梁偉光，周文艷，周建亮，楊維廉

（1. 北京航天飛行控制中心，北京 100094；2. 北京空間飛行器總體設(shè)計(jì)部，北京 100094）

地月系L2平動(dòng)點(diǎn)軌道長(zhǎng)期維持過(guò)程研究

梁偉光1,2*，周文艷2，周建亮1，楊維廉2

（1. 北京航天飛行控制中心，北京 100094；2. 北京空間飛行器總體設(shè)計(jì)部，北京 100094）

針對(duì)地月系L2平動(dòng)點(diǎn)附近兩種常用軌道——擬halo軌道和Lissajous軌道，研究了軌道長(zhǎng)期維持過(guò)程。采用穿越xz平面單圈控制的軌道維持策略，控制量通過(guò)單步預(yù)測(cè)法進(jìn)行尋優(yōu)。在全攝動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型下對(duì)擬halo軌道和Lissajous軌道受控維持下的一年飛行過(guò)程分別進(jìn)行了仿真和比較，結(jié)果顯示Lissajous軌道的維持控制代價(jià)優(yōu)于擬halo軌道，從軌道拓?fù)錁?gòu)型保持方面對(duì)該結(jié)果進(jìn)行解釋，并設(shè)計(jì)對(duì)比實(shí)驗(yàn)加以驗(yàn)證。研究結(jié)論對(duì)地月系L2平動(dòng)點(diǎn)軌道選擇、維持控制策略設(shè)計(jì)、長(zhǎng)期飛行效果分析等方面具有工程參考意義。

地月系L2平動(dòng)點(diǎn)；長(zhǎng)期維持；擬halo軌道；Lissajous軌道

0 引 言

地月系L2平動(dòng)點(diǎn)在深空探測(cè)中具有重要的意義，可以作為支持月球背面著陸探測(cè)的中繼衛(wèi)星長(zhǎng)期運(yùn)行軌道，也可以為定點(diǎn)探測(cè)、星際轉(zhuǎn)移、深空星座布局等提供軌道動(dòng)力支持。由于L2平動(dòng)點(diǎn)是三體問題中的不穩(wěn)定平動(dòng)點(diǎn)，位于L2平動(dòng)點(diǎn)附近的軌道往往對(duì)軌道初值十分敏感，而且地月系L2平動(dòng)點(diǎn)附近還存在多種攝動(dòng)因素，因此航天器在地月系L2平動(dòng)點(diǎn)附近飛行時(shí)，容易因軌道的不穩(wěn)定發(fā)散而飛離L2平動(dòng)點(diǎn)，如果要保持長(zhǎng)期穩(wěn)定飛行，則需實(shí)施必要的平動(dòng)點(diǎn)軌道維持控制。

迄今為止，人類共實(shí)現(xiàn)了兩次地月系L2平動(dòng)點(diǎn)飛行任務(wù)，分別為美國(guó)的ARTEMIS任務(wù)和我國(guó)的探月工程三期再入返回飛行試驗(yàn)器服務(wù)艙拓展試驗(yàn)任務(wù)。兩次任務(wù)都實(shí)現(xiàn)了沿Lissajous軌道繞飛地月系L2平動(dòng)點(diǎn)多圈，且均采用了過(guò)xz平面的單圈軌道維持技術(shù)。然而這兩次任務(wù)飛行時(shí)間均較短（分別為129天[1]和38天），Lissajous軌道均未實(shí)現(xiàn)全空間包絡(luò)覆蓋。目前關(guān)于地月系L2平動(dòng)點(diǎn)的軌道維持研究多集中于理想的三體問題模型下進(jìn)行，對(duì)真實(shí)動(dòng)力學(xué)環(huán)境下軌道維持的研究?jī)H針對(duì)ARTEMIS任務(wù)飛行周期內(nèi)的過(guò)程展開[2-4]。

本文對(duì)地月系L2平動(dòng)點(diǎn)附近的擬halo軌道和Lissajous軌道進(jìn)行了長(zhǎng)期飛行方面的研究，設(shè)計(jì)了單步預(yù)測(cè)的單圈控制策略，在考慮三體引力攝動(dòng)的動(dòng)力學(xué)模型下對(duì)兩種軌道進(jìn)行了維持控制下長(zhǎng)期飛行過(guò)程的仿真，對(duì)于呈現(xiàn)出的Lissajous軌道維持控制代價(jià)較小的現(xiàn)象，從拓?fù)錁?gòu)型方面進(jìn)行了分析，并設(shè)計(jì)比對(duì)實(shí)驗(yàn)加以驗(yàn)證。研究結(jié)果對(duì)地月系L2平動(dòng)點(diǎn)軌道設(shè)計(jì)具有工程參考意義。

