馬艷麗，李海霞，褚正清，聶東明(安徽新華學(xué)院通識(shí)教育部，安徽合肥 230088)

具有標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率和脈沖干擾的SIRS模型穩(wěn)定性分析

馬艷麗，李海霞，褚正清，聶東明
(安徽新華學(xué)院通識(shí)教育部，安徽合肥 230088)

本文同時(shí)考慮脈沖接種和脈沖剔除策略，建立一個(gè)具有標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率的SIRS傳染病模型，從理論分析和數(shù)值模擬方面研究了SIRS傳染病模型的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)。首先，得到模型無病T周期解的存在性和疾病流行與否的閾值-基本再生數(shù)R0；其次，應(yīng)用Floquet定理證明了無病T周期解是局部漸近穩(wěn)定的；然后，利用脈沖微分不等式證明了無病T周期解是全局漸近穩(wěn)定的；最后，進(jìn)行計(jì)算機(jī)數(shù)值模擬來進(jìn)一步驗(yàn)證理論結(jié)果的正確性。

SIRS模型；標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率；基本再生數(shù)；全局漸近穩(wěn)定性；脈沖微分方程

傳染病是人類的健康大敵，世界衛(wèi)生組織2014年發(fā)布《世界衛(wèi)生統(tǒng)計(jì)報(bào)告》顯示，現(xiàn)在每年新增艾滋病毒感染者約250萬，這與20年前的每年300萬相比有所下降，但新增感染者仍比死于艾滋病的人數(shù)多8萬，因此艾滋病人的絕對(duì)人數(shù)仍在增加.同時(shí)，艾滋病對(duì)高感染率國(guó)家成年人的死亡率產(chǎn)生了重要影響，比如在南非，該國(guó)的男性和女性平均預(yù)期壽命在1990年均為63歲，但到2011年下降為58歲，另一個(gè)非洲國(guó)家津巴布韋的人均壽命下降幅度更大，為6歲.近年來，隨著環(huán)境的污染，如肺結(jié)核、性病、禽流感等疾病再次抬頭蔓延，而一些新出現(xiàn)的傳染病，如艾滋病(AIDS)、傳染性非典型肺炎(SARS)等也來勢(shì)兇猛，全球范圍內(nèi)的傳染病防控形勢(shì)依然嚴(yán)峻.

為了對(duì)傳染病進(jìn)行預(yù)防和控制，人們常采用免疫接種策略，免疫接種有兩種方式：連續(xù)接種和脈沖接種.麻疹、病毒性肝炎、脊髓灰質(zhì)炎等人類長(zhǎng)期面對(duì)的傳染病，常采用連續(xù)接種策略.對(duì)于突發(fā)傳染病，如重癥急性呼吸綜合征(SARS)、流行性感冒等，則適合采用脈沖免疫接種策略.關(guān)于脈沖免疫接種模型已有大量文獻(xiàn)研究[1-15].剔除也是預(yù)防和控制傳染病的重要措施，例如人畜共患的傳染病禽流感、結(jié)核病、破傷風(fēng)和輪狀病毒感染等都可以采取剔除的方法加以控制，關(guān)于剔除的傳染病模型在文獻(xiàn)[16-17]中被研究過.但是將這些預(yù)防策略共同考慮的模型鮮見報(bào)道，受上述文獻(xiàn)[1-17]的啟發(fā)，本文同時(shí)考慮脈沖接種策略和脈沖剔除策略，建立了一個(gè)具有標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率的SIRS傳染病模型，討論了無病T周期解的局部穩(wěn)定性和全局穩(wěn)定性，并利用計(jì)算機(jī)軟件進(jìn)行了數(shù)值模擬.

1 基本模型

模型假設(shè).將種群分為三類：易感者類，記為S(t)，表示t時(shí)刻時(shí)易感者的數(shù)量；染病者類，記為I(t)，表示t時(shí)刻時(shí)染病者的數(shù)量；恢復(fù)者類，記為R(t)，表示t時(shí)刻時(shí)恢復(fù)者的數(shù)量.b表示出生率；β表示感染率；μ表示自然死亡率；α表示染病者因病死亡率；γ表示染病者到恢復(fù)者的轉(zhuǎn)移率；δ表示失去免疫率；p表示比例接種系數(shù)；q表示染病者的剔除系數(shù)；設(shè)b，β，μ，α，γ，δ的值均大于零，T為脈沖周期，根據(jù)流行病動(dòng)力學(xué)倉室建模思想建立如下的脈沖微分方程：

(1)

及

(2)

2 模型分析

令N(t)=S(t)+I(t)+R(t)，由方程組(1)和(2)得到關(guān)于N(t)的方程

N′(t)=(b-μ)N-αI.

(3)

(4)

及

(5)

N′=(b-μ-εi)N.

