胡映光，胡 明，劉軍紅

(東北大學(xué) 機(jī)械工程與自動化學(xué)院，沈陽 110819)

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基于混合遺傳算法的3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)正解

胡映光，胡 明，劉軍紅

(東北大學(xué) 機(jī)械工程與自動化學(xué)院，沈陽 110819)

針對傳統(tǒng)的迭代求解方法因初值設(shè)置不當(dāng)而引起的求解失敗以及求解速度慢等問題，提出了一種新型的混合遺傳算法求解并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動學(xué)正解?；旌线z傳算法利用遺傳算法高效的全局搜索能力及起始搜索速度快的特點(diǎn)，能夠快速得到接近精確解的較優(yōu)解，然后將其作為擬牛頓法迭代的初值，利用其局部搜索能力非常好的特點(diǎn)，快速收斂到精確解。通過算例結(jié)果對比表明，此方法容易實(shí)現(xiàn)、通用性強(qiáng)、精度高、收斂性好、求解速度快，解決3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的正解問題是可行的。

3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)；運(yùn)動學(xué)正解；混合遺傳算法；全局搜索

0 引言

3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)是所有并聯(lián)機(jī)構(gòu)中比較典型的結(jié)構(gòu)之一。相比于串聯(lián)機(jī)構(gòu)，并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有剛性大、承載能力強(qiáng)、累積誤差小、進(jìn)給速度高等優(yōu)點(diǎn)，使超高速加工更容易實(shí)現(xiàn)，且加工的零件精度和質(zhì)量都有較大的改進(jìn)。相對于更多運(yùn)動自由度的并聯(lián)機(jī)構(gòu)(如六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu))，3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有結(jié)構(gòu)簡單緊湊、制造成本低、運(yùn)動學(xué)分析簡單、工作空間大、易于控制等優(yōu)點(diǎn)。因此，3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有廣闊的應(yīng)用前景，得到了學(xué)術(shù)界及工業(yè)界的廣泛關(guān)注。

并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置正、逆解分析是其運(yùn)動學(xué)分析的基礎(chǔ)，具有非常重要的研究意義。3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)逆解分析較為容易，可以得到顯式解析表達(dá)式，但其正解的顯示表達(dá)式求解十分困難。因?yàn)榍笳獾碾[式方程組是既包含三個未知數(shù)，又包含三角函數(shù)的非線性方程組。任文博等[1]通過萬能公式替換三角函數(shù)，可以得到16次多項(xiàng)式方程組，共有64組解，但其推導(dǎo)與計(jì)算過程極為困難；Tsai等[2]使用Bezout消元法及優(yōu)化方法來求解3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的正解，但求解速度慢；韓方元等[3]提出一種3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)正解的快速數(shù)值算法，該算法迭代過程中不需要計(jì)算雅可比矩陣及其逆陣，但對機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)具有一定的依賴性，通用性較差；Abbasnejad等[4]使用連續(xù)同倫方法(Homotopy Continuation Method)計(jì)算3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的正解，盡量避免由于初始值設(shè)置不當(dāng)引起的問題，但其通用性差；康件麗等[5]運(yùn)用蒙特卡洛法計(jì)算3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的正解，雖然無需設(shè)置初值，但是因其求解具有隨機(jī)性，需要設(shè)置較大的迭代次數(shù)，造成求解緩慢。

本文提出一種新型的混合遺傳算法來解決3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的正解問題。此算法把遺傳算法全局搜索能力、起始搜索速度快的特點(diǎn)和擬牛頓法局部尋優(yōu)能力強(qiáng)、無需計(jì)算雅可比矩陣及其逆陣的特點(diǎn)有機(jī)結(jié)合，可以快速、高效準(zhǔn)確的解決正解問題。

1 3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)分析

3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)簡圖(如圖1所示)。該機(jī)構(gòu)主要有運(yùn)動平臺、固定平臺及連接兩平臺的三個連桿等組成。其中三個分支與運(yùn)動平臺、固定平臺相連的運(yùn)動副為虎克副，兩個虎克副之間為移動副，三個移動副組成機(jī)構(gòu)的驅(qū)動副。本文中運(yùn)動平臺和固定平臺都是等邊三角形，當(dāng)三個連桿支鏈的長度固定時，可唯一確定運(yùn)動平臺的空間位置姿態(tài)，且可以通過驅(qū)動副的作用實(shí)現(xiàn)連桿長度的變化，改變動平臺的空間姿態(tài)，進(jìn)而完成對零件的加工。