1 基礎(chǔ)理論

1.1 圓型限制性三體問題

對(duì)于地球–月球–航天器或太陽(yáng)–地球–航天器這類有兩個(gè)大天體和一個(gè)航天器組成的系統(tǒng)，忽略航天器對(duì)天體運(yùn)動(dòng)的影響，稱為限制性三體問題。如果該問題中兩個(gè)大天體繞共同質(zhì)心作圓周運(yùn)動(dòng)，稱為圓型限制性三體問題[5]。

會(huì)合坐標(biāo)系（又稱質(zhì)心旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系）[5-6]是研究三體問題時(shí)普遍采用的坐標(biāo)系。會(huì)合坐標(biāo)系O-xyz的定義為：坐標(biāo)系隨兩個(gè)主天體一起繞質(zhì)心O旋轉(zhuǎn)，xy坐標(biāo)平面為兩個(gè)主天體相對(duì)運(yùn)動(dòng)的平面，x軸方向由大天體指小天體，y軸方向?yàn)樾√祗w繞質(zhì)心旋轉(zhuǎn)的切線方向。

根據(jù)牛頓萬(wàn)有引力定律，航天器在兩個(gè)主天體的引力作用下的運(yùn)動(dòng)方程為

其中，G為萬(wàn)有引力常數(shù)。

為了分析問題和計(jì)算上的方便，對(duì)式（1）中各物理量進(jìn)行無(wú)量綱化和量級(jí)歸一化處理，可以得到會(huì)合坐標(biāo)系中的圓型限制性三體問題動(dòng)力學(xué)模型如下

其中，Ω為等效勢(shì)能函數(shù)

μ為小天體的質(zhì)量占比

1.2 L2平動(dòng)點(diǎn)軌道

三體問題基本方程（2）存在5個(gè)特解，對(duì)應(yīng)的空間中的位置稱為平動(dòng)點(diǎn)，由于這5個(gè)特解最終由拉格朗日發(fā)現(xiàn)，因此平動(dòng)點(diǎn)又被稱為拉格朗日點(diǎn)，用L1～L5表示。其中，L2平動(dòng)點(diǎn)位于大天體至小天體的質(zhì)心連線延長(zhǎng)線上，屬于共線平動(dòng)點(diǎn)，是三體問題中的鞍型不穩(wěn)定平衡點(diǎn)，航天器在L2平動(dòng)點(diǎn)附近飛行時(shí)經(jīng)過(guò)小擾動(dòng)即會(huì)呈近似指數(shù)型遠(yuǎn)離L2平動(dòng)點(diǎn)。

在L2平動(dòng)點(diǎn)附近存在多種類型的周期和擬周期軌道，其中以下三類軌道在研究和應(yīng)用方面較為廣泛[7]：

1）halo軌道。當(dāng)會(huì)合坐標(biāo)系下軌道平面（xy平面）振動(dòng)頻率與垂直（z向）振動(dòng)頻率相等時(shí)，第三體環(huán)繞平動(dòng)點(diǎn)的軌道呈單圈閉合形式，稱為halo軌道，又稱暈軌道。halo軌道是周期軌道。由于實(shí)際情況很難滿足“平面振動(dòng)頻率與垂直振動(dòng)頻率相等”，因此halo軌道通常僅作為理論軌道加以分析。

2）Lissajous軌道。當(dāng)會(huì)合坐標(biāo)系下軌道平面振動(dòng)頻率與垂直振動(dòng)頻率不相等時(shí)，第三體環(huán)繞平動(dòng)點(diǎn)的軌道在會(huì)合坐標(biāo)系下呈Lissajous曲線的形式，稱為L(zhǎng)issajous軌道。平動(dòng)點(diǎn)環(huán)繞軌道中Lissajous軌道占多數(shù)。

3）擬halo軌道。擬halo軌道為一類特殊形式的Lissajous軌道，這類軌道在halo軌道附近，其偏離halo軌道面的振動(dòng)幅值較小。擬halo軌道是一種擬周期軌道，即沒有嚴(yán)格的周期性，但在特定的偏差允許范圍內(nèi)，表現(xiàn)出近似的周期性。

