高艷芳, 柳青青 , 王 瑋 , 王文君

(1.國土資源部 地球化學探測技術(shù)重點實驗室，廊坊 065000; 2.中國地質(zhì)科學院 地球物理地球化學勘查研究所， 廊坊 065000; 3.河南省地質(zhì)礦產(chǎn)勘查開發(fā)局 第四地質(zhì)勘查院， 鄭州 450001)

正態(tài)分布和對數(shù)變換在化探數(shù)據(jù)處理中存在問題的討論

高艷芳1,2, 柳青青1,2, 王 瑋1,2, 王文君3

(1.國土資源部 地球化學探測技術(shù)重點實驗室，廊坊 065000; 2.中國地質(zhì)科學院 地球物理地球化學勘查研究所， 廊坊 065000; 3.河南省地質(zhì)礦產(chǎn)勘查開發(fā)局 第四地質(zhì)勘查院， 鄭州 450001)

長期以來，常量元素大多服從正態(tài)分布、微量元素大多服從對數(shù)正態(tài)分布的觀點，被廣大的化探工作者所認同，利用對數(shù)變換進行異常下限的分析和利用對數(shù)0.1間隔進行地球化學圖色階值的設定也是基于這一理論基礎。但是在實際的應用中發(fā)現(xiàn)，化探數(shù)據(jù)中的元素概率分布特征并非如此，利用對數(shù)進行異常下限的確定和色階的設定會出現(xiàn)異常下限過高和色階分布不均勻的問題。利用計算機技術(shù)和可視化技術(shù)，利用大量的實測數(shù)據(jù)，對元素的統(tǒng)計分布特征和利用對數(shù)確定異常下限的過程進行了詳細地探討和分析，認為化探數(shù)據(jù)由于具有鮮明的空間性，所以并不一定具有正態(tài)分布的固有屬性，同時確認，利用對數(shù)變換獲得的異常下限過高是因為對標準離差的誤用引起的。

正態(tài)分布； 對數(shù)變換； 異常下限； 標準離差； 色階

0 前言

化探人員從接觸化探數(shù)據(jù)起，就要涉及正態(tài)分布的概念及相應的數(shù)據(jù)處理問題[1]。多年來一直在沿用的，利用算數(shù)平均值(背景值)加上n倍標準離差來確定異常下限的方式，就是建立在元素服從正態(tài)分布的理論基礎之上。從經(jīng)典統(tǒng)計學的角度來講，利用多元統(tǒng)計方法對化探數(shù)據(jù)進行分析的前提是元素服從正態(tài)分布。基于此，實際工作中，為了使不呈正態(tài)分布的元素變?yōu)檎龖B(tài)分布，應進行對數(shù)變換,所以“對數(shù)”這一名詞在化探數(shù)據(jù)處理中多處被引用(如：地球化學圖的色階值按0.1對數(shù)間隔進行劃分；地球化學圖中對數(shù)值直方圖的制作)。同時包含了“正態(tài)分布”和“對數(shù)”這兩個名詞的一個觀點是：常量元素服從正態(tài)分布，微量元素服從對數(shù)正態(tài)分布,這一觀點被眾多的化探工作者認知。實際科研生產(chǎn)中獲得的化探數(shù)據(jù)中的各元素究竟服從什么樣的概率分布？對數(shù)變化及對數(shù)值的應用過程又帶來了什么樣的結(jié)果？筆者利用計算機技術(shù)及可視化技術(shù)對這兩個方面的問題進行了深入的剖析。

1 正態(tài)分布在化探數(shù)據(jù)處理中的應用

1.1 正態(tài)分布

正態(tài)分布(高斯分布)是連續(xù)型隨機變量概率分布的一種形式，由中心極限定理推論而來。由于客觀世界中的許多自然現(xiàn)象、社會現(xiàn)象都可以看作是正態(tài)分布或者是近似正態(tài)分布，并且可以利用其分布狀態(tài)來進行預測、判斷和推理，所以它在數(shù)理統(tǒng)計的理論與實際應用中占有重要的地位[2-5]。正態(tài)分布的密度函數(shù)為：

(1)

其中：x為隨機變量，定義域為：[-∞,∞]；μ為平均值；σ為標準離差；y為概率密度。根據(jù)此公式繪制出概率密度分布曲線。在正態(tài)分布狀態(tài)下，此曲線呈現(xiàn)中間高、兩端逐漸下降且左右完全對稱的幾何形狀，稱之為正態(tài)分布曲線或鐘形曲線(圖1)。當μ等于“0”，σ等于“1”時稱為標準正態(tài)分布曲線。

