楊秀芳，張正娣，李紹龍，畢勤勝

頻域兩尺度下一類Filippov系統(tǒng)的非光滑分析

楊秀芳，張正娣，李紹龍，畢勤勝

(江蘇大學理學院，江蘇鎮(zhèn)江212013)

借助于含非光滑分界面的耦合Bohoffer-Van der Pol(BVP)電路系統(tǒng)，引入周期慢變的交流電源，構(gòu)建兩頻域尺度的Filippov系統(tǒng)。利用微分包含理論，分析了尺度因素與非光滑因素相互作用的機理。當周期激勵頻率遠遠小于系統(tǒng)固有頻率時，選取適當參數(shù)，得到了具有滑動結(jié)構(gòu)的復雜周期簇發(fā)振蕩，并結(jié)合理論分析揭示了滑動結(jié)構(gòu)的產(chǎn)生機制。數(shù)值結(jié)果與理論分析吻合較好。

Filippov系統(tǒng);頻域兩尺度;非光滑;簇發(fā);滑動結(jié)構(gòu)

0 引言

非光滑動力系統(tǒng)的研究，越來越引起國內(nèi)外學者的興趣和關(guān)注。Filippov系統(tǒng)作為一類典型的非光滑動力系統(tǒng)，反映到數(shù)學模型上，可以表示為右端不連續(xù)的常微分方程(組)，諸多學科領(lǐng)域內(nèi)的非光滑問題，都可以用此類模型來描述。例如，干摩擦系統(tǒng)［1］、切換電路［2］、生態(tài)與經(jīng)濟動力學的閾值［3－4］、電機中的間隙［5］、生物種群的庇護行為［6］和疾病動力學中的媒介效應(yīng)［7］等。

至今，對Filippov系統(tǒng)動力學行為的研究已取得諸多成果，如文獻［8］給出了干摩擦系統(tǒng)分岔與混沌的實驗結(jié)果。分段線性系統(tǒng)作為一類特殊的Filippov系統(tǒng)，文獻［9］研究了參數(shù)激勵下分段線性兩尺度系統(tǒng)的分岔。文獻［10］通過施加連續(xù)和匹配條件考慮了分段弱非線性振子在周期激勵下的對稱型周期運動。文獻［11］拓展了文獻［12］的研究內(nèi)容，通過尤金等價的思想，利用非光滑分界面相對于兩側(cè)光滑向量場的方向?qū)?shù)，在理論上給出了滑動分岔以及擦邊分岔的規(guī)范型。文獻［13］基于Floquet乘子理論，通過引入輔助參數(shù)q，分析了激勵下的黏滑系統(tǒng)中穩(wěn)定周期軌道與不穩(wěn)定周期軌道在非光滑分界面處的動力學行為，指出了周期軌道Floquet乘子跳躍式的穿出單位圓的不連續(xù)分岔。但上述研究都是在單一尺度上，并沒有考慮廣泛存在的尺度因素對這一類典型非光滑系統(tǒng)的動力學行為的影響。

基于此，本文借助一個拓展的具有閾值控制特性的耦合廣義Bohoffer-Van der Pol(BVP)電路系統(tǒng)［14］，引入一個慢變交流電源，構(gòu)建一個兩頻域尺度的Filippov系統(tǒng)，其無量綱動力學方程表示為:

其中:向量X=［xyuv］T;x，y，u，v為狀態(tài)變量;α，β，γ，σ，η，e，η0為參數(shù)。系統(tǒng)(1)中周期激勵項w=10Usin(Ωτ)，U和Ω分別為外激勵振幅和頻率，τ為無量綱時間。

首先通過微分包含理論，探討尺度因素與非光滑因素之間的相互作用機制，并分析系統(tǒng)(1)在分界面可能出現(xiàn)的動力學行為;然后，選取適當參數(shù)，得到了典型的周期簇發(fā)振蕩，并結(jié)合數(shù)值結(jié)果驗證了理論分析的正確性。

