朱政帆，高揚

（1. 中國科學院 光電研究院，北京 100094；2. 中國科學院 空間應用工程與技術中心，北京 100094）

空間小推力軌道最優(yōu)Bang-Bang控制的兩類延拓解法綜述

朱政帆1，高揚2*

（1. 中國科學院 光電研究院，北京 100094；2. 中國科學院 空間應用工程與技術中心，北京 100094）

介紹了空間小推力軌道優(yōu)化問題中的最優(yōu)Bang-Bang控制問題，對兩類延拓解法給出了描述：第一類解法首先求解能量最優(yōu)解，然后采用能量–燃耗同倫得到最優(yōu)Bang-Bang控制；第二類解法引入推力開關切換準則，以雙脈沖解作為初解，通過參數(shù)延拓得到最優(yōu)Bang-Bang控制。對兩類延拓解法進行了比較，指出了各自的優(yōu)勢與特點。對延拓方法應用于求解更加復雜的小推力軌道設計問題進行了展望，提出了包含初解、延拓與拼接三要素的人工智能軌道優(yōu)化概念。

小推力軌道；數(shù)值優(yōu)化；Bang-Bang控制；同倫延拓；人工智能

0 引 言

隨著空間電推進技術應用于航天器軌道機動，小推力軌道優(yōu)化問題成為航天飛行動力學研究的一個重要方向[1-2]。對于任意的航天器變軌方案，燃料消耗始終是一個核心指標。此外，小推力控制從最初的地面優(yōu)化設計，發(fā)展到目前所需的星載自主控制律，不斷追求自主性、穩(wěn)定性、最優(yōu)性等基本性能指標。雖然小推力空間軌道設計問題越來越復雜，但均可認為復雜軌道由若干小推力轉移軌道段拼接而成，而每一個小推力轉移軌道段的優(yōu)化設計問題可以描述如下：給定初始與末端軌道狀態(tài)以及轉移時間，求解燃耗最省轉移軌道的最優(yōu)控制策略。考慮小推力發(fā)動機推力幅值受限的情況，利用最優(yōu)控制理論可以推導出推力控制的最優(yōu)性一階必要條件，其中Bang-Bang控制是必要條件之一，即推力幅值或取最大值或為零[3]。Bang-Bang控制在開關切換時刻推力幅值不連續(xù)，而且事先并不知道推進段數(shù)目，也不知曉開關時刻，故求解Bang-Bang控制是小推力轉移軌道優(yōu)化問題的主要難點。

在過去的20年，小推力軌道優(yōu)化設計方法研究可謂百花齊放、百家爭鳴，總結起來主要可以分為間接法、直接法和混合法。間接法利用龐特里亞金極小值原理引入?yún)f(xié)態(tài)變量微分方程，推導出最優(yōu)性必要條件（包括決定推力幅值的開關函數(shù)），將軌道優(yōu)化問題轉化為非線性常微分方程的邊值問題，滿足邊值約束的解即為最優(yōu)解，無需對指標函數(shù)（如燃耗最省等）直接尋優(yōu)。直接法的主要思想是將軌道狀態(tài)和推力控制變量離散化，狀態(tài)和控制變量的時間函數(shù)通過若干離散節(jié)點的插值得到，直接法將最優(yōu)控制問題轉化為標準的非線性參數(shù)優(yōu)化問題，通過迭代離散點的值使得目標函數(shù)最優(yōu)并且滿足約束條件，目前已有較為成熟的軟件包求解此類問題[4-7]?；旌戏ǎㄩg接法與直接法的混合）的基本思路與直接法相似，也是將最優(yōu)控制問題最終轉化為參數(shù)優(yōu)化問題，也可以利用較為成熟的軟件包求解?；旌戏ɡ脜f(xié)態(tài)變量微分方程以及求解最優(yōu)控制的解析形式或近似解析形式，避免將連續(xù)時間控制變量完全離散化。關于優(yōu)化方法的綜述文章可參見文獻[8~11]，然而并沒有哪一種方法能夠完美地解決所有問題。間接法中協(xié)態(tài)變量沒有物理意義且相對于邊值約束非常敏感，協(xié)態(tài)變量初值猜測很難給定，從而難以收斂到最優(yōu)解；直接法不采用協(xié)態(tài)變量方程，參數(shù)優(yōu)化問題較容易收斂到可行解，但其最優(yōu)性一般難以保證；混合法則介于間接法與直接法之間，協(xié)態(tài)變量初值迭代收斂性優(yōu)于間接法，解的最優(yōu)性優(yōu)于直接法。采用直接法或混合法，雖然均可設法得到Bang-Bang控制方案，但一般均不滿足最優(yōu)性必要條件。