運(yùn)動、固定平臺是兩個不同長度的等邊三角形ΔB1B2B3和ΔP1P2P3。將固定坐標(biāo)系O-XYZ建立于固定平臺上，坐標(biāo)原點(diǎn)O置于等邊三角形B1B2B3的幾何中心上，X軸垂直B1B2，Y軸平行于B1B2，Z軸垂直于等邊三角形B1B2B3向上。運(yùn)動坐標(biāo)系O1-X1Y1Z1建立于動平臺上，坐標(biāo)原點(diǎn)O1置于等邊三角形的P1P2P3幾何中心上，X1軸垂直P1P2，Y1軸平行于P1P2，Z1軸垂直于等邊三角形P1P2P3向上。三條驅(qū)動桿長度分別為R1、R2、R3，ΔB1B2B3邊長為L1，ΔP1P2P3邊長為L2。由于受到虎克鉸及支鏈的約束，主軸運(yùn)動平臺具有3個自由度，即繞X軸、Y軸旋轉(zhuǎn)的自由度，以及沿Z軸垂直移動的自由度。

圖1 3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)簡圖

2 機(jī)構(gòu)正向解運(yùn)動學(xué)分析

根據(jù)3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，可知驅(qū)動桿長等于在固定坐標(biāo)系O-XYZ下的鉸鏈點(diǎn)與對應(yīng)球面副中心的距離，即Ri=BiPi。根據(jù)各點(diǎn)在固定坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，可求得各驅(qū)動桿的長度。經(jīng)過推導(dǎo)和處理，得到關(guān)于機(jī)構(gòu)正解的非線性方程組為：

(1)

式中：cos簡寫為c；sin簡寫為s；

x1為繞Y軸旋轉(zhuǎn)的姿態(tài)角；

x2為繞X軸旋轉(zhuǎn)的姿態(tài)角；

x3為動平臺質(zhì)心沿Z軸方向的坐標(biāo)值。

對于3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)來說，通過純粹的數(shù)學(xué)解析法求解，很難得到顯式的解析表達(dá)式。因此，考慮采用數(shù)值迭代法來求解正解的隱式解析表達(dá)式，并將誤差控制在一定的精度范圍內(nèi)求得正解。但常常會出現(xiàn)初值設(shè)置不當(dāng)而產(chǎn)生求解失敗、求解速度慢、求解精度不高的問題。而混合遺傳算法能很好的解決解決這些問題，它融合了遺傳算法及擬牛頓法的優(yōu)點(diǎn)，而且消除了這兩種算法的弊端。利用遺傳算法快速得到接近精確解的較優(yōu)解，之后將其作為擬牛頓法迭代的初始值,利用其局部尋優(yōu)能力非常強(qiáng)的特點(diǎn)，快速迭代至精確解。

3 混合遺傳算法的正解計(jì)算

3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)正解構(gòu)建的非線性方程組的求解是指在其定義域D內(nèi)找到一組數(shù)能滿足方程組中的每一個方程。

3.1 遺傳算法

遺傳算法是經(jīng)過多次的選擇、交叉、變異、重組的操作對一個被編碼的參數(shù)空間進(jìn)行高效搜尋，從而求得全局最優(yōu)解[6-7]。改造并聯(lián)機(jī)構(gòu)正解所構(gòu)造的非線性方程組為多峰值函數(shù)，利用遺傳算法全局搜索能力等優(yōu)勢，有效的解決了因初值設(shè)置不當(dāng)而求解失敗的問題。遺傳算法的思路是將求解方程組(1)轉(zhuǎn)化為如下優(yōu)化問題：

(2)

其中：F(x1，x2，x3)為適應(yīng)度函數(shù)；fi(x1，x2，x3)為目標(biāo)函數(shù)。

雖然遺傳算法全局搜索能力好且起始搜索速度非?？欤呛笃谒阉魉俣嚷?，為了準(zhǔn)確的取得全局最優(yōu)解，而需設(shè)置較大的種群數(shù)目及迭代次數(shù)，造成求解時間長的問題，不利于解決生產(chǎn)實(shí)踐中的正解問題。

