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        頻域兩尺度下一類Filippov系統(tǒng)的非光滑分析

        2017-07-01 19:44:33楊秀芳張正娣李紹龍畢勤勝
        關(guān)鍵詞:軌線激發(fā)態(tài)頻域

        楊秀芳,張正娣,李紹龍,畢勤勝

        頻域兩尺度下一類Filippov系統(tǒng)的非光滑分析

        楊秀芳,張正娣,李紹龍,畢勤勝

        (江蘇大學(xué)理學(xué)院,江蘇鎮(zhèn)江212013)

        借助于含非光滑分界面的耦合Bohoffer-Van der Pol(BVP)電路系統(tǒng),引入周期慢變的交流電源,構(gòu)建兩頻域尺度的Filippov系統(tǒng)。利用微分包含理論,分析了尺度因素與非光滑因素相互作用的機(jī)理。當(dāng)周期激勵(lì)頻率遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于系統(tǒng)固有頻率時(shí),選取適當(dāng)參數(shù),得到了具有滑動結(jié)構(gòu)的復(fù)雜周期簇發(fā)振蕩,并結(jié)合理論分析揭示了滑動結(jié)構(gòu)的產(chǎn)生機(jī)制。數(shù)值結(jié)果與理論分析吻合較好。

        Filippov系統(tǒng);頻域兩尺度;非光滑;簇發(fā);滑動結(jié)構(gòu)

        0 引言

        非光滑動力系統(tǒng)的研究,越來越引起國內(nèi)外學(xué)者的興趣和關(guān)注。Filippov系統(tǒng)作為一類典型的非光滑動力系統(tǒng),反映到數(shù)學(xué)模型上,可以表示為右端不連續(xù)的常微分方程(組),諸多學(xué)科領(lǐng)域內(nèi)的非光滑問題,都可以用此類模型來描述。例如,干摩擦系統(tǒng)[1]、切換電路[2]、生態(tài)與經(jīng)濟(jì)動力學(xué)的閾值[3-4]、電機(jī)中的間隙[5]、生物種群的庇護(hù)行為[6]和疾病動力學(xué)中的媒介效應(yīng)[7]等。

        至今,對Filippov系統(tǒng)動力學(xué)行為的研究已取得諸多成果,如文獻(xiàn)[8]給出了干摩擦系統(tǒng)分岔與混沌的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。分段線性系統(tǒng)作為一類特殊的Filippov系統(tǒng),文獻(xiàn)[9]研究了參數(shù)激勵(lì)下分段線性兩尺度系統(tǒng)的分岔。文獻(xiàn)[10]通過施加連續(xù)和匹配條件考慮了分段弱非線性振子在周期激勵(lì)下的對稱型周期運(yùn)動。文獻(xiàn)[11]拓展了文獻(xiàn)[12]的研究內(nèi)容,通過尤金等價(jià)的思想,利用非光滑分界面相對于兩側(cè)光滑向量場的方向?qū)?shù),在理論上給出了滑動分岔以及擦邊分岔的規(guī)范型。文獻(xiàn)[13]基于Floquet乘子理論,通過引入輔助參數(shù)q,分析了激勵(lì)下的黏滑系統(tǒng)中穩(wěn)定周期軌道與不穩(wěn)定周期軌道在非光滑分界面處的動力學(xué)行為,指出了周期軌道Floquet乘子跳躍式的穿出單位圓的不連續(xù)分岔。但上述研究都是在單一尺度上,并沒有考慮廣泛存在的尺度因素對這一類典型非光滑系統(tǒng)的動力學(xué)行為的影響。

        基于此,本文借助一個(gè)拓展的具有閾值控制特性的耦合廣義Bohoffer-Van der Pol(BVP)電路系統(tǒng)[14],引入一個(gè)慢變交流電源,構(gòu)建一個(gè)兩頻域尺度的Filippov系統(tǒng),其無量綱動力學(xué)方程表示為:

        其中:向量X=[xyuv]T;x,y,u,v為狀態(tài)變量;α,β,γ,σ,η,e,η0為參數(shù)。系統(tǒng)(1)中周期激勵(lì)項(xiàng)w=10Usin(Ωτ),U和Ω分別為外激勵(lì)振幅和頻率,τ為無量綱時(shí)間。

        首先通過微分包含理論,探討尺度因素與非光滑因素之間的相互作用機(jī)制,并分析系統(tǒng)(1)在分界面可能出現(xiàn)的動力學(xué)行為;然后,選取適當(dāng)參數(shù),得到了典型的周期簇發(fā)振蕩,并結(jié)合數(shù)值結(jié)果驗(yàn)證了理論分析的正確性。