從圖1中可以看出，正態(tài)分布的數(shù)據(jù)一半以上都集中在(μ-1σ，μ+1σ)區(qū)間范圍內(nèi)，占有68.27%的頻率[6-9]，此部分為基區(qū)；在(μ-2σ，μ+2σ)的范圍內(nèi)占有95.64%的頻率，即此范圍內(nèi)的數(shù)據(jù)量占總數(shù)的絕大多數(shù)，也可以說，在μ±2δ范圍外的數(shù)據(jù)占有不到5%，該數(shù)據(jù)稱為特殊的數(shù)據(jù)，此范圍為異常區(qū)，此為確定化探異常下限的理論依據(jù)；此外，可以發(fā)現(xiàn)，在μ±3σ范圍之外僅有不到0.3%的數(shù)據(jù)量，此范圍內(nèi)的數(shù)據(jù)為極端異常區(qū)(統(tǒng)計學上，稱為不可能事件區(qū))。這就是化探數(shù)據(jù)迭代剔除時去除3倍標準離差時的理論依據(jù)，即3倍標準差原理或3σ法則[10-11]。

圖1 正態(tài)分布的鐘形曲線Fig.1 The graph of normal distribution

自然界、人類社會、人文教育中的大量現(xiàn)象均按正態(tài)形式分布，所以調(diào)查研究時，可以利用某一現(xiàn)象的正態(tài)分布曲線進行分析對比。在化探中，可以利用μ±3σ范圍之外為不可能事件的結(jié)論，推斷此范圍的數(shù)據(jù)為極端的正負異常數(shù)據(jù)。

1.2 地球化學數(shù)據(jù)的正態(tài)分布

關(guān)于化探數(shù)據(jù)的概率分布形式，通用的觀點是：地質(zhì)體元素含量的概率分布一般均表現(xiàn)為正態(tài)分布或?qū)?shù)正態(tài)分布形式，不同的分布形式分別代表著不同的地球化學意義[11-13]?；镜恼J知如下：

1)礦物、巖石中的常量元素大多服從正態(tài)分布，微量元素大多服從對數(shù)正態(tài)分布。

2)當元素近似均勻地分散在各種礦物中時，元素在巖石中呈正態(tài)分布，當元素集中在某種礦物中時，元素在巖石中則呈對數(shù)正態(tài)分布。

3)單一地球化學作用下，元素多數(shù)呈對數(shù)正態(tài)分布，多次地球化學作用綜合產(chǎn)物中元素分布形式趨向于正態(tài)分布(如新鮮花崗巖中，親硫元素呈對數(shù)正態(tài)分布，而在多次表生作用所形成的土壤中則呈正態(tài)分布)。

4)對數(shù)正態(tài)分布可能代表一種混合體，換言之，對數(shù)正態(tài)總體不一定是在一次地質(zhì)作用過程中形成的，而是多次地質(zhì)作用疊加的結(jié)果。

基于以上的觀點，以及經(jīng)典統(tǒng)計學中聚類分析、因子分析、相關(guān)分析等都是以正態(tài)分布為條件，所以長期以來，在化探科研和生產(chǎn)中，在數(shù)據(jù)處理時，首先關(guān)心和關(guān)注的是所獲數(shù)據(jù)中各元素的概率正態(tài)分布的特征，以用于進行異常下限的確定、異常圖的制作和多元統(tǒng)計分析。

1.3 正態(tài)分布的應用探討

地球化學元素正態(tài)分布觀念已被業(yè)內(nèi)認知和認同了多年，但是從實際的數(shù)據(jù)來看，微量元素呈對數(shù)正態(tài)分布，常量元素呈現(xiàn)正態(tài)分布，這一規(guī)律并不適用于目前以各種方法獲得的化探數(shù)據(jù)。無論是1∶200 000區(qū)域化探數(shù)據(jù)中的39種元素，還是1∶50 000普查數(shù)據(jù)中的十幾種成礦元素，以及大比例尺詳查數(shù)據(jù)中的成礦元素；無論是對水系沉積物還是對土壤樣品進行分析獲得的數(shù)據(jù)中的各元素；無論是全國范圍內(nèi)的[14]還是一個成礦帶上的數(shù)據(jù)集中的各元素，很難得到一套數(shù)據(jù)符合以上的概率分布規(guī)律。不成正態(tài)分布的微量元素，即使變換為對數(shù)也無法達到對數(shù)正態(tài)分布。區(qū)域化探數(shù)據(jù)中的常量元素幾乎也不符合正態(tài)分布的描述。有的元素，甚至在經(jīng)過一個迭代剔除過程后都未必能夠滿足近似正態(tài)分布。如圖2中，某圖幅1∶200 000區(qū)化數(shù)據(jù)中的Ag的對數(shù)值，經(jīng)過4次迭代后也達不到近似對數(shù)正態(tài)分布。

