張 毅

(蘇州科技大學土木工程學院，江蘇蘇州215011)

Caputo導數(shù)下分數(shù)階Birkho ff系統(tǒng)的準對稱性與分數(shù)階Noether定理1)

張 毅2)

(蘇州科技大學土木工程學院，江蘇蘇州215011)

應用分數(shù)階模型可以更準確地描述和研究復雜系統(tǒng)的動力學行為和物理過程，同時Birkho ff力學是Hamilton力學的推廣，因此研究分數(shù)階Birkho ff系統(tǒng)動力學具有重要意義．分數(shù)階Noether定理揭示了Noether對稱變換與分數(shù)階守恒量之間的內(nèi)在聯(lián)系，但是當變換拓展為Noether準對稱變換時，該定理的推廣遇到了很大的困難．本文基于時間重新參數(shù)化方法提出并研究Caputo導數(shù)下分數(shù)階Birkho ff系統(tǒng)的Noether準對稱性與守恒量．首先，將時間重新參數(shù)化方法應用于經(jīng)典Birkho ff系統(tǒng)的Noether準對稱性與守恒量研究，建立了相應的Noether定理；其次，基于分數(shù)階Pfa ff作用量分別在時間不變的和一般單參數(shù)無限小變換群下的不變性給出分數(shù)階Birkho ff系統(tǒng)的Noether準對稱變換的定義和判據(jù)，基于Frederico和Torres提出的分數(shù)階守恒量定義，利用時間重新參數(shù)化方法建立了分數(shù)階Birkho ff系統(tǒng)的Noether定理，從而揭示了分數(shù)階Birkho ff系統(tǒng)的Noether準對稱性與分數(shù)階守恒量之間的內(nèi)在聯(lián)系．分數(shù)階Birkho ff系統(tǒng)的Noether對稱性定理和經(jīng)典Birkho ff系統(tǒng)的Noether定理是其特例．最后以分數(shù)階Hojman-Urrutia問題為例說明結(jié)果的應用．

分數(shù)階Birkho ff系統(tǒng)，Noether準對稱性，F(xiàn)rederico-Torres分數(shù)階守恒量，Caputo導數(shù)

引言

分數(shù)階微積分由于具有記憶性和非局域性等特點，近四十年來被廣泛地應用于解決科學和工程的許多領域的各種問題[13]．1996年，Riewe[45]利用分數(shù)階微積分將非保守力納入 Lagrange函數(shù)和Hamilton函數(shù)中構(gòu)建了非保守動力學系統(tǒng)的分數(shù)階模型，首次提出并初步研究了分數(shù)階變分問題．在此基礎上，Agrawal[67]，Baleanu等[89]，Atanackovi′c等[1011]，Almeida等[1213]對分數(shù)階變分問題進行了深入研究．Frederico等[1418]最早開展分數(shù)階Noether對稱性與守恒量的研究，提出了分數(shù)階守恒量的定義，利用時間重新參數(shù)化方法，建立了分數(shù)階Noether定理．近年來，分數(shù)階Noether對稱性與守恒量的研究取得了重要進展[1931]．基于Frederico-Torres分數(shù)階守恒量定義建立的Noether定理揭示了Noether對稱變換與分數(shù)階守恒量之間的內(nèi)在聯(lián)系，但是當其變換拓展為Noether準對稱變換時，該定理的推廣遇到了很大的困難．迄今為止筆者尚未見到關于Noether準對稱變換與Frederico-Torres分數(shù)階守恒量的Noether定理的研究報道．本文提出并研究Caputo導數(shù)下分數(shù)階Birkho ff系統(tǒng)的Noether準對稱性與守恒量問題，基于Frederico-Torres分數(shù)階守恒量定義，給出Noether準對稱性的定義和判據(jù)，利用時間重新參數(shù)化方法，研究Noether準對稱性與Frederico-Torres分數(shù)階守恒量的聯(lián)系，建立了更一般的分數(shù)階Noether定理．