3.2 擬牛頓法

擬牛頓法屬于局部收斂得算法，對初值有嚴(yán)格的要求，當(dāng)遠(yuǎn)離精確解的時候,它是發(fā)散的，而在較接近精確解的時候，它是收斂的，而且越接近精確解其收斂速度越快。擬牛頓法避免求解雅可比矩陣及其逆陣,每次迭代的計(jì)算量少很多，采用擬牛頓法可明顯的提高計(jì)算效率。但是因其對迭代初值有嚴(yán)格的要求,這樣只能應(yīng)用于小范圍收斂,對狀態(tài)多變的復(fù)雜的多剛體非線性系統(tǒng)說，這種單一的算法是無法滿足計(jì)算要求的。當(dāng)求解機(jī)構(gòu)正解時，常會因初值設(shè)置不當(dāng)而造成求解失敗。

3.3 混合遺傳算法

鑒于遺傳算法全局群體搜索、起始搜索速度快和擬牛頓法小范圍收斂快的優(yōu)點(diǎn)，將兩種算法有機(jī)的結(jié)合起來形成新的算法混合遺傳算法，有效的解決了遺傳算法因后期搜索速度慢而求解速度慢和擬牛頓法因初值設(shè)置不當(dāng)而造成求解失敗的問題。因此，先用遺傳算法進(jìn)行n步迭代，直至其收斂結(jié)果滿足預(yù)期要求，進(jìn)入擬牛頓法的收斂域之內(nèi)，然后將遺傳算法迭代較優(yōu)解作為擬牛頓法迭代初值繼續(xù)迭代至全局最優(yōu)解。

混合遺傳算法具體數(shù)值算法如下：

(1)確定種群中個體數(shù)目N，最大遺傳代數(shù)n1,每個種群的長度n2，使用代溝n3等各項(xiàng)參數(shù)；

(2)進(jìn)行遺傳算法迭代出下個群體；

(3)計(jì)算當(dāng)前群體平均適應(yīng)度Mavg,如果Mavg≤M；則結(jié)束遺傳算法迭代，記錄最優(yōu)個體數(shù)值，進(jìn)入擬牛頓法迭代，反之則繼續(xù)(2)步迭代；

(4)將遺傳算法得到的較優(yōu)解作為擬牛頓法的初值，迭代至達(dá)到期望精度的全局最優(yōu)解。

4 算例分析

在編程的算例中，設(shè)定3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)如下：L1=500，L2=400，R1=834.91，R2=1070.6，R3=1119，0≤x1≤1，0≤x2≤1，0≤x3≤1120，控制的精度范圍是esp≤10-6，根據(jù)此參數(shù)來編程求解并聯(lián)機(jī)構(gòu)位置正解。

由Matlab遺傳算法工具箱計(jì)算可得最佳適應(yīng)度變化值和變量值及結(jié)果如圖2所示。

圖2 最佳適應(yīng)度變化值和變量值及結(jié)果

混合遺傳算法的編程中，選擇二進(jìn)制編碼，種群中個體數(shù)目為100，每個種群的長度為25，使用代溝為0.9，最大遺傳代數(shù)為10。遺傳算法的顯示結(jié)果如下：