實際科研生產(chǎn)中獲得的地球化學元素的概率分布并不遵循正態(tài)分布，而是呈明顯的正向偏斜(右偏)或表現(xiàn)為一種冪形的拖尾分布，這是多年來隨著方法技術(shù)的發(fā)展獲得一個明確的結(jié)論[15]。其實國外也早有學者對五十年代提出的這個理論給予了質(zhì)疑和否定[16]。實際上，具有空間依賴性的數(shù)據(jù)是不能滿足經(jīng)典統(tǒng)計學中樣品相互獨立的假設的。地球化學數(shù)據(jù)首要的屬性是空間依賴性，因此，它并不具備正態(tài)分布的固有屬性。

圖2 某圖幅1∶200 000 化探數(shù)據(jù)Ag迭代剔除過程中概率分布圖Fig.2 The Ag graph of normal distribution in iteration process(a)原始數(shù)據(jù)；(b)第1次迭代；(c)第2次迭代；(d)第3次迭代；(e)第4次迭代

鑒于以上的普遍現(xiàn)象，在對化探數(shù)據(jù)進行概率分布分析時，根據(jù)約定成俗的認識就對元素進行正態(tài)分布、對數(shù)正態(tài)分布的統(tǒng)一描述是不恰當?shù)?。對于不符合正態(tài)的分布的元素，在確定其異常下限時，可以采用EDA的5參數(shù)法或分形分析等處理方法。

2 對數(shù)變換和對數(shù)值

2.1 對數(shù)變換的意義

在對各門類的科學數(shù)據(jù)進行數(shù)據(jù)處理時，需引入對數(shù)變換這種變換方式。其理論基礎是對數(shù)函數(shù)在其定義域內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)，取對數(shù)后不會改變數(shù)據(jù)的相對關(guān)系，但是可以做到：

1)把數(shù)據(jù)壓扁，縮小數(shù)據(jù)的絕對數(shù)值，方便計算。

2)讓方差恒定，數(shù)據(jù)相對集中，即波動相對穩(wěn)定。

3)減少原始數(shù)據(jù)中的奇異值的出現(xiàn)。

4)能夠簡化計算，把乘法計算轉(zhuǎn)化為加法，將除法計算轉(zhuǎn)為減法計算(計算機對n個元素幾何平均值的計算就是采用取對數(shù)后相加再取真值獲得的)。

5)對不符合正態(tài)分布的數(shù)據(jù)，利用對數(shù)變換可以使得數(shù)據(jù)接近正態(tài)分布。

地球化學數(shù)據(jù)在處理時應用對數(shù)變換，是由于微量元素不符合正態(tài)分布而符合對數(shù)正態(tài)分布的觀點所致。所以在異常下限的確定、色階值的選取及直方圖的制作過程中都引入了對數(shù)的概念。

2.2 對數(shù)變換的應用探討

2.2.1 確定異常下限

確定某元素的異常下限一個通用的方法是在數(shù)據(jù)符合正態(tài)分布的前提下[17-19]，其平均值即為該元素的背景值，異常下限則為平均值+n(通常取2)倍的標準離差[20-21]。微量元素不符合正態(tài)分布而符合對數(shù)正態(tài)分布這個觀念，使在化探數(shù)據(jù)處理過程中，在對數(shù)據(jù)取對數(shù)后，利用獲得對數(shù)的平均值和對數(shù)的標準離差，求得(對數(shù)的平均值+2倍對數(shù)標準離差)對數(shù)值的異常下限，再轉(zhuǎn)換為真值，即為該元素的異常下限。在實際應用的時候，發(fā)現(xiàn)通過這種方式獲得的異常下限值過高，這是因為對對數(shù)變換中獲得的對數(shù)標準離差的誤用引起的。