1 非常規(guī)分岔分析

由于系統(tǒng)(1)的向量場不連續(xù)，為典型的Filippov系統(tǒng)，借助于微分包含理論，引入輔助參數(shù)q∈［0，1］，討論系統(tǒng)軌線在與非光滑分界面Σx=0接觸時的動力學行為，系統(tǒng)(1)可進一步改寫為:

為了明確尺度因素與非光滑因素之間的相互作用關(guān)系，在非光滑分界面Σx=0上，定義系統(tǒng)(1)滿足x·=0的區(qū)域，形式如下:

其中:ψ(τ)為eu(τ)+ηy(τ)或－η0－w+2η0q;q為連續(xù)閉集。對于任意時刻τ=τ'，假定η0＞0，則集存在上確界與下確界，分別為:

圖1為分界面處·x在單個激勵周期下的示意圖。如圖1所示，邊界可以將的取值范圍在分界面處劃分為4個部分:位于邊界以上的區(qū)域Ⅰ、位于邊界以下的區(qū)域Ⅲ、邊界所圍成的區(qū)域以及邊界本身。不妨假設(shè)在時刻τ'，軌線從任意光滑區(qū)域到達非光滑分界面顯然滿足x(τ')=0。下面，根據(jù)·x的取值情況，繼續(xù)討論軌線在非光滑分界面處的動力學行為。

圖1 分界面處x·在單個激勵周期下的示意圖

首先，根據(jù)x(τ')=0時對應(yīng)的曲線ψ(τ')在圖1所處的位置，得到3個確定區(qū)域，即軌線將在下一時刻的動力學行為是明確的。當ψ(τ')位于區(qū)域Ⅰ:x·＞0，則系統(tǒng)軌線由區(qū)域D－到達，并將橫截穿過非光滑分界面后進入?yún)^(qū)域D+運動。當ψ(τ')位于區(qū)域，滿足x·(τ')=ψ(τ')+ w(τ')－2q'η0+η0=0，其中，q'∈(0，1)滿足多值條件，且由于系統(tǒng)狀態(tài)變量是連續(xù)的，則系統(tǒng)軌線將在接下來的一段時間駐留在當ψ(τ')位于區(qū)域Ⅲ:x·(τ')＜0，則系統(tǒng)軌線是由區(qū)域D+到達，并將橫截穿過非光滑分界面后進入?yún)^(qū)域D－運動。將區(qū)域Ⅰ與區(qū)域Ⅲ稱為橫截穿過區(qū)域，將區(qū)域Ⅱ稱為系統(tǒng)的滑動區(qū)域。

2 數(shù)值驗證

選取參數(shù)σ=－0.2，η0=4.0，η=2.2，β=－0.8，γ=3.0，α=0.21，e=2.2，Ω=0.01，由于激勵頻率和系統(tǒng)固有頻率之間存在量級上的差異，系統(tǒng)往往會表現(xiàn)出快慢耦合的動力學行為，即簇發(fā)振蕩。當U=10.0時，系統(tǒng)的軌線與非光滑分界面Σx=0接觸，并呈現(xiàn)出一個自身關(guān)于原點對稱的周期簇發(fā)振蕩，如圖2所示。

圖2 系統(tǒng)(1)在U=10.0時的周期簇發(fā)振蕩

圖2a給出了系統(tǒng)U=10.0時，在(w，x)平面逆時針運動的周期簇發(fā)振蕩的轉(zhuǎn)換相圖及其與系統(tǒng)平衡曲線的疊加圖，圖2b為對應(yīng)的狀態(tài)變量x的時間歷程圖。數(shù)值結(jié)果顯示:整個周期簇發(fā)振蕩包含了兩個激發(fā)態(tài)SP±和兩個沉寂態(tài)QS±，如圖2b所示。通過對系統(tǒng)常規(guī)分岔的計算可以發(fā)現(xiàn):由超臨界Hopf分岔B1±、B2±和B5±(如圖2a中的三角形所示)生成的穩(wěn)定極限環(huán)SC1±與SC2±(如圖2a中細實線所示)，導致軌線圍繞平衡線(如圖2a中粗實線所示)振蕩(激發(fā)態(tài))，而這里的亞臨界Hopf分岔B3±與B4±使得平衡線的穩(wěn)定性發(fā)生改變，加上平衡線此時上下方向存在一定距離，導致軌線出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象，處于激發(fā)態(tài)。軌線在越過分岔點B1±后，逐漸收斂到平衡線上并沿著平衡線運行(沉寂態(tài))。