1 分數(shù)階導數(shù)及其性質(zhì)

本節(jié)列出文中涉及的分數(shù)階導數(shù)的定義及相關性質(zhì)，詳細的證明和討論可參見文獻[2-3]．

設函數(shù) f(t)和g(t)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)可積，則Riemann-Liouville分數(shù)階左導數(shù)定義為

Riemann--Liouville分數(shù)階右導數(shù)為

Caputo分數(shù)階左導數(shù)定義為

Caputo分數(shù)階右導數(shù)定義為

其中，Γ(?)是Euler-Gamma函數(shù)，α是導數(shù)的階，且0≤α＜1．

設函數(shù) f(t)和g(t)為在區(qū)間[a,b]上的光滑函數(shù)，且 f(a)=f(b)=0，則Caputo導數(shù)下的分數(shù)階分部積分公式為

在Caputo導數(shù)下，定義算子C(f,g)為

或

當γ=1時，式(8)和式(9)成為

2 經(jīng)典Birkho ff系統(tǒng)的Noether準對稱性與守恒量

積分泛函

稱為Pfa ff作用量，其中，B(t,aν)是Birkho ff函數(shù)，Rμ(t,aν)(μ =1,2,···,2n)是 Birkho ff 函數(shù)組．

Pfa ff-Birkho ff原理可表示為[32]

帶有交換關系

及端點條件

由式(13)～式(15)容易導出Birkho ff方程

其中,矩陣

是非退化的．由Pfa ff-Birkho ff原理(式(13)～式(15))和 Birkho ff方程 (16)確定的動力學系統(tǒng)稱為經(jīng)典Birkho ff系統(tǒng)．

下面利用時間重新參數(shù)化方法研究經(jīng)典Birkho ff系統(tǒng)的Noether準對稱性與守恒量．首先，研究時間不變的無限小變換下經(jīng)典Birkho ff系統(tǒng)的Noether準對稱性．

作用下，對任意[T1,T2]?[t1,t2]，滿足如下條件

其中，ε為無限小參數(shù)，ξμ是無限小變換的生成元，則稱Pfa ff作用量(式(12))在無限小變換(式(17))下準不變的，變換(式(17))為系統(tǒng)在時間不變的無限小變換下的Noether準對稱變換．

其中，ΔG= εG(t,aν)，函數(shù)G(t,aν)稱為規(guī)范函數(shù)．

判據(jù)1對于經(jīng)典Birkho ff系統(tǒng)，如果存在規(guī)范函數(shù)G(t,aν)使得無限小變換(式(17))的生成元ξμ滿足條件

則變換(式(17))是系統(tǒng)在時間不變的無限小變換下的Noether準對稱變換．

證明 由于積分區(qū)間[T1,T2]的任意性，式(19)等價于

將方程(21)等號兩邊對ε求導，并令ε=0，立即得到式(20)．證畢．

定理1對于經(jīng)典Birkho ff系統(tǒng)，如果時間不變的無限小變換(式(17))是系統(tǒng)的Noether準對稱變換，則是系統(tǒng)的一個守恒量．

證明 利用條件(式(20))和方程(16)，有

因此，系統(tǒng)存在守恒量(式(22))．證畢．

其次，研究一般無限小變換下經(jīng)典Birkho ff系統(tǒng)的Noether準對稱性．

作用下，對任意[T1,T2]?[t1,t2]，滿足如下條件

其中，ε為無限小參數(shù)，ξ0，ξμ是無限小變換的生成元，則稱Pfa ff作用量(式(12))在無限小變換(式(23))下準不變的，變換(式(23))為系統(tǒng)在一般無限小變換下的Noether準對稱變換．

由式(24)確定的R1μ，B1和Rμ，B具有相同的運動微分方程，此時有

于是有

判據(jù)2對于經(jīng)典Birkho ff系統(tǒng)，如果存在規(guī)范函數(shù)G(t,aν)使得無限小變換(式(23))的生成元ξ0，ξμ滿足條件