迄今為止，求解最優(yōu)Bang-Bang控制的方法主要是延拓方法（也稱為同倫方法、平滑方法等）。延拓方法利用相關參數(shù)構造出簡單問題與復雜問題的聯(lián)系，首先設法求解簡單問題，然后通過對參數(shù)逐步改進最終得到復雜問題的解。求解最優(yōu)Bang-Bang控制被認為是復雜問題，因此簡單問題和延拓參數(shù)成為延拓方法的兩個主要因素。本文以二體模型下轉移軌道為例介紹兩類延拓方法。第1節(jié)簡要介紹小推力軌道優(yōu)化問題，并對Bang-Bang控制求解方法進行評述；第2、3節(jié)分別描述兩類延拓方法；第4節(jié)對比兩類解法，指出各自的優(yōu)勢與特點；第5節(jié)描述延拓方法的應用展望；第6節(jié)探討人工智能軌道優(yōu)化；第7節(jié)為本文總結。

1 小推力軌道優(yōu)化問題與Bang- Bang控制求解方法

在單一引力場中（例如以太陽或者地球為中心）且不考慮攝動影響，航天器動力學方程如下其中：r為的航天器的位移矢量，v為航天器的速度矢量；μ為中心天體引力常數(shù)；F為推力幅值；m為航天器質(zhì)量；α為推力方向；ge為地球水平面重力加速度（ge=9.806 65 m/s2）；Isp為比沖。對于小推力軌道，推力幅值F存在最大值，即0 6 F 6 Fmax。對于脈沖轉移軌道，近似認為推力F無窮大，即航天器在發(fā)動機開啟瞬時獲得一個速度增量，實現(xiàn)軌道轉移，其作用時間可以忽略不計。

航天器轉移軌道的最優(yōu)控制問題可以描述如下：給定航天器在初始時刻t0的軌道狀態(tài)[r0,v0]和質(zhì)量m0，要求航天器在末端時刻tf轉移至目標軌道狀態(tài)[rf,vf]，尋找最優(yōu)推力方向和大小，在保證約束的條件下使燃料消耗最少，性能指標可以表示為

已知航天器初始軌道狀態(tài)[r0,v0]，可通過微分方程（1）和（2）積分求得末端時刻的位置矢量r(tf)和速度矢量v(tf)，末端約束條件為

依據(jù)最優(yōu)控制理論[3]，可以構造系統(tǒng)的哈密爾頓函數(shù)

其中：λr為位置矢量r對應的協(xié)態(tài)變量；λv為速度矢量v對應的協(xié)態(tài)變量；λm為質(zhì)量m對應的協(xié)態(tài)變量。協(xié)態(tài)變量的微分方程為

由于末端質(zhì)量m(tf)并無約束，并且性能指標與之相關，協(xié)態(tài)變量λm在末端時刻tf的值為

依據(jù)龐特里亞金極小值原理[12]，最優(yōu)推力方向α?應滿足?H/?α?=0，并且對于任意推力方向均滿足∥α∥=1，可推導出最優(yōu)推力方向

由于哈密爾頓函數(shù)與推力幅值F為線性關系，可推導出最優(yōu)推力幅值應滿足Bang-Bang控制

其中S為Bang-Bang控制的開關函數(shù)，暫不考慮S = 0的奇異情況。最終，最優(yōu)控制問題轉化為如表 1所示的常微分方程兩點邊值問題，式（11）～（13）為推力控制取得最優(yōu)解的必要條件。由于初始時刻的協(xié)態(tài)變量（λr(t0)、λv(t0)、λm(t0)）需要進行初值猜測，并且轉移軌道的推力開關序列無法事先給出，該兩點邊值問題的求解顯得非常困難。

表 1 燃耗最優(yōu)小推力轉移軌道的兩點邊值問題Table 1 Two-point boundary value problem of fuel-optimal low-thrust transfer trajectory

為了求解滿足最優(yōu)性必要條件的小推力轉移軌道，可以首先預設開關序列，然后驗證求解的小推力轉移軌道是否滿足必要條件。若不滿足必要條件，則需要對開關序列進行調(diào)整，并且對調(diào)整后的結果再次驗證，直到求解的轉移軌道滿足最優(yōu)性必要條件為止[13-17]。Fowler[18]等求得至多有一個滑行段的Bang-Bang控制軌道。Dixon[14]提出了一種改進開關序列的方法。Bartholomew-Biggs[16]等首先求解全程推進的小推力軌道，然后依據(jù)開關函數(shù)不斷增加滑行段，求解出“開–關–開”和“開–關–開–關–開”序列的Bang-Bang控制（其中“開”表示推進段，“關”表示滑行段）。Chuang等通過增加飛行時間，由少數(shù)推進段的轉移軌道求得更多推進段的轉移軌道，算例中實現(xiàn)了由兩個推進段增加到三個推進段的轉變[19-20]。這些算法總體而言需要更多人為參與，因而計算效率不高，目前都未成為通用方法。