結(jié)合上述對于系統(tǒng)軌線接觸非光滑分界面時可能出現(xiàn)的動力學行為的分析，揭示整個周期簇發(fā)振蕩中出現(xiàn)的兩種不同滑動結(jié)構(gòu)的形成機制。圖3給出了一個振蕩周期內(nèi)的時間歷程、滑動邊界與曲線ψ(τ)的疊加圖。

圖3 時間歷程、滑動邊界與ψ(τ)的疊加

首先，結(jié)合數(shù)值結(jié)果來討論位于激發(fā)態(tài)中的“從分界面一側(cè)進入分界面-滑動-返回分界面同一側(cè)”滑動結(jié)構(gòu)的成因。假設(shè)以位于激發(fā)態(tài)SP－的點A1－為整個周期簇發(fā)振蕩的起始點，隨著軌線的運行，如圖3a右上角的局部放大圖所示，在τ0時刻，軌線首次由光滑區(qū)域D－到達分界面，對應(yīng)時刻的曲線ψ(τ0)在此時落在滑動區(qū)域內(nèi)部，由于系統(tǒng)變量的連續(xù)性，軌線將在分界面內(nèi)運行一段時間，出現(xiàn)滑動現(xiàn)象。而在時刻τ1，曲線ψ(τ)與滑動邊界橫截相交，并在此后進入橫截區(qū)域Ⅲ，導致軌線隨后脫離分界面并返回光滑區(qū)域D－。由數(shù)值結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，軌線在激發(fā)態(tài)SP－中多次呈現(xiàn)出從區(qū)域D－進入分界面-滑動-返回區(qū)域D－的滑動振蕩模式，其成因與軌線在時間區(qū)間［τ0，τ1］相同。相應(yīng)地，軌線在激發(fā)態(tài)SP+中多次出現(xiàn)從區(qū)域D+進入分界面-滑動-返回區(qū)域D+的滑動振蕩模式，其原因可相似地分析。

可見，軌線在整個周期簇發(fā)振蕩中出現(xiàn)的兩種滑動結(jié)構(gòu):“從分界面一側(cè)進入分界面-滑動-返回分界面同一側(cè)”與“進入分界面-滑動-穿過分界面”，數(shù)值結(jié)果和本文的理論分析吻合較好。

3 結(jié)束語

對于周期外激勵下Filippov系統(tǒng)，當外激勵頻率遠遠小于系統(tǒng)的固有頻率時，系統(tǒng)存在頻域兩尺度。把整個周期外激勵項看作一個慢變參數(shù)，利用微分包含理論，根據(jù)尺度因素與非光滑因素之間的相互作用機制，采取時間序列的分析法，分析了系統(tǒng)在非光滑分界面處可能出現(xiàn)的動力學行為。在數(shù)值驗證中，得到了系統(tǒng)具有滑動結(jié)構(gòu)的復雜周期簇發(fā)振蕩，其滑動結(jié)構(gòu)的產(chǎn)生與理論分析吻合較好。

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O29

A

1672－6871(2017)05－0065－05

10.15926/j.cnki.issn1672－6871.2017.05.014

國家自然科學基金項目(11472115，11472116)

楊秀芳(1990－)，女，江蘇南京人，碩士生;張正娣(1972－)，女，江蘇丹陽人，教授，博士，博士生導師，主要研究方向為非線性動力學.

2017－03－01