現(xiàn)實(shí)三體系統(tǒng)由于受到多種攝動(dòng)影響，不存在嚴(yán)格周期性的理想halo軌道，但是halo軌道所具有的單圈周期性、軌道近似共面、解析近似形式簡(jiǎn)單、動(dòng)力學(xué)特性明顯等良好特征，使得尋找與halo軌道近似的擬halo軌道往往成為平動(dòng)點(diǎn)任務(wù)的現(xiàn)實(shí)需求。

2 地月系L2平動(dòng)點(diǎn)軌道維持

本文針對(duì)航天器在地月系L2平動(dòng)點(diǎn)附近長(zhǎng)期飛行的情況，對(duì)地月L2平動(dòng)點(diǎn)的擬halo軌道和Lissajous軌道長(zhǎng)期位置保持過(guò)程進(jìn)行了設(shè)計(jì)與仿真分析。

2.1 軌道維持方法

式（2）中的等效勢(shì)能Ω是三體問題下軌道能量的體現(xiàn)，即無(wú)動(dòng)力飛行過(guò)程中具有相同的Ω。軌道控制過(guò)程實(shí)質(zhì)上是通過(guò)動(dòng)力推進(jìn)改變?chǔ)?。因此，在軌道飛行過(guò)程中的任意位置變軌，只需調(diào)整Ω相同，便會(huì)取得動(dòng)力學(xué)特性相一致的平動(dòng)點(diǎn)軌道。

基于等效勢(shì)能調(diào)整的概念，穿越會(huì)合坐標(biāo)系xz平面修正具有調(diào)整參數(shù)較少的特點(diǎn)[8]。因此，在對(duì)平動(dòng)點(diǎn)繞飛軌道實(shí)施位置保持控制時(shí)可采用以下控制策略：

1）調(diào)整x和z向速度接近于零。

2）調(diào)整y向速度使繞飛持續(xù)。

由于針對(duì)halo軌道的保持控制通常選取穿越xz平面附近進(jìn)行，而以Lissajous軌道為代表的擬周期軌道未有具體的控制位置限定。參考國(guó)內(nèi)外已實(shí)施的平動(dòng)點(diǎn)任務(wù)的軌道維持策略[2,9]，同時(shí)為便于研究中的統(tǒng)一比較和分析，本課題將Lissajous軌道的控制時(shí)刻也選為穿越xz平面。

盡管控制時(shí)機(jī)以每半圈穿越xz平面為單位，但在數(shù)值仿真和實(shí)際任務(wù)中，保持連續(xù)繞飛一圈以上的平動(dòng)點(diǎn)軌道對(duì)初值的要求并不苛刻。以地月系和日地系為例，位置測(cè)量精度為1 km，控制速度量標(biāo)定精度為1%時(shí)，即可實(shí)現(xiàn)繞飛平動(dòng)點(diǎn)2圈。因此，平動(dòng)點(diǎn)軌道位置控制可以以半圈為單位，進(jìn)行每圈一控，或每?jī)扇σ豢亍?/p>

圓型限制性三體模型下的數(shù)值計(jì)算效果，在初值選取合適時(shí)可以實(shí)現(xiàn)多圈繞飛，之后的軌道保持控制的速度增量相比存在攝動(dòng)時(shí)明顯降低（1/10以下）。然而圓型限制性三體問題并非真實(shí)環(huán)境，且共線平動(dòng)點(diǎn)的不穩(wěn)定性對(duì)繞飛軌道控制效果影響很大。因此，我們對(duì)繞飛軌道控制過(guò)程的實(shí)現(xiàn)與討論主要在更加精確的深空動(dòng)力學(xué)環(huán)境下進(jìn)行。

由于地月L2平動(dòng)點(diǎn)附近的鞍型不穩(wěn)定性，平動(dòng)點(diǎn)軌道保持控制對(duì)初值和控制精度影響非常敏感，經(jīng)過(guò)多次實(shí)驗(yàn)，我們發(fā)現(xiàn)，在實(shí)際工程約束下，針對(duì)平動(dòng)軌道的單圈控制過(guò)程，第n圈（n≥1）的控制殘差，對(duì)第n + 1圈的控制量影響較明顯，而對(duì)第n + 2圈的控制量大多超出控制量閾值，即兩步及多步后的預(yù)測(cè)控制量不適合。因此，可以僅選用單步預(yù)測(cè)的控制量作為指標(biāo)函數(shù)，以單步預(yù)測(cè)控制量最小為目標(biāo)，對(duì)每圈的控制量進(jìn)行優(yōu)化選擇。單步預(yù)測(cè)優(yōu)化控制過(guò)程如圖 1所示。