另一種方法是經(jīng)過分析轉移軌道設計需求后設定開關序列并進行求解，不對優(yōu)化結果進行開關函數(shù)等必要條件的驗證。Redding[21-22]設計轉移至太陽同步軌道的飛行軌跡時，只在近地點和遠地點附近設計推進段。Gao[23]基于對軌道段和推力方向?qū)壍栏鶖?shù)改變效率的分析預設了一個軌道周期內(nèi)的開關序列規(guī)律，用于求解多圈轉移軌道，Zuiani[24]應用類似方法實現(xiàn)了Bang-Bang控制軌道求解。Goodson[19,25]等提出將多段小推力軌道拼接起來形成具有大量開關序列的轉移軌道。此類方法可以快速求解有較多開關切換的轉移軌道，但無法保證該解滿足最優(yōu)性必要條件。

在傳統(tǒng)的直接法、混合法中，將推力幅值時間函數(shù)離散化，即可通過直接優(yōu)化得到推力幅值變化曲線。由于推力幅值的變化是有梯度的，無法得到開關瞬時切換，即難以直接形成理想的Bang-Bang控制，需要經(jīng)過后續(xù)的分段處理。利用直接法、混合法求解Bang-Bang控制可參考文獻[26~35]。另一方面，開關函數(shù)的最優(yōu)性必要條件一般不在直接法或混合法中設定，從而在很大程度上降低了協(xié)態(tài)變量敏感性。因此，傳統(tǒng)的直接法或混合法失去了基于必要條件判斷最優(yōu)性的依據(jù)，即使它們可以更加高效地得到可行解。

延拓方法是目前求解最優(yōu)Bang-Bang控制的有效方法，而且越來越廣泛地被用于小推力轉移軌道設計。本文中，我們將已有的延拓方法分為兩類：能量–燃耗同倫方法和開關序列切換延拓方法。能量–燃耗同倫方法是指首先求解滿足約束的能量最優(yōu)轉移軌道，然后通過對性能指標的延拓最終求解燃耗最優(yōu)轉移軌道。開關序列切換延拓方法是指從一個滿足Bang-Bang控制必要條件的燃耗最優(yōu)解出發(fā)，通過參數(shù)延拓直接求解另一個滿足Bang-Bang控制必要條件的燃耗最優(yōu)解，并且在延拓過程中依據(jù)開關函數(shù)變化切換開關序列。第2、3節(jié)將詳細介紹這兩種延拓方法。

2 第一類解法：能量–燃耗同倫方法

求解燃耗最優(yōu)的小推力軌道之所以困難，原因在于最優(yōu)控制對應的推力幅值變化不連續(xù)（Bang-Bang控制形式），難以直接得到最優(yōu)的開關序列。與燃耗最優(yōu)轉移軌道不同，能量最優(yōu)轉移軌道對應的推力幅值隨時間變化連續(xù)可導，相較于Bang-Bang控制被認為較容易求解的一個主要依據(jù)?；谘油胤椒ǖ乃枷耄梢韵惹蠼夂唵蔚哪芰孔顑?yōu)轉移軌道，然后通過延拓轉移時間、推力幅值、引力系數(shù)、約束條件等求得復雜的能量最優(yōu)轉移軌道，最后對性能指標進行延拓（能量–燃耗同倫過程）求解最優(yōu)Bang-Bang控制。Bertrand[36]利用能量–燃料同倫方法求解了最優(yōu)Bang-Bang控制問題。Haberkron[37]應用始端軌道根數(shù)延拓求得能量最優(yōu)軌道，而后應用性能指標延拓得到最小燃耗轉移軌道。Gergaud[38]對文獻[37]中的方法進行了更為嚴密的論證，并且提出在轉移時間沒有限制的條件下不斷增加轉移圈數(shù)，Bang-Bang控制小推力軌道最終接近于脈沖轉移軌道[39]。Martinon[40]提出在此同倫方法的積分中加入開關檢測，提高了打靶法的計算效率，并且求解出具有大量開關切換的小推力軌道。

能量最優(yōu)轉移軌道的性能指標一般定義為

其中u=F/Fmax，u∈[0,1]。此時最優(yōu)控制對應的推力幅值隨時間變化連續(xù)可導，各優(yōu)化算法更容易處理此類問題，求解出滿足約束的小推力轉移軌道。為了求解燃耗最優(yōu)轉移軌道，可以將性能指標式（4）等價轉化為

并且通過延拓參數(shù)ε構造新的性能指標

其中ε∈[0,1]。當ε = 1時，性能指標式（16）為能量最優(yōu)形式；當ε = 0時，性能指標式為燃耗最優(yōu)形式。性能指標中乘以常數(shù)并不改變最終尋優(yōu)結果。