(1)經(jīng)過10次遺傳迭代的函數(shù)值變化結(jié)果如圖3所示。此時，x1=0.55379，x2=0.88105，x3=1004.2。

圖3 100次迭代后的函數(shù)值變化結(jié)果

(2)經(jīng)過10次遺傳算法迭代，種群目標(biāo)函數(shù)均值的變化和最優(yōu)解的變化如圖4所示。

圖4 10次迭代后種群目標(biāo)函數(shù)均值的變化和最優(yōu)解的變化

(3)經(jīng)過10次迭代后，當(dāng)前群體平均適應(yīng)度達(dá)到要求，則將解帶入擬牛頓算法中去，其迭代結(jié)果如下：

1 0.5215480 0.7747394 1000.4382942

2 0.5245459 0.7901301 999.8216156

3 0.5236339 0.7855283 1000.0036025

4 0.5236271 0.7854966 1000.0049544

5 0.5236271 0.7854964 1000.0049641

6 0.5236271 0.7854964 1000.0049640

從圖2中遺傳算法的迭代結(jié)果圖看出，此方法種群中個體數(shù)目為3000，迭次次數(shù)比較多，造成求解時間長、效率低。從求解結(jié)果來看，精度比較低，達(dá)不到精度的要求。從圖3、圖4中解的變化及種群的變化過程看，正解能很快逼近全局最優(yōu)解，因此可得出此方法全局搜索能力及起始搜索速度快的特點(diǎn)。之后將其作為擬牛頓法迭代的初始值，從最后的迭代數(shù)據(jù)知，其局部尋優(yōu)能力非常強(qiáng)，可以快速迭代至精確解。將所得結(jié)果帶入公式(1)，可得各個桿長的長度，和已知桿長相比較，其最大誤差近似為0.0049mm，經(jīng)過計(jì)算精度可控制在4.9×10-6以內(nèi)，可得迭代精度也能達(dá)到要求。

5 結(jié)束語

本文通過將求解3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)正解的非線性方程組轉(zhuǎn)化成目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)化問題，采用混合遺傳算法進(jìn)行求解，避免初始值的選取不當(dāng)造成求解失敗的問題，且不需要求解雅可比矩陣及其逆陣，計(jì)算過程簡便快捷。采用遺傳算法全局搜索和擬牛頓法局部搜索相結(jié)合的方法，計(jì)算結(jié)果不受局部極小值的影響，而且極大的加快了求解速度。且該方法適用于求解所有并聯(lián)機(jī)構(gòu)正解問題，具有良好的通用性。

[1] 任文博，顏兵兵,殷寶麟,等.3-RPS型并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動正解的研究[J].佳木斯大學(xué)學(xué)報(bào)，2014，32(3):412-414.

[2]TsaiMS，YuanWH.Dynamicmodelinganddecentralizedcontrolofa3-RPSparallelmechanismbasedonconstrainedroboticanalysis[J].JournalofIntelligent&RoboticSystems，2011， 63(3):525-545．

[3] 韓方元，趙丁選，李天宇.3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)正解快速數(shù)值算法[J].農(nóng)業(yè)機(jī)械學(xué)報(bào)，2011， 42(4):229-233.

[4]YangCF,ZhengST,JinJ,etal．Forwardkinematicsanalysisofa3-RPSparallelmanipulator[C]//WorldAcademyofScience，EngineeringandTechnology，2010:1264-1270．

[5] 康件麗，陳國強(qiáng),趙俊偉.3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)正解的數(shù)值方法[J].現(xiàn)代制造工程，2015(2):36-42.

[6] 馬永杰，云文霞.遺傳算法研究進(jìn)展[J].計(jì)算機(jī)應(yīng)用研究，2012，29(4):1201-1206.

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(編輯 李秀敏)

Forward Kinematic for 3-RPS Parallel Mechanism Based on Hybrid Genetic Algorithm

HU Ying-guang,HU Ming,LIU Jun-hong

(School of Mechanical Engineering and Automation,Northeastern University,Shenyang 110819, China)

A new type of hybrid genetic algorithm is proposed to solve the forward kinematic for 3-RPS parallel mechanism due to the failure of the traditional iterative solution and the slow solution. Hybrid Genetic Algorithm (GA), which utilizes the efficient global searching ability and fast initial search speed of genetic algorithm, quickly obtains the optimal solution which is close to the exact solution, and then uses it as the initial value of the quasi-Newton iterative method, and the exact solution is solved by its strong local search ability . The results show that this method is easy to implement, high versatility, high precision and good convergence. It is feasible to solve the forward kinematic for 3-RPS parallel mechanism.

3-RPS parallel mechanism; forward kinematics; hybrid genetic algorithm; global search

1001-2265(2017)06-0034-03

10.13462/j.cnki.mmtamt.2017.06.009

2016-09-05；

2016-10-02

胡映光(1991—)，男，河南濟(jì)源人，東北大學(xué)碩士研究生，研究方向?yàn)椴⒙?lián)機(jī)床方面的研究， (E-mail)805627827@qq.com。

TH165;TG659

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