與Mθ是正定的。

(3)對稱性：在工作空間內(nèi)，慣性矩陣和向心力、哥氏力矩陣反對稱關(guān)系式如下所示：

(13)

式中：Mx′代表慣性矩陣對時間導(dǎo)數(shù)。

(14)

式中：ψ∈Rl代表不確定參數(shù)(或未知參數(shù))矢量，Y∈R(n-m)×l代表“回歸量”矩陣。

2 機器人無源控制器設(shè)計

本文主要是研究移動機器人在操作空間內(nèi)機械臂軌跡跟蹤的誤差，移動機器人末端執(zhí)行器能夠按照期望的軌跡控制機械臂的運動。因此，當(dāng)給出期望的運動軌跡Xd(t)，對于任意的(X(0),X(0)′)∈Ω，必然存在X、X′收斂于期望流形Ωd。Ωd關(guān)系表達式[15]如下所示：

(15)

為了能夠充分利用動態(tài)方程，我們假設(shè)條件如下：

(1)假設(shè)期望軌跡是有界和連續(xù)，并且該軌跡具有高階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)。

(2)假設(shè)移動機器人受外部干擾也是有界的。

(3)假設(shè)在移動機器人上安裝了位置和速度測量計。

2.1 無源控制

移動機器人在執(zhí)行任務(wù)空間內(nèi)的任何實際運動軌跡與期望值都會存在一定的誤差。假設(shè)移動機器人期望位移為Xd、速度為Xd′及加速度為Xd″，移動機器人的實際運動位移為X、速度為X′，則軌跡位移和速度跟蹤誤差為：

(16)

移動機器人末端控制器修正的期望速度和加速度為：

(17)

式中：Λ代表正定矩陣。

修正后的軌跡速度誤差定義為：

(18)

移動機器人的控制轉(zhuǎn)矩如下所示：

(19)

式中：K代表正定矩陣。

由公式(11)、(18)、(19)可知，閉環(huán)系統(tǒng)動力學(xué)方程條件如下所示：

(20)

定理1：如果系統(tǒng)的動力學(xué)參數(shù)已知且外部轉(zhuǎn)矩干擾為0(τd(t)=0)，那么公式(20)闡述的閉環(huán)系統(tǒng)的信號是有界的且軌跡跟蹤誤差收斂于0。

證明：由李雅普諾夫候選函數(shù)[14]可知：

(21)

將公式(21)對時間求導(dǎo)可得：

(22)

將公式(20)代入公式(21)可得：

(23)

根據(jù)對稱性質(zhì)(3)可得：

V′=-sTKs≤0

(24)

根據(jù)公式(24)可知，V(t)是遞減和有界的。由閉環(huán)動力學(xué)方程(20)和假設(shè)條件(2)可以推導(dǎo)出s′∈L∞。采用巴爾巴拉引理推導(dǎo)出隨著t→∞，有s→0。

2.2 無源自適應(yīng)控制

移動機器人在執(zhí)行任務(wù)過程中，有可能存在外部轉(zhuǎn)矩干擾(τd≠0)的情況，就有可能導(dǎo)致機器人跟蹤不穩(wěn)定。無源自適應(yīng)控制可以很好的避免外部轉(zhuǎn)矩干擾產(chǎn)生的誤差。假設(shè)外部轉(zhuǎn)矩干擾的估計值為τs，則移動機器人的控制轉(zhuǎn)矩[13-14]如下所示：

(25)

由公式(11)、(18)、(25)可知，閉環(huán)動力學(xué)方程如下所示：

(26)

式中：τp=τs-τd代表外部轉(zhuǎn)矩干擾誤差。

定理2：如果系統(tǒng)動力學(xué)參數(shù)已知，外部轉(zhuǎn)矩干擾不為0(τd(t)≠0)，那么公式(25)中的控制轉(zhuǎn)矩針對外部轉(zhuǎn)矩干擾的自適應(yīng)法則方程式如下所示：

(27)