由于構造了新的性能指標式（16），對應的哈密爾頓函數(shù)為

可以推導出最優(yōu)推力幅值滿足

其中：ρ為能量–燃耗同倫過程的開關函數(shù)。在能量–燃耗同倫過程中，初始時刻的狀態(tài)量[r0,v0,m0]和協(xié)態(tài)變量[λr(t0),λv(t0),λm(t0)]通過式（1）～（3）、式（7）～（9）積分，在積分過程中實時檢測開關函數(shù)ρ的值，并且依據(jù)式（18）設定推力幅值，采用優(yōu)化算法（例如打靶法）滿足末端時刻約束條件式（5）和式（10）。將能量最優(yōu)小推力轉移軌道作為延拓過程的初始解（ε = 1），逐步減小延拓參數(shù)ε進行迭代優(yōu)化，將上一次優(yōu)化結果作為下一次優(yōu)化的初值，最終求得燃耗最優(yōu)的小推力轉移軌道。從能量最優(yōu)延拓至燃耗最優(yōu)的過程中，由于數(shù)值積分過程內(nèi)嵌了開關檢測，保證了最終的Bang-Bang控制滿足一階必要條件。圖 1為能量–燃耗同倫方法延拓過程中推力幅值的變化示意圖，當ε = 1時推力幅值隨時間變化為一條連續(xù)可導的曲線，隨著延拓系數(shù)ε不斷增加，推力幅值不斷接近Bang-Bang控制形式；當ε = 0時推力幅值為標準的Bang-Bang控制形式。

圖 1 能量–燃耗同倫方法延拓過程推力幅值變化示意圖Fig. 1 Schematic diagram of thrust-amplitude variation in the continuation process of energy-fuel homotopy

自2008年以來，能量–燃料同倫方法得到了廣泛的應用[41-57]。Petukhov提出了末端條件延拓和引力常數(shù)延拓兩種延拓方法求解能量最優(yōu)軌道的方法[41]，而后通過在開關函數(shù)中構造延拓變量的方法得出燃耗最優(yōu)軌道[42]。Caillau[43-44]利用能量–燃料同倫法求解圓形限制性三體模型下的最優(yōu)Bang-Bang控制轉移軌道。Olympio[45]、Guo等[46-47]和Jiang等[48]采用能量–燃料同倫方法的同時，考慮了引力輔助的情況。Li等[49]實現(xiàn)了相對運動模型下的燃耗最優(yōu)的Bang-Bang控制軌道求解，并給出了相對運動模型下能量最優(yōu)轉移軌道的協(xié)態(tài)變量近似解析形式。Tarzi等[50]將延拓方法與軌道平均技術相結合，先用延拓方法求解協(xié)態(tài)變量初值，然后通過能量–燃料同倫方法求得多圈轉移軌道，同時考慮了太陽光壓、地影、近地點等約束。Zhang[51]采用能量–燃耗同倫求解“日–地–月–航天器”四體模型下的小推力軌道。Chen等[52]也通過能量–燃料同倫法設計出通過兩次火星借力轉移至主帶小行星的轉移軌跡。Zhang等[53]考慮了能量約束和太陽能帆板效率下降情況下燃耗最優(yōu)轉移軌道。Zhang等[54-55]在限制性三體模型下先通過推力幅值延拓求解出能量最優(yōu)轉移軌道，再通過延拓性能指標求得上百圈的燃耗最優(yōu)轉移軌道。陸毅[56]在第5屆全國空間軌道設計競賽中實現(xiàn)了載人小行星探測的Bang-Bang控制軌道設計。黃岸毅[57]等人在全局軌跡優(yōu)化競賽中采用此方法完成了連續(xù)交會小行星的任務設計。雖然能量最優(yōu)轉移軌道收斂域更大，但對于推力取常值的問題，能量最優(yōu)解只是一個中間解，推力幅值隨時間變化，無法成為常值推力轉移軌道的可行解。

3 第二類解法：開關序列切換延拓方法

開關序列切換延拓方法是基于混合法提出的一種參數(shù)延拓方法，主要為了彌補原方法中預先猜測開關序列的不足（預先猜測的開關序列可能不是最優(yōu)方案）。該方法源于通過推力幅值延拓求解滿足Bang-Bang控制的小推力軌道[58]。對于第2節(jié)中的兩點邊值問題，存在一條燃耗最優(yōu)全程推進的最小推力軌道（F = Fmin），推力方向滿足式（11），開關函數(shù)滿足S ≤ 0。當推力幅值增加時（F>Fmin），轉移軌道出現(xiàn)滑行段，可以求得滿足Bang-Bang控制的小推力軌道。當推力幅值繼續(xù)增加至F→+∞時，推進段時間可以忽略不計進而采用脈沖代替，此時開關函數(shù)滿足S ≥ 0，并且僅在脈沖時刻有S = 0。圖 2為不同推力幅值對應的開關函數(shù)曲線示意圖。受到圖 2的啟發(fā)，滿足Bang-Bang控制的小推力軌道可以通過全程推進的最小推力軌道延拓推力幅值求解。

圖 2 不同推力幅值開關函數(shù)示意圖Fig. 2 Schematic diagram of switching function with respect to different thrust amplitude