因?yàn)閟+i+r=1，所以僅須考慮下面的方程組

(6)

及

(7)

2.1 無病T周期解的存在性

研究無病T周期解的存在性就是尋找當(dāng)i=0時(shí)，滿足方程組(6)和(7)的T周期解．注意到，當(dāng)i=0時(shí)，方程組(6)和(7)變?yōu)?/p>

其在區(qū)間tn≤t≤tn+1上的解為

rn+1=p+(1-p)rnexp{-(b+δ)}.

設(shè)F:rn→rn+1是一個(gè)映射，滿足

rn+1=F(rn)=p+(1-p)rnexp{-(b+δ)}.

該映射有唯一的不動(dòng)點(diǎn)

2.2 無病T周期解的穩(wěn)定性

設(shè)Φ(t)是該線性系統(tǒng)的基解矩陣，且滿足Φ(0)=I,I為單位陣，基解矩陣為

其中，

φ22(t)=exp{-(b+δ)t},

當(dāng)t=tn時(shí)，得

由Floquet定理得，無病T周期解穩(wěn)定的充分必要條件是矩陣M的特征值的模都小于1，即只須φ11(T)<1，也就是

定義

則R0是基本再生數(shù)，并由上面的討論可得下面的定理.

定理1 當(dāng)R0<1時(shí)，系統(tǒng)(1)和(2)的無病T周期解是局部漸近穩(wěn)定的.

定理2 當(dāng)R0<1時(shí)，系統(tǒng)(1)和(2)的無病T周期解是全局漸近穩(wěn)定的.

為簡(jiǎn)化定理2的證明，引入如下引理.

引理1 設(shè)f(t),g(t)∈C1[0,+)，且則

由方程(1)和(2)的第一個(gè)方程得

(8)

對(duì)(8)應(yīng)用微分脈沖不等式可得

從而有

由方程(1)和(2)的第二方程得

(9)

(10)

對(duì)(10)應(yīng)用脈沖微分方程不等式得

因?yàn)?/p>

這里

且有

(11)

將式(7)和(8)代入到式(6)可得

(12)

則可以得到

其中

D1(t)是正的且有上界，當(dāng)R0<1時(shí)，有I(t)→0(t→+∞).

事實(shí)上，令

則當(dāng)t≠tn時(shí)，有

當(dāng)t=tk時(shí)，

應(yīng)用微分脈沖等式，由(11)和(12)可得

(13)

對(duì)于式(13)的第二項(xiàng)，有

綜上所述，當(dāng)R0<1時(shí)，無病T周期解是全局漸近穩(wěn)定的.

3 數(shù)值模擬

通過對(duì)具有脈沖接種與脈沖剔除的SIRS流行病模型的動(dòng)力學(xué)性態(tài)研究，得到了無病平衡T周期解的穩(wěn)定性.以下用數(shù)值模擬當(dāng)基本再生數(shù)R0<1時(shí)，系統(tǒng)(1)和(2)的解最終穩(wěn)定于無病T周期解時(shí)的情況，從而驗(yàn)證理論結(jié)果的正確性，計(jì)算機(jī)的模擬結(jié)果如圖1、圖2和圖3所示.

圖1 R0<1時(shí)，易感者人數(shù)S隨時(shí)間t的變化曲線

圖2 R0<1時(shí)，染病者人數(shù)I隨時(shí)間t的變化曲線

圖3 R0<1時(shí)，恢復(fù)且免疫者人數(shù)R隨時(shí)間t的變化曲線

4 結(jié)論與建議

本文同時(shí)考慮脈沖接種策略和脈沖剔除策略，建立一個(gè)具有標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率的SIRS傳染病模型，從理論分析和數(shù)值模擬方面研究了SIRS傳染病模型的動(dòng)力學(xué)性質(zhì).通過對(duì)模型的穩(wěn)定性分析，得到了控制疾病再生和消亡的重要閾值——基本再生數(shù)R0，證明了無病T周期解的存在性，并證明了當(dāng)R0<1時(shí)，無病T周期解是全局漸近穩(wěn)定的，疾病最終消亡.通過對(duì)具有脈沖接種與脈沖剔除的SIRS流行病模型的穩(wěn)定性研究，為該類傳染病的防治決策提供了理論基礎(chǔ)和數(shù)量依據(jù).在傳染病模型中，考慮疾病發(fā)生率為標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率，對(duì)其他形式的發(fā)生率如一般形式接觸率或非線性等問題有待進(jìn)一步研究.

[1]D’Onofrio A. Stability properties of pulse vaccination strategy in SEIR epidemic model[J]. Mathematics Biosciences,2002,179(1):57-72.

[2]Stone L.Theoretical examination of the pulse vaccination policy in the SIR epidemic model[J].Math Modeling,2000,31(4-5):207-215.

[3]章培軍,李維德,朱凌峰.SIRS傳染病模型的連續(xù)接種和脈沖接種的比較[J].蘭州大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2011,47(1):82-86.

[4]朱璣,李維德,朱凌峰.基于SIR傳染病模型的不同控制策略比較[J].北華大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2011,12(3):15-21.