式中：Kd代表正定矩陣。

公式(26)的閉環(huán)動力學(xué)系統(tǒng)會趨向穩(wěn)定，軌跡跟蹤誤差e和e′隨著t→∞而收斂于0。

3 仿真分析

為了驗證無源自適應(yīng)控制的非完整移動機器人軌跡跟蹤效果，在Matlab/Simulink環(huán)境下對移動機器人軌跡跟蹤誤差進行仿真。仿真參數(shù)設(shè)置如下所示：移動機器人期望跟蹤軌跡為θ1=θ2=0.2cos(πt)，初始條件θ(0)=[0 0]T，控制參數(shù)K=diag{60,60}，Λ=diag{6,6}，干擾參數(shù)τd1=20cos(πt)，τd2=60cos(πt)，機械臂參數(shù)l1=1.24m，l2=0.92m，m1=2.35，m2=1.23kg，g=9.82m/s2，t=4s。在沒有外界干擾作用下，采用無源控制的仿真結(jié)果如圖2所示，采用PID控制仿真結(jié)果如圖3所示。在外界干擾作用下，采用無源控制的仿真結(jié)果如圖4所示，采用PID控制仿真結(jié)果如圖5所示。

圖2 無源控制仿真結(jié)果(無外界干擾)

圖3 PID控制仿真結(jié)果(無外界干擾)

圖4 無源控制仿真結(jié)果(有外界干擾)

圖5 PID控制仿真結(jié)果(有外界干擾)

在無外界干擾作用下，比較圖2和圖3可知，無源控制和PID控制兩種控制方法都能較好的實現(xiàn)移動機器人軌跡跟蹤，但是，采用PID控制輸入力矩波動較大，存在較大的抖動現(xiàn)象，因此，采用無源控制方法較好。在外界干擾作用下，比較圖4和圖5可知，無源控制能較好的實現(xiàn)移動機器人軌跡跟蹤，輸入力矩波動較?。欢鳳ID控制移動機器人軌跡跟蹤誤差較大，同時，采用PID控制輸入力矩波動更大，存在更大的抖動現(xiàn)象。綜合比較，采用無源控制方法能夠很好的完成非完整移動機器人軌跡跟蹤任務(wù)，具有很好的魯棒性。

4 結(jié)束語

針對非完整移動機器人軌跡跟蹤控制問題，在考慮跟蹤容易受到外界干擾的情況下，采取無源控制方法。構(gòu)造了非完整移動機器人模型，在移動機器人末端設(shè)計了控制器，推導(dǎo)了無源控制方程式。對無源控制方程式的有界性、穩(wěn)定性和收斂性采用李雅普諾夫綜合方法進行證明。在Matlab/Simulink環(huán)境下對移動機器人控制器進行跟蹤誤差仿真。仿真結(jié)果表明，無源控制方法不僅能夠在外界干擾情況下完成機器人軌跡精確的跟蹤任務(wù)，而且還能夠削弱機器人的抖動現(xiàn)象。

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(編輯 李秀敏)

Simulation of Trajectory Tracking Error of Nonholonomic Mobile Robot Based on Passive Control

FANG Xiao-ju1,HUANG Yi-qi2

(1.Department of Computer and Electronic Information Engineering,Guangxi Vocational and Technical College,Nanning 530226，China;2.College of Mechanical Engineering,Guangxi University,Nanning 530004,China)

At present,it is easy to shake off the phenomenon of non complete mobile robot in the external disturbance,the robot trajectory tracking error is larger,can not be very good to meet the needs of the implementation of the task.In this paper,passive control theory is used to control the trajectory tracking of nonholonomic mobile robots,and the tracking error is minimized.The robot dynamics model is introduced,and the basic form of the space motion control of the robot is introduced.The passive control theory is introduced,and the passive control actuator is installed at the end of the nonholonomic mobile robot.The mathematical method is used to prove that the closed-loop system has good stability,and the trajectory tracking error is convergent.Combined with concrete examples,non holonomic mobile robot is in passive control conditions,by mathematical software Matlab/Simulink trajectory tracking error simulation and with other trajectory tracking error control methods are compared and analyzed.The simulation results show that the passive control method is adopted in the end effector of the nonholonomic mobile robot,which not only reduces the tracking error,but also the input torque is small.Passive control method is adopted in the end effector of the nonholonomic robot, which has good control precision and weakens the chattering phenomenon.

mobile robot;passive control;tracking error;simulation

1001-2265(2017)06-0041-04

10.13462/j.cnki.mmtamt.2017.06.011

2016-09-20

2016年度廣西高校中青年教師基礎(chǔ)能力提升項目(KY2016LX493)

方小菊(1982—)，女，河南許昌人，廣西職業(yè)技術(shù)學(xué)院講師，碩士，研究方向為機電一體化技術(shù)和機器人技術(shù)，(E-mail)fangxj0771@163.com。

TH166;TG659

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