為了求解最小推力轉移軌道，首先以蘭伯特算法[60]求解的兩脈沖轉移軌道作為兩點邊值問題的初值，然后優(yōu)化求解具有“開–關–開”序列的小推力軌道。隨著推力幅值不斷降低，推進時間不斷增加，可以求解出全程推進的最小推力軌道（F=Fmin）。這一延拓步驟得到的最小推力轉移軌道無需為協(xié)態(tài)變量提供初值[63]。Shen在文獻[64~66]中分別給出了二體模型和三體模型下脈沖轉移軌道的初值猜測方法，但文獻中初值猜測方法提供的協(xié)態(tài)變量初值并不是原始最優(yōu)控制問題的初值，而是輔助最優(yōu)控制問題的初值，然后通過對性能指標數(shù)值延拓求解原始最優(yōu)控制問題的協(xié)態(tài)變量，并且此方法是否適用于小推力軌道也有待進一步討論。

以最小推力轉移軌道為起始解，推力幅值增加一個小量δF（F=Fmin+δF，記為F0，其中δF ＞ 0），轉移軌道出現(xiàn)滑行段（S ＞ 0），可求得滿足Bang-Bang控制的小推力轉移軌道。接下來延拓推力幅值，延拓策略如下：

其中：c為延拓步長系數(shù)，并且c ＞ 0，并可采用適當?shù)淖赃m應策略選取。采用如表 2所示的非線性參數(shù)優(yōu)化模型NLP（Nonlinear Programming）求解推力幅值為Fn+1的小推力轉移軌道。表 2中ti為開關切換時刻，由式（12）可知應滿足約束條件S(ti)=0。Fn最優(yōu)解作為NLP中優(yōu)化參數(shù)的初值，由初始狀態(tài)[r0,v0,m0]和協(xié)態(tài)變量[λr(t0),λv(t0)]通過式（1）～（3）和式（7）～（8）積分求得末端時刻軌道狀態(tài)[r(tf),v(tf)]，并要求滿足等式約束。協(xié)態(tài)變量λm可由式（9）和（10）從tf向t0積分，并計算開關函數(shù)式（13）。

表 2 NLP：Bang-Bang控制小推力軌道優(yōu)化模型Table 2 NLP: the optimization model of low-thrust trajectory with Bang-Bang control

若NLP不收斂，則減小延拓步長c，直至NLP收斂為止；若NLP收斂，并且Fn+1收斂解滿足式（12），則收斂解為Fn+1的燃耗最優(yōu)解，滿足Bang-Bang控制必要條件，若Fn+1收斂解不滿足式（12），則表明收斂解不是Fn+1的燃耗最優(yōu)解，開關序列需要切換以滿足Bang-Bang控制必要條件。開關序列的切換規(guī)則與開關函數(shù)S中四類特征值有關：局部極大值SU、局部極小值SL、初始值S(t0)和末端值S(tf)，如圖 3所示。通過比較Fn+1收斂解和Fn最優(yōu)解，如果某特征值在優(yōu)化前后的正負號發(fā)生改變，則表明開關序列需要切換。開關序列切換準則如表 3所示。當推力幅值延拓至目標推力幅值時延拓停止，最終求得滿足Bang-Bang控制必要條件的小推力轉移軌道。

圖 3 開關函數(shù)特征值示意圖Fig. 3 Schematic diagram of the characteristic values of the switching function

表 3 開關序列切換準則Table 3 The principle of thrust switching

推力幅值延拓只是開關序列切換延拓方法的一個示例，延拓參數(shù)還可選取轉移時間、相位角等。開關序列切換延拓方法的思路為：從一個滿足Bang-Bang控制必要條件的小推力轉移軌道出發(fā)，通過參數(shù)延拓直接求解另一滿足Bang-Bang控制必要條件的小推力轉移軌道，在延拓的過程中跟蹤開關函數(shù)變化，并依據(jù)表 3中的準則切換開關序列。推力幅值延拓過程可視為：已知F=Fmin的燃耗最優(yōu)小推力軌道滿足Bang-Bang控制必要條件，通過延拓推力幅值，求解出目標推力幅值的燃耗最優(yōu)小推力軌道。此方法不再利用能量最優(yōu)解作為一個中間過渡而直接進行參數(shù)延拓，并且延拓過程檢測開關函數(shù)后再設定開關序列。若采用推力幅值延拓方法進行大規(guī)模的優(yōu)化，在延拓過程中嚴格滿足最優(yōu)性一階必要條件將影響計算效率，可以考慮適當放寬約束條件，快速求得次優(yōu)解以利于全局尋優(yōu)，相關內(nèi)容有待進一步研究。