(2)

(3)

由式(2)和式(3)可以看出：對數(shù)平均值的真數(shù)等于原始數(shù)據(jù)的幾何平均值，但是對數(shù)的標準離差的真數(shù)并不和原始數(shù)據(jù)的標準離差相吻合，也就是說與原始數(shù)據(jù)的標準離差是不相等的。所以利用對數(shù)的平均值和2倍標準離差求和后再取真值，由于是呈指數(shù)數(shù)量級的變換，所獲異常下限超出了預期。在實際應用中發(fā)現(xiàn)，以對數(shù)方式計算，有的元素的異常下限值最大超過按真值計算所獲異常下限的1/3。這樣的結(jié)果是由于對對數(shù)標準離差的誤用而引起的。如果利用幾何平均值和對數(shù)變換后對應的真值的標準離差來獲得異常下限，就沒有如此大的差異或偏頗，應該是可靠的或可用的異常下限值(表1和表2)。由表1 和表2可以看出，異常下限值分別是經(jīng)歷了迭代過程接近于正態(tài)分布或?qū)?shù)正態(tài)分布時的取值。

表1 1∶50 000數(shù)據(jù)真值剔除和對數(shù)剔除過程結(jié)果對比表

*:表明數(shù)據(jù)為對數(shù)值.數(shù)據(jù)單位：Au為ng/g,其他為μg/g。

表2 1∶200 000數(shù)據(jù)真值剔除和對數(shù)剔除過程結(jié)果對比表

*表明數(shù)據(jù)為對數(shù)值，數(shù)據(jù)單位：Au、Ag為ng/g,氧化物為%,其他元素為μg/g。

表1～表2中的數(shù)據(jù)是利用GeochemStudio1.5系統(tǒng)進行統(tǒng)計的。實現(xiàn)原理是按雙精度的字段分別進行統(tǒng)計，然后按表達精度進行了小數(shù)位的取舍獲得的。另外，按“對應的真值的統(tǒng)計”結(jié)果中的標準離差是按著真值計算獲得的，所以不對應“按對數(shù)統(tǒng)計”中標準離差的真值，也恰好說明兩個值的不一致。

2.2.2 確定等值線的色階值

在地球化學圖的制作過程中，標準規(guī)定了根據(jù)0.1lg對數(shù)間隔和累頻對應值設置色階的方式。若采用對數(shù)0.11g間隔的方式，即采用真值為1、 1.2(1.3)、1.5(1.6)、2、2.5、3(3.2)、4、5、6(6.3)、8、10、12、15等這樣的數(shù)字序列。這是來自于微量元素呈對數(shù)正態(tài)分布的思路。經(jīng)過實踐證明這樣的設置是不妥的：①目前看來，實際科研生產(chǎn)中已經(jīng)獲得的區(qū)域化探數(shù)據(jù)、普查或詳查數(shù)據(jù)中的微量元素并不符合對數(shù)正態(tài)分布；②在制作地球化學圖時，利用的并不是原始數(shù)據(jù)而是網(wǎng)格數(shù)據(jù)，所以色階的設置要根據(jù)網(wǎng)格數(shù)據(jù)的特征來進行。0.11g間隔設置色階后其直方圖如圖3和圖4所示，從圖4中可以看出，即使常量元素按0.11g的對數(shù)間隔設置的色階也不合適。在實際制作地球化學圖時，按標準設定色階后再進行比較大刪減改動過程也證明了這一點。鑒于對數(shù)色階的不合理性，目前，地球化學圖的制作，其色階的設置選用累頻的方式更為方便和合理。

圖3 Ag元素按對數(shù)0.1間隔設置后的色階分布直方圖Fig.3 Ag levels distribution histogram by 0.1 log interval

圖4 Al2O3元素按對數(shù)0.1間隔設置后的色階分布直方圖Fig.4 Al2O3 levels distribution histogram by 0.1 log interval