圖 1 單步預(yù)測(cè)控制流程圖Fig. 1 Single step prediction control flow chart

2.2 擬halo軌道長(zhǎng)期飛行

halo軌道初值通過(guò)三階近似解析式[10]算得，利用數(shù)值積分計(jì)算繞飛過(guò)程。在此基礎(chǔ)上采用多數(shù)平動(dòng)點(diǎn)繞飛任務(wù)單圈控制的策略，模擬了halo軌道單圈控制效果。選取了地月系全弧段規(guī)避月掩[11]最小halo軌道。考慮地月系中太陽(yáng)引力作為重要攝動(dòng)源，而地月系相對(duì)太陽(yáng)的運(yùn)行周期以年為單位，做了飛行1年的長(zhǎng)期halo軌道保持控制效果的仿真，受控繞飛過(guò)程如圖 2所示，控制參數(shù)如表 1所示。

圖 2 長(zhǎng)期飛行擬halo軌道Fig. 2 Long term quasi-halo orbit

通過(guò)受控?cái)Mhalo軌道長(zhǎng)期飛行的仿真效果可以看出：

1）單圈控制方法可以實(shí)現(xiàn)航天器沿?cái)Mhalo軌道長(zhǎng)期繞飛L2平動(dòng)點(diǎn)。

2）在長(zhǎng)期飛行過(guò)程中，飛行時(shí)長(zhǎng)和速度增量均變化平穩(wěn)。

3）軌道構(gòu)型的發(fā)散程度不隨時(shí)間增加而增加，因而可以實(shí)現(xiàn)長(zhǎng)期保持。

表 1 擬halo軌道保持控制參數(shù)Table 1 Quasi-halo orbit station keeping control parameters

2.3 Lissajous軌道長(zhǎng)期飛行

選用探月工程三期再入返回飛行試驗(yàn)器服務(wù)艙繞飛地月系L2平動(dòng)點(diǎn)的Lissajous軌道作為初始軌道，對(duì)受控的Lissajous軌道1年的繞飛過(guò)程進(jìn)行仿真，如圖 3所示，相應(yīng)的控制參數(shù)如表 2所示。

圖 3 長(zhǎng)期飛行Lissajous軌道Fig. 3 Long term Lissajous orbit

表 2 Lissajous軌道保持控制參數(shù)Table 2 Lissajous orbit station keeping control parameters

通過(guò)受控Lissajous軌道長(zhǎng)期飛行的仿真效果可以看出：

1）穿越xz平面的單圈控制方法可以實(shí)現(xiàn)航天器沿Lissajous軌道長(zhǎng)期繞飛L2平動(dòng)點(diǎn)。

2）在長(zhǎng)期飛行過(guò)程中，單圈飛行時(shí)長(zhǎng)和維持控制速度增量均變化平穩(wěn)。

3）Lissajous軌道拓?fù)錁?gòu)型演化程度穩(wěn)定，可以實(shí)現(xiàn)長(zhǎng)期保持。

2.4 維持控制代價(jià)分析

上述兩種軌道（圖 2～3）的構(gòu)型在L2平動(dòng)點(diǎn)附近的范圍相似（圖 4），從等效勢(shì)能梯度矢量場(chǎng)[5]可知兩種軌道的等效勢(shì)能Ω也相近。因此，兩種軌道具有可比性。

由表 1和表 2的單次維持控制效果和統(tǒng)計(jì)結(jié)果可以看出：Lissajous軌道的維持控制代價(jià)優(yōu)于擬halo軌道。對(duì)于此差別，可以有如下解釋：

1）擬halo軌道因有較為嚴(yán)格的拓?fù)錁?gòu)型，軌道維持時(shí)對(duì)軌道保持的精度較高。在仿真精度難以達(dá)到嚴(yán)格的位置保持精度時(shí)，控后軌道構(gòu)型較標(biāo)稱軌道有所偏離，積累到后續(xù)的軌道維持控制時(shí)，需要消耗較大的控制量以將軌道調(diào)整回?cái)Mhalo軌道，從而保持長(zhǎng)期飛行。