朱小龍等[58]利用推力幅值延拓求解相對運動線性化模型下滿足Bang-Bang控制的小推力轉移軌道和多脈沖轉移軌道，并且提出了臨界推力的概念。所謂臨界推力是指使得開關函數(shù)部分特征值為零對應的推力，此時開關序列奇異，出現(xiàn)某個瞬時的開關序列既可以是“開”也可以是“關”。Chuang等也在求解Bang-Bang控制時發(fā)現(xiàn)了此現(xiàn)象，但沒有進行分析討論[19]。隨后，朱小龍等通過延拓方法求解了月面轉移的“開–關–開”推力序列的燃耗最優(yōu)軌跡[59]。朱政帆利用該方法求解了衛(wèi)星編隊重構的最優(yōu)控制問題（第7屆全國空間軌道設計競賽乙組題目）[61]，利用狀態(tài)變量方程與協(xié)態(tài)變量方程解耦的特性實現(xiàn)了相對運動模型中的多圈轉移軌道設計。孟雅哲[62]將相對運動方程拓展到二體模型采用無奇異軌道根數(shù)模型求解最優(yōu)Bang-Bang控制的兩點邊值問題，利用推力幅值延拓能夠求解不同開關序列的小推力軌道。朱政帆等[63]開展了進一步的深入研究，一方面對延拓參數(shù)為轉移時間和末端相位角的情況進行了探討，給出了更多的算例，而且算例表明延拓參數(shù)存在極限值，開關序列相應地從存在“開”和“關”的Bang-Bang控制通過延拓切換序列最終為全程推進；另一方面，從不同兩脈沖解出發(fā)（飛行圈數(shù)不同，但對應同一個問題），針對同一個兩點邊值問題求解出不同的Bang-Bang控制小推力軌道，且均滿足最優(yōu)性必要條件。

4 兩類延拓解法之比較

簡而言之，兩類解法均以參數(shù)延拓為基礎。第一類解法首先求解能量最優(yōu)解，然后采用能量–燃耗同倫得到最優(yōu)Bang-Bang控制；第二類解法則引入推力開關切換準則，從雙脈沖解開始通過參數(shù)延拓最終得到最優(yōu)Bang-Bang控制。通過進一步分析，兩類解法之比較可以體現(xiàn)在以下幾個方面。

1）第一類解法已被應用于多種小推力轉移軌道問題的求解，包括中途約束[46-48]與多圈轉移軌道（包括限制性三體模型中的上百圈轉移軌道）[50-55]。第二類方法還沒有證明有同樣的能力，目前僅求解了相對運動模型與二體模型轉移軌道，且轉移圈數(shù)較少（十幾圈的量級[63]）。對于線性化相對運動模型，能量最優(yōu)解可以解析得出[49]，因而第一類解法計算效率更高。

2）對于二體模型轉移軌道，在協(xié)態(tài)變量初值猜測方面，第一類解法在求解相對簡單的能量最優(yōu)軌道時仍需猜測協(xié)態(tài)變量初值。第二類解法則可從雙脈沖解（由蘭伯特算法求得）開始通過推力幅值延拓得到最小推力全程推進解（滿足最優(yōu)性必要條件）以及Bang-Bang控制最優(yōu)解，這樣可以無需提供協(xié)態(tài)變量初值。

3）若轉移軌道問題（二體模型轉移軌道）的系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生變化（如轉移時間、推力幅值、目標軌道相位角等），第一類解法需重新計算對應的能量最優(yōu)解（可利用已有能量最優(yōu)解作為初解通過參數(shù)延拓求得），然后再實施能量–燃料同倫過程得到Bang-Bang控制最優(yōu)解。對于第二類解法，采用已有Bang-Bang控制最優(yōu)解作為初解，直接延拓變化參數(shù)即可得到新的Bang-Bang控制最優(yōu)解。相對之下，第二類解法無需求解能量最優(yōu)解，因而計算效率更高。

4）第二類解法可以找出延拓參數(shù)的臨界解（如推力幅值、時間、目標軌道相位角等），臨界解表明開關函數(shù)或Bang-Bang最優(yōu)控制具有分岔特性，成為Bang-Bang最優(yōu)控制的另一種奇異狀態(tài)（開關函數(shù)恒取零是已知的一種奇異狀態(tài)）。第一類解法暫無策略處理此奇異現(xiàn)象，針對求解包含臨界參數(shù)的轉移軌道問題，可能會遇上迭代收斂困難的情況。

5）第二類解法通過延拓推力幅值，最終可以求出最優(yōu)脈沖轉移軌道，特別是多脈沖最優(yōu)解。除此之外，還有望求解脈沖與有限推力混合推進最優(yōu)控制問題。第一類解法目前暫不具備該項功能，沒有考慮求解最優(yōu)脈沖轉移軌道問題。

6）對于同一個二體模型轉移軌道問題，雙脈沖解可能對應多解（通過蘭伯特算法求解的多圈轉移軌道具有多解特性），那么通過推力幅值延拓，即有可能得到有限推力（以及多脈沖）的多解情況。也就是說，第二類解法提供了一種得到最優(yōu)多解的計算途徑。第一類解法暫未涉及討論Bang-Bang控制多解問題，也沒有探討能量最優(yōu)解的多解特性。

5 延拓方法應用展望

實際上，兩類延拓解法可以融為一體，延拓參數(shù)設定可以有多種不同方案，如指標參數(shù)延拓、任務參數(shù)延拓、模型參數(shù)延拓、約束條件參數(shù)延拓等，從而建立起基于延拓設計的求解空間小推力Bang-Bang控制轉移軌道的優(yōu)化設計方法體系。延拓方法提供了基本轉移軌道問題的Bang-Bang控制局部最優(yōu)解的計算途徑，為進一步的轉移軌道設計提供了滿足最優(yōu)性必要條件的最佳初解。