證明 由式(25)可得出

由積分區(qū)間[T1,T2]的任意性，式(27)等價于

將方程(28)等號兩邊對ε求導，并令ε=0，立即得到式(26)．證畢．

定理2對于經(jīng)典Birkho ff系統(tǒng)，如果一般無限小變換(式(23))是系統(tǒng)的Noether準對稱變換，則

是系統(tǒng)的一個守恒量．

證明 如果將t看作為一個獨立變量，則每個非自治問題(式(12))等價于一個自治問題[14]．事實上，設

則在時間t的一一對應的李普希茨變換

作用下，有

隨著生活水平的不斷提高以及我國“大數(shù)據(jù)，物聯(lián)網(wǎng)+”事業(yè)的不斷發(fā)展，手機智能化的普及，人們的智能化生活得到了諸多便利，與人們生活嘻嘻相關的各類APP應用應運而生，正如大家所說的那樣“手機在手，應有盡有”。目前紙質(zhì)圖書閱讀不方便，需隨身攜帶書籍，而電子圖書只需使用必備的手機即可實現(xiàn)隨時隨地地閱讀，滿足人們對于閱讀的需求，拓寬人們閱讀渠道，也給人們的生活到來了便利性。

其中

因此，如果作用量A[aν(·)]在定義2意義下是準不變的，則作用量[t(·),aν(t(·))]在定義1意義下是準不變的．由定理1可得到

是系統(tǒng)的一個守恒量．證畢．

定理 1和定理 2可稱為經(jīng)典 Birkho ff系統(tǒng)的Noether定理．該定理揭示了經(jīng)典Birkho ff系統(tǒng)分別在時間不變和一般單參數(shù)無限小變換下的Noether準對稱性與守恒量之間的內(nèi)在聯(lián)系．如果˙G≡0，則定理給出了系統(tǒng)的Noether對稱性與守恒量的聯(lián)系．不同于以往的工作[3234]，這里的證明采用了時間重新參數(shù)化方法：首先，在時間不變的無限小變換下給出守恒量(式(22))；其次，引入李普希茨變換，將一個非自治問題化為一個自治問題，得到一般無限小變換下的守恒量(式(29))．

3 分數(shù)階Birkho ff系統(tǒng)的Noether準對稱性與守恒量

設基于Caputo導數(shù)的分數(shù)階Pfa ff作用量為

則分數(shù)階Pfa ff-Birkho ff原理可表示為

帶有交換關系

以及端點條件

由式(34)～式(36)可導出Caputo導數(shù)下分數(shù)階Birkho ff方程

由分數(shù)階Pfa ff-Birkho ff原理(式(34)～式(36))和分數(shù)階Birkho ff方程(37)確定的動力學系統(tǒng)稱為Caputo導數(shù)下分數(shù)階Birkho ff系統(tǒng)．

下面研究Caputo導數(shù)下分數(shù)階Birkho ff系統(tǒng)的Noether準對稱性與守恒量問題．首先基于由Frederico和Torres給出的分數(shù)階守恒量概念[14]，建立分數(shù)階Birkho ff系統(tǒng)的分數(shù)階守恒量定義，有

定義3 對于Caputo導數(shù)下分數(shù)階Birkho ff系統(tǒng)，當且僅當沿著分數(shù)階Birkho ff方程(37)的所有解曲線，有

定義3稱為Caputo導數(shù)下分數(shù)階Birkho ff系統(tǒng)的Frederico-Torres分數(shù)階守恒量定義．

其次，研究時間不變的無限小變換下分數(shù)階Birkho ff系統(tǒng)的Noether準對稱性與守恒量．

定義4 對于Caputo導數(shù)下分數(shù)階Birkho ff系統(tǒng)，設和B1是另外的Birkho ff函數(shù)組和Birkho ff函數(shù)，如果在時間不變的單參數(shù)無限小變換群(式(17))作用下，對任意[T1,T2]?[t1,t2]，滿足如下條件