圖 4 平動(dòng)點(diǎn)軌道特征Fig. 4 Libration point orbits characteristics

2）Lissajous軌道的拓?fù)錁?gòu)型相較擬halo軌道更為寬松，僅需平面振動(dòng)頻率和垂直振動(dòng)頻率不相等即可。軌道維持控制后即使有所偏離，也位于地月系L2平動(dòng)點(diǎn)附近，且有可能會(huì)進(jìn)入其他的Lissajous軌道[12]，這種差別相對(duì)細(xì)微，在長(zhǎng)期飛行中難以從軌道構(gòu)型中體現(xiàn)。因此，對(duì)控制量的約束相比擬halo軌道較?。ㄖ恍栝L(zhǎng)期維持在L2平動(dòng)點(diǎn)附近即可），于是可以在保證長(zhǎng)期飛行的情況下對(duì)控制量進(jìn)行更好的選優(yōu)，以實(shí)現(xiàn)全程控制量較小。

為了驗(yàn)證Lissajous軌道長(zhǎng)期飛行期間可以改變構(gòu)型的情況，選用圖 3相同的初軌，在飛行中期對(duì)控制量作了微調(diào)，軌道效果如圖 5所示。為了顯示軌道構(gòu)型改變效果，3D視圖選取了接近月球的視角。可以看出飛行軌道出現(xiàn)了兩種Lissajous構(gòu)型之間的過(guò)渡，且仍能保持在L2平動(dòng)點(diǎn)附近長(zhǎng)期飛行。于是上述關(guān)于Lissajous軌道控制量約束相對(duì)較小的分析結(jié)論得以驗(yàn)證。

圖 5 中途調(diào)整控制量的Lissajous軌道Fig. 5 Lissajous orbtit with control value tuning halfway

3 結(jié)束語(yǔ)

本文研究了地月系L2平動(dòng)點(diǎn)附近的兩種平動(dòng)點(diǎn)軌道——擬halo軌道和Lissajous軌道。通過(guò)軌道維持進(jìn)行長(zhǎng)期飛行的過(guò)程，在單圈軌道維持控制實(shí)現(xiàn)長(zhǎng)期飛行的基礎(chǔ)上，通過(guò)仿真得出了Lissajous軌道的維持控制代價(jià)優(yōu)于擬halo軌道的結(jié)果，并通過(guò)軌道構(gòu)型分析和對(duì)比實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了解釋。

后續(xù)還將對(duì)其他類型的平動(dòng)點(diǎn)軌道（如Lyapunov軌道、軸向軌道、垂直軌道等）的長(zhǎng)期維持過(guò)程進(jìn)行全面研究，并將研究引入位置速度誤差情況下的長(zhǎng)期維持效果。

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Earth-Moon L2 Libation Point Orbit Long Term Station Keeping

LIANG Weiguang1,2*，ZHOU Wenyan2，ZHOU Jianliang1，YANG Weilian2
（1. Beijing Aerospace Control Center，Beijing 100094，China；2. Beijing Institute of Spacecraft System Engineering，Beijing 100094，China）

Earth-Moon L2 libration point is unstable. The necessary orbit station keeping operations are required for spacecraft in order to maintain around Earth-Moon L2 libration point for a long time. Long term station keeping operations fortwo types of orbits, quasi-Halo orbit and Lissajous orbit, are studied. Control once per cycle when crossing the xz plane is used as the control strategy. Control values are chosen by single step prediction. One year trajectories of quasi-Halo orbit and Lissajous orbit with station keeping are simulated in the real celestial mechanics model respectively. Comparison of simulation results shows that the cost of station keeping for Lissajous orbit is lower than that of the quasi-Halo orbit. This can be explained from orbit topological configuration. Corresponding contrast experiment is designed to verify the inference. Research results have engineering reference for Earth-Moon L2 libration point selection, station keeping control strategy design, long term trajectory and effect analysis.

Earth-Moon L2 libration point；long term station keeping；quasi-halo orbit；Lissajous orbit

V412.4+1，V448.232

A

2095-7777（2017）02-0166-05

10.15982/j.issn.2095-7777.2017.02.010

梁偉光（1982– ），男，工程師，主要研究方向：三體問題，平動(dòng)點(diǎn)軌道，深空低能轉(zhuǎn)移。

[責(zé)任編輯：高莎，英文審校：朱魯青]

梁偉光，周文艷，周建亮，等. 地月系L2平動(dòng)點(diǎn)軌道長(zhǎng)期維持過(guò)程研究[J]. 深空探測(cè)學(xué)報(bào)，2017，4（2）：166-170.

Reference format: Liang W G，Zhou W Y，Zhou J L，et al. Earth-Moon L2 libation point orbit long term station keeping [J]. Journal of Deep Space Exploration，2017，4（2）：166-170.

2015-11-10

2015-12-08