本節(jié)簡要展望本文所述延拓方法的應用前景，問題背景包括：多目標巡游轉移軌道、復雜引力場轉移軌道、全局最優(yōu)解與帕累托前沿解、小推力多圈轉移軌道、星群編隊與博弈問題、Bang-Bang制導控制律自主生成、人工智能軌道優(yōu)化。

1）對于多目標巡游探測飛行軌道，整條軌道可以分為多段基本轉移軌道，中途約束表現(xiàn)為目標飛越、交會、停留等。一般可以采用雙脈沖軌道拼接得到整條軌道，然后通過延拓方法求解基本轉移軌道（可設法實現(xiàn)并行計算），最后進行整體或部分軌道優(yōu)化得到最終設計結果。對于整體軌道優(yōu)化的中途約束，可以推導出最優(yōu)性必要條件，也可以不再加以考慮，只考慮滿足狀態(tài)約束即可。

2）一般而言，相對運動轉移軌道（圓軌道與橢圓軌道線性化相對運動方程）最容易求解，其雙脈沖或能量最優(yōu)解均能解析得到；其次是二體模型轉移軌道，圓形限制性三體與多體星歷模型轉移軌道求解則更有難度。例如，在三體模型下延拓模型參數(shù)可能出現(xiàn)非線性分岔，延拓方法是否需要針對分岔現(xiàn)象進行改進仍需要進一步探討。如果建立模型之間的參數(shù)延拓方案，那么可以將各類模型轉移軌道關聯(lián)起來，即有望先求解簡單模型轉移軌道，然后通過延拓求解復雜引力場轉移軌道問題。

3）從多個初解出發(fā)，通過設置不同的延拓路徑（或?qū)崿F(xiàn)延拓路徑的自動選擇），可利用并行計算自動且更加快速地求得一系列Bang-Bang控制最優(yōu)解。在給定參數(shù)及其定義域的情況下，可以通過并行計算延拓方法更高效地得到全局最優(yōu)解以及帕累托前沿解，有助于任務設計者對任務參數(shù)開展折中分析（Trade Study）。

預裂孔：線裝藥密度：加強段 294g/m、正常段 147g/m，底部裝藥量 1.8kg，單孔裝藥量 3.8kg。

4）當轉移圈數(shù)足夠多（如數(shù)百圈），Bang-Bang控制的開關切換次數(shù)非常多，轉移軌道優(yōu)化問題求解會變得越來越困難。多圈數(shù)轉移軌道較多采用軌道平均化方法求解，得到的解由平均軌道根數(shù)表示。以平均軌道根數(shù)解為參考，通過構建多參數(shù)交叉延拓方案，有望能夠進一步求解由瞬時軌道根數(shù)表示的Bang-Bang控制多圈轉移問題。

5）延拓方法對于Bang-Bang制導控制律自主生成具有潛在應用價值。當前狀態(tài)偏離標稱軌道，特別是線性反饋跟蹤控制律失效的情況，可以利用當前或末端狀態(tài)延拓的方法得到新的Bang-Bang最優(yōu)控制律。該方法基于模型預測，與基于誤差的反饋控制律結合一起，有望在自主制導方面發(fā)揮更大的作用。當然，延拓方法計算效率還有待進一步提升。

6）星群編隊與博弈的小推力轉移軌道主要探討單顆衛(wèi)星轉移軌道局部最優(yōu)解的組合方案，從而實現(xiàn)星群整體控制層面的最優(yōu)性能指標。由于衛(wèi)星數(shù)目多，直接求解多星Bang-Bang控制并不容易?？刹捎檬紫惹蠼鈫涡堑霓D移軌道，設置合理可行的多參數(shù)延拓方案，即可得到一系列局部最優(yōu)解，然后將多顆星的局部最優(yōu)解組合為多星最優(yōu)解。針對星群編隊與博弈問題，往往需要考慮計算時間約束，即在給定的計算時間內(nèi)得到盡可能最優(yōu)的解，這也涉及到制導控制律自動生成問題。

6 人工智能軌道優(yōu)化的探討

本文提出一個新的概念：人工智能軌道優(yōu)化。此概念是指給出復雜飛行軌道優(yōu)化設計問題描述，計算機可以模擬人的思考方式自動進行優(yōu)化設計。為了實現(xiàn)這個目標，可以將問題求解分為三個基本步驟：初解、延拓和拼接。人工智能方法也可遵循這個設計步驟，并在每一步均遵循特定的自動計算方法。

初解可以理解為最容易得到的解，可能并不滿足問題約束的解，比如本文所述的能量最優(yōu)解（第一類方法）與雙脈沖解（第二類方法）。初解可以還有其他形式，如多脈沖解或特定推力解等。初解最好是解析形式并無需迭代，這樣可以適應大范圍的問題參數(shù)空間。通過并行計算可以獲得大量對應不同參數(shù)的初解，并從中選取較好的局部初解。