則稱分數(shù)階Pfa ff作用量(式(33))在無限小變換(式(17))下是準不變的，變換(式(17))為系統(tǒng)在時間不變的無限小變換下的Noether準對稱變換．

其中 ΔG= εG(t,aν)．

判據(jù)3 對于Caputo導數(shù)下分數(shù)階Birkho ff系統(tǒng)，如果存在規(guī)范函數(shù)G(t,aν)使得無限小變換(式(17))的生成元ξμ滿足條件

則變換(式(17))是系統(tǒng)在時間不變的無限小變換下的Noether準對稱變換．

證明 由于積分區(qū)間[T1,T2]的任意性，式(41)等價于

將方程(43)等號兩邊對ε求導，并令ε=0，我們有

證畢．

定理3 對于Caputo導數(shù)下分數(shù)階Birkho ff系統(tǒng)，如果時間不變的無限小變換(式(17))是系統(tǒng)的Noether準對稱變換，則

是系統(tǒng)在定義3意義下的一個分數(shù)階守恒量．

證明 由方程(37)，得

將式(45)代入式(42)，并注意到式(8)和式(9)，我們有

由定義3，得守恒量式(44)．證畢．

最后，研究一般無限小變換下分數(shù)階Birkho ff系統(tǒng)的Noether準對稱性與守恒量．

定義5 對于Caputo導數(shù)下分數(shù)階Birkho ff系統(tǒng)，設和B1是另外的Birkho ff函數(shù)組和Birkho ff函數(shù)，如果在一般單參數(shù)無限小變換群(式(23))作用下，對任意[T1,T2]?[t1,t2]，滿足如下條件

則稱分數(shù)階Pfa ff作用量(式(33))在無限小變換(式(23))下準不變的，變換(式(23))為系統(tǒng)的Noether準對稱變換．

于是有

判據(jù)4 對于Caputo導數(shù)下分數(shù)階Birkho ff系統(tǒng)，如果存在規(guī)范函數(shù)G(t,aν)使得無限小變換(式(23))的生成元 ξ0，ξμ滿足條件

則變換 (式 (23))是系統(tǒng)在一般無限小變換下的Noether準對稱變換．

證明 由式(43)可得出

由積分區(qū)間[T1,T2]的任意性，式(49)等價于

注意到

將式(52)代入式(51)，有

將方程(50)等號兩邊對ε求導，利用式(53)，并令ε=0，得

證畢．

定理4 對于Caputo導數(shù)下分數(shù)階Birkho ff系統(tǒng)，如果一般無限小變換(式(23))是系統(tǒng)的Noether準對稱變換，則

是系統(tǒng)在定義3意義下的一個分數(shù)階守恒量．

證明 引進李普希茨變換

則分數(shù)階Pfa ff作用量(式(33))成為

其中 t(σ1)=t1，t(σ2)=t2，以及

將式(58)代入式(57)，得

因此，如果分數(shù)階作用量S[aν(·)]在定義5意義下是準不變的，則分數(shù)階作用量ˉS[t(·),aν(t(·))]在定義4意義下是準不變的．由定理3，得到

是系統(tǒng)在定義3意義下的分數(shù)階守恒量．當λ=0時，有

因此，我們有

而

將式(63)和式(62)代入式(60)，得到分數(shù)階守恒量(式 (54))．證畢．

定理3和定理4可稱為Caputo導數(shù)下分數(shù)階Birkho ff系統(tǒng)的 Noether定理．定理基于 Frederico和Torres提出的分數(shù)階守恒量概念，建立了Caputo導數(shù)下分數(shù)階Birkho ff系統(tǒng)的Noether準對稱性與Frederico-Torres分數(shù)階守恒量之間的聯(lián)系．如果G≡0，則定理給出了分數(shù)階Birkho ff系統(tǒng)的Noether對稱性與分數(shù)階守恒量之間的聯(lián)系；如果α→1，則定理3和定理4退化為定理1和定理2，給出了經(jīng)典Birkho ff系統(tǒng)的Noether對稱性與經(jīng)典Noether守恒量之間的聯(lián)系．