        1 非常規(guī)分岔分析

        由于系統(tǒng)(1)的向量場不連續(xù),為典型的Filippov系統(tǒng),借助于微分包含理論,引入輔助參數(shù)q∈[0,1],討論系統(tǒng)軌線在與非光滑分界面Σx=0接觸時(shí)的動力學(xué)行為,系統(tǒng)(1)可進(jìn)一步改寫為:

        為了明確尺度因素與非光滑因素之間的相互作用關(guān)系,在非光滑分界面Σx=0上,定義系統(tǒng)(1)滿足x·=0的區(qū)域,形式如下:

        其中:ψ(τ)為eu(τ)+ηy(τ)或-η0-w+2η0q;q為連續(xù)閉集。對于任意時(shí)刻τ=τ',假定η0>0,則集存在上確界與下確界,分別為:

        圖1為分界面處·x在單個(gè)激勵(lì)周期下的示意圖。如圖1所示,邊界可以將的取值范圍在分界面處劃分為4個(gè)部分:位于邊界以上的區(qū)域Ⅰ、位于邊界以下的區(qū)域Ⅲ、邊界所圍成的區(qū)域以及邊界本身。不妨假設(shè)在時(shí)刻τ',軌線從任意光滑區(qū)域到達(dá)非光滑分界面顯然滿足x(τ')=0。下面,根據(jù)·x的取值情況,繼續(xù)討論軌線在非光滑分界面處的動力學(xué)行為。

        圖1 分界面處x·在單個(gè)激勵(lì)周期下的示意圖

        首先,根據(jù)x(τ')=0時(shí)對應(yīng)的曲線ψ(τ')在圖1所處的位置,得到3個(gè)確定區(qū)域,即軌線將在下一時(shí)刻的動力學(xué)行為是明確的。當(dāng)ψ(τ')位于區(qū)域Ⅰ:x·>0,則系統(tǒng)軌線由區(qū)域D-到達(dá),并將橫截穿過非光滑分界面后進(jìn)入?yún)^(qū)域D+運(yùn)動。當(dāng)ψ(τ')位于區(qū)域,滿足x·(τ')=ψ(τ')+ w(τ')-2q'η0+η0=0,其中,q'∈(0,1)滿足多值條件,且由于系統(tǒng)狀態(tài)變量是連續(xù)的,則系統(tǒng)軌線將在接下來的一段時(shí)間駐留在當(dāng)ψ(τ')位于區(qū)域Ⅲ:x·(τ')<0,則系統(tǒng)軌線是由區(qū)域D+到達(dá),并將橫截穿過非光滑分界面后進(jìn)入?yún)^(qū)域D-運(yùn)動。將區(qū)域Ⅰ與區(qū)域Ⅲ稱為橫截穿過區(qū)域,將區(qū)域Ⅱ稱為系統(tǒng)的滑動區(qū)域。

        2 數(shù)值驗(yàn)證

        選取參數(shù)σ=-0.2,η0=4.0,η=2.2,β=-0.8,γ=3.0,α=0.21,e=2.2,Ω=0.01,由于激勵(lì)頻率和系統(tǒng)固有頻率之間存在量級上的差異,系統(tǒng)往往會表現(xiàn)出快慢耦合的動力學(xué)行為,即簇發(fā)振蕩。當(dāng)U=10.0時(shí),系統(tǒng)的軌線與非光滑分界面Σx=0接觸,并呈現(xiàn)出一個(gè)自身關(guān)于原點(diǎn)對稱的周期簇發(fā)振蕩,如圖2所示。

        圖2 系統(tǒng)(1)在U=10.0時(shí)的周期簇發(fā)振蕩

        圖2a給出了系統(tǒng)U=10.0時(shí),在(w,x)平面逆時(shí)針運(yùn)動的周期簇發(fā)振蕩的轉(zhuǎn)換相圖及其與系統(tǒng)平衡曲線的疊加圖,圖2b為對應(yīng)的狀態(tài)變量x的時(shí)間歷程圖。數(shù)值結(jié)果顯示:整個(gè)周期簇發(fā)振蕩包含了兩個(gè)激發(fā)態(tài)SP±和兩個(gè)沉寂態(tài)QS±,如圖2b所示。通過對系統(tǒng)常規(guī)分岔的計(jì)算可以發(fā)現(xiàn):由超臨界Hopf分岔B1±、B2±和B5±(如圖2a中的三角形所示)生成的穩(wěn)定極限環(huán)SC1±與SC2±(如圖2a中細(xì)實(shí)線所示),導(dǎo)致軌線圍繞平衡線(如圖2a中粗實(shí)線所示)振蕩(激發(fā)態(tài)),而這里的亞臨界Hopf分岔B3±與B4±使得平衡線的穩(wěn)定性發(fā)生改變,加上平衡線此時(shí)上下方向存在一定距離,導(dǎo)致軌線出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象,處于激發(fā)態(tài)。軌線在越過分岔點(diǎn)B1±后,逐漸收斂到平衡線上并沿著平衡線運(yùn)行(沉寂態(tài))。