延拓解法的基本思路是從已知解得到未知解（包括從初解開始延拓）。延拓可以提供某些系統(tǒng)參數(shù)在一定取值范圍內(nèi)的局部最優(yōu)解。在這一步中，從較好的局部初解出發(fā)，通過延拓即可得到最優(yōu)推力方向，包括得到Bang-Bang控制。延拓過程一般需要進行數(shù)值迭代，如何提高迭代效率值得深入研究。

將局部最優(yōu)解按照時間順序拼接起來（后者其它組合方式），即可得到更加復雜的飛行軌道。這一步驟主要關注組合優(yōu)化的全局最優(yōu)性，同時組合優(yōu)化算法的計算效率也是值得研究的問題。在這一步使用遺傳算法，可以更好地發(fā)揮算法的優(yōu)勢。但針對初值、延拓的計算需求，遺傳算法的優(yōu)勢往往難以體現(xiàn)。

總而言之，初解、延拓與拼接的求解步驟為人工智能軌道優(yōu)化提供了潛在的實現(xiàn)途徑。與直接采用進化算法求解不同，基于初解（如雙脈沖解）、延拓與拼接的思想有望讓計算機更加智能化，初解選擇延拓起點，延拓注重獲得局部最優(yōu)解，拼接注重獲得全局最優(yōu)。初解、延拓與拼接方案的設定可以借助機器學習的思想，通過讓計算機不斷求解轉移軌道問題，總結規(guī)律與積累經(jīng)驗，從而能夠高效地求解新問題。當然，以上僅為概念設想，但值得開展創(chuàng)新研究。

7 結束語

本文介紹了空間小推力Bang-Bang控制轉移軌道的兩類延拓解法。第一類解法主要采用能量–燃耗同倫得到最優(yōu)Bang-Bang控制；第二類解法則以推力開關切換準則為依據(jù)通過參數(shù)延拓最終得到最優(yōu)Bang-Bang控制。對于不同類型轉移軌道問題，兩類解法各有優(yōu)勢。第二類解法在傳統(tǒng)直接/間接混合法的基礎上，解決了此前無法準確預設開關序列的問題。將兩類延拓方法融為一體，有望進一步認識與理解復雜轉移軌道問題的求解方案，并有望建立系統(tǒng)的空間小推力軌道優(yōu)化的方法體系。最后，探討了基于初解、延拓與拼接的人工智能軌道優(yōu)化新概念。the Second International Symposium on Spacecraft Flight Dynamics. Darmstadt，Germany：ESA，1986.

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通信地址：北京海淀區(qū)鄧莊南路9號（100094）

電話：（010）82178880

E-mail：zhuzhengfan@aoe.ac.cn

高揚（1974– ），男，研究員，主要研究方向：空間軌道優(yōu)化、定軌與導航、空間動力學與控制。

通信地址：北京海淀區(qū)鄧莊南路9號（100094）

電話：（010）82178228

E-mail：gaoyang@csu.ac.cn

Survey of Two Classes of Continuation Methods for Solving Optimal Bang-Bang Control of Low-Thrust Space Trajectories

ZHU Zhengfan1，GAO Yang2*
（1. Academy of Opto-electronics，Chinese Academy of Sciences，Beijing 100094，China；
2. Technology and Engineering Center for Space Utilization，Chinese Academy of Sciences，Beijing 100094，China）

The optimal Bang-Bang control problem of low-thrust space trajectories is introduced. Two classes of continuation methods are described：the first solves the energy-optimal solution，and subsequently employs the energy-fuel homotopy to obtain the optimal Bang-Bang control；the second introduces a switching principle，and obtains the optimal Bang-Bang control through parameter continuation starting from a two-impulse solution. The two continuation methods are compared，and the advantages and characteristics of the two methods are discussed. The prospects of the continuation methods applying to more complicated low-thrust trajectory designs are proposed. The concept of artificial intelligence trajectory optimization is presented，which contains three aspects：initial solution，continuation，and patching.

low thrust；numerical optimization；Bang-Bang control；homotopy continuation；artificial intelligence

V412.4

A

2095-7777（2017）02-0101-10

10.15982/j.issn.2095-7777.2017.02.001

朱政帆（1988– ），男，博士研究生，主要研究方向：空間小推力軌道優(yōu)化、空間任務設計。

[責任編輯：高莎，英文審校：朱魯青]

朱政帆，高揚. 空間小推力軌道最優(yōu)Bang-Bang控制的兩類延拓解法綜述[J]. 深空探測學報，2017，4（2）：101-110.

Reference format: Zhu Z F，Gao Y. Survey of two classes of continuation methods for solving optimal Bang-Bang control of Low-Thrust space trajectories [J]. Journal of Deep Space Exploration，2017，4（2）：101-110.

2017-01-10

2017-03-29

國家自然科學基金項目（11372311）；中國科學院空間科學研究院培育項目；中國科學院國防科技創(chuàng)新基金項目（CXJJ-15M016）