2.2.3 制作直方圖

無論是區(qū)域地球化學勘查的新舊規(guī)范，還是地球化學普查新舊規(guī)范，皆要求在各元素地球化學圖的左側(cè)，繪制全圖幅與各主要地質(zhì)單元的對數(shù)直方圖，并標注地質(zhì)符號、樣品數(shù)、平均值、標準離差和變異系數(shù)CV。而以對數(shù)坐標制作獲得的直方圖，圖上要標記原始數(shù)據(jù)的平均值、標準離差和變異系數(shù)，矛盾在此顯現(xiàn)。對數(shù)的算數(shù)平均值的真值和原始數(shù)據(jù)的幾何平均值相對應，原始數(shù)據(jù)和對數(shù)變換后的數(shù)據(jù)，標準離差和變異系數(shù)是不同的。所以此部分將出現(xiàn)圖和參數(shù)不一致的情況(圖5)。

另一方面，對數(shù)變換后是沒有物理單位的。直方圖的坐標單位卻標記為log(ng/g)或log(μg/g),這樣的標記也是有歧義的。

從上可知，地球化學圖中直方圖的制作需要數(shù)和圖的統(tǒng)一。

3 結(jié)論

地球化學數(shù)據(jù)的處理技術(shù)，隨著計算機科學技術(shù)的發(fā)展而發(fā)展。業(yè)界在上世紀80、90年代的一些觀點(如認為對幾十種元素同時進行統(tǒng)計和處理都是不可能；將點位數(shù)據(jù)圖的制作當作保存數(shù)據(jù)的唯一可靠的方式等),已經(jīng)成為過去式。這也充分地說明計算機技術(shù)的進步及其帶來的影響，在各行各業(yè)已經(jīng)超出了人們的預期和想象。當今，地球化學數(shù)據(jù)處理技術(shù)的進步，必將促使對化探數(shù)據(jù)本身蘊含的規(guī)律有新的理解和認識，從而應用于實際的科研生產(chǎn)中。如：地球化學元素正態(tài)分布理論；地球化學圖中直方圖的形和數(shù)的不統(tǒng)一；通過對數(shù)平均值加上n倍標準離差再轉(zhuǎn)為真數(shù)(此方法在DZ/T0167-2006標準上曾給予特別的說明)確定異常下限的方式是不正確的；地球化學圖的制作，數(shù)據(jù)利用的是網(wǎng)格化數(shù)據(jù)，色階的制作要和網(wǎng)格化數(shù)據(jù)緊密結(jié)合等。但是在新修訂的普查規(guī)范(DZ/T 0011-2015)，在對地球化學圖的基本要求中，仍然要求以原始數(shù)據(jù)直接勾繪等量線圖[20]的規(guī)定顯然會引起異議；新規(guī)范中雖然略去了利用對數(shù)變換計算異常下限的實例，但是此方法還有許多人仍然習慣性地在利用。鑒于此，筆者將獲得的化探數(shù)據(jù)既不服從正態(tài)分布，也不符合對數(shù)正態(tài)分布；對數(shù)變換求異常下限標準差的誤用等新認識給予論述，以供業(yè)界參考。

圖5 某元素的對數(shù)直方圖Fig.5 Log histogram of an element

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The discussing of normal distribution and log value in geochemical exploration

GAO Yanfang1,2， LIU Qingqing1,2, WANG Wei1,2， WANG Wenjun3

(1.Key Laboratory of Geochemical Exploration, Ministry of Land and Resources, Langfang 065000,China; 2.Institute of Geophysical and Geochemical Exploration, CAGS, Langfang 065000,China； 3.The Fourth Geology Institute of Minal Development Bureau of Henan，Zhengzhou 450001,China)

The view of many macroelements being normal distribution and trace elements being lognormal distribution has been applying in research and production of geochemical exploration for a long time .Getting anomaly threshold using log transformation and setting color levels using log value space are also based on the theory . In actual work ,the appreances of geochemical elements are not normal distribution .Anomaly threshold through log is higher and color value is unreasonable. By utilizing computing and visual technologhy and basing on mass data ,the researching about statistics distribution and anomaly threshold has been done in this paper. The result is the geochemical element data don't have normal distribution and the high anomaly value coming from the misusing of log transfer.

normal distribution; log transfer; anomaly threshold； standard deviation； color value

2016-07-08 改回日期：2017-03-10

中國地質(zhì)調(diào)查局地質(zhì)礦產(chǎn)調(diào)查專項(IGGE 02016023)

高艷芳(1965-)，女，教授級高級工程師，從事GIS技術(shù)的應用和軟件開發(fā)工作，E-mail：gaoyanfang@igge.cn。

1001-1749(2017)03-0404-07

P 631.4

A

10.3969/j.issn.1001-1749.2017.03.17