[5]Jianquan Li,Yanli Yang.SIR-SVS epidemic models with continuous and impulsive vaccination stratgies [J].Journal of Theoretical Biology,2011,280(1):108-116.

[6]Lijie Hao, Guirong Jiang, Suyu Liu,et al.Global dynamics of an SIRS epidemic model with saturation incidence[J].Biosystems,2013,114(1):56-63.

[7]G.P.Samanta.Analysis of a delayed epidemic model with pulse vaccination[J].Chaos,Solitions & Fractals,2014,66(1):74-85.

[8]黃燦云,楊小光,汪訓(xùn)洋.一類具有時(shí)滯和雙線性發(fā)生率的脈沖接種SVIR傳染病模型[J].蘭州理工大學(xué)學(xué)報(bào),2012,38(4):131-135.

[9]楊金根,李學(xué)志.帶脈沖接種和時(shí)滯的乙肝模型的穩(wěn)定性分析[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2013,12(1):141-149.

[10]Peilin Shi,Lingzhen Dong.Dynamical models for infectious diseases with varying population size and vaccination[J].Journal of Applied Mathematics,2012(1):253-273.

[11]Wenjie Qin,Sanyi Tang,Robert A.Nonlinear pulse vaccination in an SIR epidemic model with resource limitation[J].Abstravt and Applied Analysis,2013(1):24-37.

[12]Pei Yong-zhen,Li Shu-ping,Li Chang-guo,et al.The effect of constant and pulse vaccination on an SIR epidemic model with infectious period[J].Applied Mathematical Modeling,2011,35(8):3866-3878.

[13]Zeng Guang-chao,Chen Lan-sun,Sun Li-hua.Complexity of an SIR epidemic dynamic model with impulsive vaccination control[J].Chaos Solitions and Fractals,2005,26(2):495-505.

[14]Lu Zhong-hua,Cui Xue-bin,Chen Lan-sun.The effect of constant and pulse vaccination on an SIR epidemic model with horizontal and vertical transmission[J].Mathematical and Computer Modeling,2002, 36(9/10):1039-1057.

[15]Helong Liu,Jinyuan Yu,Guangtian Zhu.Global stability of an age-structured SIR epidemic model with impulsive vaccination strategy[J].Journal of Systems Science Complexity,2012,25(3):417-429.

[16]馬艷麗,徐文雄,張仲華.具有一般形式接觸率的SEIR模型的穩(wěn)定性分析[J].中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)學(xué)報(bào),2015,45(1):737-744.

[17]Zhang Zhen,Jin Zhen.Stability properties in an SIR epidemic model with asynchronous pulse vaccination and pulse elimination[J].Journal of Taiyuan Normal University(Natural Science Edition), 2006,54(4):8-10.

Stability Analysis of an SIRS Model With Standard Incidence and Impulsive Perturbations

MA Yan-li,LI Hai-xia,CHU Zheng-qing,NIE Dong-ming

(General Education Department,Anhui Xinhua University,Hefei Anhui 230088,China)

In this paper, impulsive vaccination and impulsive elimination are considered in an SIRS model. The dynamical behavior of an SIRS epidemic model with standard incidence is discussed by means of both theoretical and numerical ways. Firstly, the disease-freeTperiodic solution and the threshold, basic reproductive numberR0which determines whether a disease is extinct or not , are obtained.Secondly, the disease-freeTperiodic solution is locally asymptotically stable by Floquet theorem. Thirdly, the disease-freeTperiodic solution is globally asymptotically stable by impulsive differention in equation. Finally, numerical simulation is given to illustrate the theoretical analysis.

SIRS model; standard incidence; basic reproductive number; global stability; impulsive differention equation

2016-12-30

安徽省高校優(yōu)秀青年人才支持計(jì)劃項(xiàng)目“幾類具有潛伏期和混合控制策略傳染病模型的動(dòng)力學(xué)性態(tài)研究”(gxyq2017125)；安徽省高校自然科學(xué)重點(diǎn)研究項(xiàng)目“關(guān)于常曲率空間中基本凸體的幾何不等式理論研究”(KJ2016A310)；安徽新華學(xué)院校級(jí)自然科學(xué)重點(diǎn)研究項(xiàng)目“若干分子圖的拓?fù)渲笜?biāo)及其逆問題研究”(2016zr003)；安徽省教學(xué)研究項(xiàng)目“以數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽為契機(jī)——高等數(shù)學(xué)分層模塊化教學(xué)在民辦應(yīng)用型本科院校中的探索與實(shí)踐”(2016jyxm0481)；安徽省精品資源共享課程“高等數(shù)學(xué)”(2016gxk061)；安徽新華學(xué)院校級(jí)教學(xué)團(tuán)隊(duì)“高等數(shù)學(xué)”(2016jxtdx03)。

馬艷麗(1983- )，女，講師，碩士，從事生物數(shù)學(xué)研究。

O175

A

2095-7602(2017)06-0001-08