        結(jié)合上述對于系統(tǒng)軌線接觸非光滑分界面時(shí)可能出現(xiàn)的動力學(xué)行為的分析,揭示整個(gè)周期簇發(fā)振蕩中出現(xiàn)的兩種不同滑動結(jié)構(gòu)的形成機(jī)制。圖3給出了一個(gè)振蕩周期內(nèi)的時(shí)間歷程、滑動邊界與曲線ψ(τ)的疊加圖。

        圖3 時(shí)間歷程、滑動邊界與ψ(τ)的疊加

        首先,結(jié)合數(shù)值結(jié)果來討論位于激發(fā)態(tài)中的“從分界面一側(cè)進(jìn)入分界面-滑動-返回分界面同一側(cè)”滑動結(jié)構(gòu)的成因。假設(shè)以位于激發(fā)態(tài)SP-的點(diǎn)A1-為整個(gè)周期簇發(fā)振蕩的起始點(diǎn),隨著軌線的運(yùn)行,如圖3a右上角的局部放大圖所示,在τ0時(shí)刻,軌線首次由光滑區(qū)域D-到達(dá)分界面,對應(yīng)時(shí)刻的曲線ψ(τ0)在此時(shí)落在滑動區(qū)域內(nèi)部,由于系統(tǒng)變量的連續(xù)性,軌線將在分界面內(nèi)運(yùn)行一段時(shí)間,出現(xiàn)滑動現(xiàn)象。而在時(shí)刻τ1,曲線ψ(τ)與滑動邊界橫截相交,并在此后進(jìn)入橫截區(qū)域Ⅲ,導(dǎo)致軌線隨后脫離分界面并返回光滑區(qū)域D-。由數(shù)值結(jié)果可以發(fā)現(xiàn),軌線在激發(fā)態(tài)SP-中多次呈現(xiàn)出從區(qū)域D-進(jìn)入分界面-滑動-返回區(qū)域D-的滑動振蕩模式,其成因與軌線在時(shí)間區(qū)間[τ0,τ1]相同。相應(yīng)地,軌線在激發(fā)態(tài)SP+中多次出現(xiàn)從區(qū)域D+進(jìn)入分界面-滑動-返回區(qū)域D+的滑動振蕩模式,其原因可相似地分析。

        可見,軌線在整個(gè)周期簇發(fā)振蕩中出現(xiàn)的兩種滑動結(jié)構(gòu):“從分界面一側(cè)進(jìn)入分界面-滑動-返回分界面同一側(cè)”與“進(jìn)入分界面-滑動-穿過分界面”,數(shù)值結(jié)果和本文的理論分析吻合較好。

        3 結(jié)束語

        對于周期外激勵(lì)下Filippov系統(tǒng),當(dāng)外激勵(lì)頻率遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于系統(tǒng)的固有頻率時(shí),系統(tǒng)存在頻域兩尺度。把整個(gè)周期外激勵(lì)項(xiàng)看作一個(gè)慢變參數(shù),利用微分包含理論,根據(jù)尺度因素與非光滑因素之間的相互作用機(jī)制,采取時(shí)間序列的分析法,分析了系統(tǒng)在非光滑分界面處可能出現(xiàn)的動力學(xué)行為。在數(shù)值驗(yàn)證中,得到了系統(tǒng)具有滑動結(jié)構(gòu)的復(fù)雜周期簇發(fā)振蕩,其滑動結(jié)構(gòu)的產(chǎn)生與理論分析吻合較好。

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        O29

        A

        1672-6871(2017)05-0065-05

        10.15926/j.cnki.issn1672-6871.2017.05.014

        國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11472115,11472116)

        楊秀芳(1990-),女,江蘇南京人,碩士生;張正娣(1972-),女,江蘇丹陽人,教授,博士,博士生導(dǎo)師,主要研究方向?yàn)榉蔷€性動力學(xué).

        2017-03-01

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