4 算例

考慮分數(shù)階Hojman-Urrutia問題[35]，該問題可表示為一個四階分數(shù)階Birkho ff系統(tǒng)，在Caputo導數(shù)下其Pfa ff作用量為

試研究該系統(tǒng)的分數(shù)階Noether對稱性與分數(shù)階守恒量．

分數(shù)階Birkho ff方程(37)給出

判據(jù)方程(48)給出

方程(66)有解

式(67)對應系統(tǒng)的Noether對稱變換，式(68)對應系統(tǒng)的Noether準對稱變換．根據(jù)定理4，得到

其中c2為任意常數(shù)．式(69)是由Noether對稱性(式(67))導致的分數(shù)階守恒量，式(70)是由Noether準對稱性(式(68))導致的分數(shù)階守恒量．當α→1時，式(69)和式(70)成為

式 (71)和式 (72)是經(jīng)典 Hojman-Urrutia問題的Noether守恒量．

5 結(jié)論

由于應用分數(shù)階微積分可以更準確地描述和研究復雜系統(tǒng)的動力學行為和物理過程，同時Birkho ff系統(tǒng)動力學是Hamilton力學的推廣，因此研究分數(shù)階Birkho ff系統(tǒng)動力學具有重要意義．本工作一是建立了經(jīng)典 Birkho ff系統(tǒng)和 Caputo導數(shù)下分數(shù)階Birkho ff系統(tǒng)的Noether準對稱性的定義和判據(jù)；二是基于時間重新參數(shù)化方法證明了經(jīng)典Birkho ff系統(tǒng)和Caputo導數(shù)下分數(shù)階Birkho ff系統(tǒng)的Noether定理，該定理建立了系統(tǒng)的Noether準對稱性與分數(shù)階守恒量之間的內(nèi)在聯(lián)系．以往關于 Caputo導數(shù)下分數(shù)階Birkho ff系統(tǒng)基于Frederico-Torres分數(shù)階守恒量定義的Noether定理以及經(jīng)典Birkho ff系統(tǒng)的Noether定理都是本文之特例．由于Caputo分數(shù)階導數(shù)定義解決了Riemann-Liouville定義中的分數(shù)階初值問題，從而在工程和實際問題的動力學建模中得到了更廣泛的應用，因此本文的方法和結(jié)果可望得到廣泛應用和進一步發(fā)展．最后必須指出，基于 Frederico-Torres分數(shù)階守恒量定義如何建立Noether準對稱性與守恒量的關系尚屬開放的課題，例如Riemann-Liouville導數(shù)下分數(shù)階Noether定理的推廣等．

1 Oldham KB,Spanier J.The Fractional Calculus.San Diego：Academic Press,1974

2 PodlubnyI.FractionalDi ff erentialEquations.SanDiego：Academic Press,1999

3 Kilbas AA,Srivastava HM,Trujillo JJ.Theory and Applications of Fractional Di ff erential Equations.Amsterdam：Elsevier B V,2006

4 Riewe F.Nonconservative Lagrangian and Hamiltonian mechanics.Physical Review E,1996,53(2)：1890-1899

5 Riewe F.Mechanics with fractional derivatives.Physical Review E,1997,55(3)：3581-3592

6 Agrawal OP.Formulation of Euler-Lagrange equations for fractional variational problems.Journal of Mathematical Analysis and Applications,2002,272(1)：368-379

7 Agrawal OP.Fractional variational calculus in terms of Riesz fractional derivatives.Journal of Physics A:Mathematical and Theoretical,2007,40(24)：6287-6303

8 Baleanu D,Avkar T.Lagrangians with linear velocities within Riemann-Liouville fractional derivatives.Nuovo Cimento B,2003,119(1)：73-79

9 Baleanu D,Trujillo JJ.A new method of findin the fractional Euler-Lagrange and Hamilton equations within Caputo fractional derivatives.Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation,2010,15(5)：1111-1115

10 Atanackovi′c TM,Konjik S,Pilipovi′c S.Variational problems with fractional derivatives：Euler-Lagrange equations.Journal of Physics A:Mathematical and Theoretical,2008,41(9)：095201

11 Atanackovi′c TM,Konjik S,Oparnica Lj,et al.Generalized Hamilton’s principle with fractional derivatives.Journal of Physics A:Mathematical and Theoretical,2010,43(25)：255203

12 Almeida R,Torres DFM.Necessary and sufficient conditions for the fractional calculus of variations with Caputo derivatives.Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation,2011,16(3)：1490-1500

13 Malinowska AB,Torres DFM.Introduction to the Fractional Calculus of Variations.London：Imperial College Press,2012

14 FredericoGSF,TorresDFM.AformulationofNoether’stheoremfor fractional problems of the calculus of variations.Journal of Mathematical Analysis and Applications,2007,334(2)：834-846

15 Frederico GSF,Torres DFM.Fractional isoperimetric Noether’s theorem in the Riemann-Liouville sense.Reports on Mathematical Physics,2013,71(3)：291-304

16 Frederico GSF.Fractional optimal control in the sense of Caputo and the fractional Noether’s theorem.International Mathematical Forum,2008,3(10)：479-493

17 Frederico GSF,Torres DFM.Fractional Noether’s theorem in the Riesz-Caputo sense.Applied Mathematics and Computation,2010,217(3)：1023-1033

18 Frederico GSF,Lazo MJ.Fractional Noether’s theorem with classicalandCaputoderivatives：constantsofmotionfornon-conservative systems.Nonlinear Dynamics,2016,85(2)：839-851

19 Atanackovi′c TM,Konjik S,Pilipovi′c S,et al.Variational problems with fractional derivatives：invariance conditions and Noether’s theorem.Nonlinear Analysis:Theory,Methods&Applications,2009,71(5-6)：1504-1517

20 Odzijewicz T,Malinowska AB,Torres DFM.Noether’s theorem for fractional variational problems of variable order.Central European Journal of Physics,2013,11(6)：691-701

21 Zhang SH,Chen BY,Fu JL.Hamilton formalism and Noether symmetry for mechanico-electrical systems with fractional derivatives.Chinese Physics B,2012,21(10)：100202

22 Zhou S,Fu H and FuJL.Symmetry theories of Hamiltonian systemswith fractional derivatives.Science China Physics,Mechanics&Astronomy,2011,54(10)：1847-1853

23 Luo SK,Li L.Fractional generalized Hamiltonian equations and its integral invariants.Nonlinear Dynamics,2013,73(1)：339-346

24 Luo SK,Li L.Fractional generalized Hamiltonian mechanics and Poisson conservation law in terms of combined Riesz derivatives.Nonlinear Dynamics,2013,73(1)：639-647

25 Jia QL,Wu HB,Mei FX.Noether symmetries and conserved quantities for fractional forced Birkhoffian systems.Journal of Mathematical Analysis and Applications,2016,442(2)：782-795

26 Zhang Y,Zhou Y.Symmetries and conserved quantities for fractional action-like Pfaffian variational problems.Nonlinear Dynamics,2013,73(1-2)：783-793

27 Zhang Y,Zhai XH.Noether symmetries and conserved quantities for fractional Birkhoffian systems.Nonlinear Dynamics,2015,81(1-2)：469-480

28 Long ZX,Zhang Y.Noether’s theorem for fractional variational problem from El-Nabulsi extended exponentially fractional integral in phase space.Acta Mechanica,2014,225(1)：77-90

29 El-Nabulsi RA.Fractional variational symmetries of Lagrangians,the fractional Galilean transformation and the modifie Schr¨odinger equation.Nonlinear Dynamics,2015,81(1)：939-948

30 Zhai XH,Zhang Y.Noether symmetries and conservedquantities for fractional Birkhoffian systems with time delay.Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation,2016,36：81-97

31 Yan B,Zhang Y.Noether’s theorem for fractional Birkhoffian systems of variable order.Acta Mechanica,2016,227(9)：2439-2449

32梅鳳翔.李群和李代數(shù)對約束力學系統(tǒng)的應用.北京：科學出版社,1999(Mei Fengxiang.Applications of Lie Groups and Lie Algebras to Constrained Mechanical Systems.Beijing：Science Press,1999(in Chinese))

33梅鳳翔,吳惠彬,李彥敏等.Birkho ff力學的研究進展.力學學報,2016,48(2)：263-268(Mei Fengxiang,Wu Huibin,Li Yanmin,et al.Advances in research on Birkhoffian mechanics.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2016,48(2)：263-268(in Chinese))

34張毅.相空間中非保守系統(tǒng)的 Herglotz廣義變分原理及其Noether定理.力學學報,2016,48(6)：1382-1389(Zhang Yi.Generalized variational principle of Herglotz type for nonconservative system in phase space and Noether’s theorem.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2016,48(6)：1382-1389(in Chinese))

35 Luo SK,Xu YL.Fractional Birkhoffian mechanics.Acta Mechanica,2015,226(3)：829-844

QUASI-SYMMETRY AND NOETHER’S THEOREM FOR FRACTIONAL BIRKHOFFIAN SYSTEMS IN TERMS OF CAPUTO DERIVATIVES1)

Zhang Yi2)
(College of Civil Engineering，Suzhou University of Science and Technology，Suzhou 215011，Jiangshu，China)

The dynamical behavior and physical process of a complex system can be described and studied more accurately by using a fractional model,at the same time the Birkhoffian mechanics is a generalization of Hamiltonian mechanics,and therefore,the study of dynamics of fractional Birkhoffian systems is of great significanceFractional Noether’s theorem reveals the intrinsic relation between the Noether symmetric transformation and the fractional conserved quantity,but when the transformation is replaced by the Noether quasi-symmetric transformation,the corresponding extension of Noether’s theorem is very difficult.In this paper,the Noether quasi-symmetry and the conserved quantity for fractional Birkhoffian systems in terms of Caputo derivatives are presented and studied by using a technique of timereparametrization.Firstly,the technique is applied to the study of the Noether quasi-symmetry and the conserved quantityfor classical Birkhoffian systems and Noether’s theorem in its general form is established.Secondly,the definition and criteria of Noether quasi-symmetric transformations for fractional Birkhoffian systems are given which are based on the invariance of fractional Pfa ffaction under one-parameter infinitesima group of transformations without transforming the time and with transforming the time,respectively.Based on the definitio of fractional conserved quantity proposed by Frederico and Torres,Noether’s theorem for fractional Birkhoffian systems is established by using the method of timereparametrization.The theorem reveals the inner relationship between Noether quasi-symmetry and fractional conserved quantity and contains Noether’s theorem for the symmetry of fractional Birkhoffian system and Noether’s theorem for classical Birkhoffian system as its specials.Finally,we take the Hojman-Urrutia problem as an example to illustrate the application of the results.

fractional Birkhoffian system,Noether quasi-symmetry,Frederico-Torres fractional conserved quantity,caputo derivative

O316

：A

10.6052/0459-1879-16-350

2016–11–28 收稿，2017–02–19 錄用,2017–02–22 網(wǎng)絡版發(fā)表.

1)國家自然科學基金資助項目(11272227,11572212).

2)張毅,教授,主要研究方向：分析力學.E-mail：zhy@mail.usts.edu.cn

張毅.Caputo導數(shù)下分數(shù)階Birkho ff系統(tǒng)的準對稱性與分數(shù)階Noether定理.力學學報,2017,49(3)：693-702

Zhang Yi.Quasi-symmetry and Noether’s theorem for fractional Birkhoffian systems in terms of Caputo derivatives.Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics,2017,49(3)：693-702