袁江，周成一，莊麗陽，邱自學，高傳耀(.南通大學機械工程學院，江蘇南通609;.南通第五機床有限公司，江蘇南通666)

主軸熱誤差的改進累積法建模研究*

袁江1，周成一1，莊麗陽1，邱自學1，高傳耀2
(1.南通大學機械工程學院，江蘇南通226019;2.南通第五機床有限公司，江蘇南通226661)

為提高機床的加工精度，針對主軸熱誤差建模，結(jié)合最小二乘原理和F分布檢驗提出了一種改進的累積新算法。對一臺立式加工中心，采用激光位移傳感器和分布的溫度傳感器同步測量主軸熱變形及溫度變化;對獲取的建模數(shù)據(jù)，結(jié)合方差分析和F分布檢驗確定累積階次K的最小值，在提高熱誤差建模精度的同時降低算法的復雜度;并進行累積算子求和，構(gòu)建K(＞N+1)階累積方程組，再運用最小二乘原理得出K階累積廣義均值的正規(guī)方程組，最后通過矩陣求解實現(xiàn)回歸建模及參數(shù)估計。最后，對機床變工況條件下主軸熱誤差進行了實驗與建模預測。結(jié)果表明:改進累積法的建模精度高于普通累積法，同時保證了建模效率。

主軸;熱誤差;累積法;建模

0 引言

近年來，隨著機床制造水平的快速發(fā)展，機床主軸發(fā)熱導致的變形問題成為影響加工精度的主要原因［1-2］。為有效控制熱誤差以提高機床加工精度，國內(nèi)外學者進行了大量的研究，在熱誤差建模方法上提出了灰色理論、神經(jīng)網(wǎng)絡、最小二乘支持向量機［3-4］等多種算法，這些算法有的精度較高但建模時間長，有的建模精度不夠理想、魯棒性差，因此還需要尋求高效率、高精度的建模算法以適應現(xiàn)場熱誤差補償?shù)男枰?/p>

累積法具有簡單、直觀，不直接處理模型的誤差項等特點［5-6］，其建立的模型可以保證平均誤差為零，絕對誤差最小。袁江［7］等人成功將其運用到主軸熱誤差建模上，且建模精度、建模效率相比較傳統(tǒng)的最小二乘法已經(jīng)有所改善。但該方法在應用中也存在以下兩個主要問題:①普通累積法采用K=N+1的累積階次，其建模精度比最小二乘法沒有顯著改善;②隨著累積階次K的增加，建模精度雖有提高，但計算量增加、建模效率下降［8］。

為提高機床主軸熱誤差建模的精度和效率，本文提出一種改進的累積新算法，先通過方差分析和F分布檢驗確定最小的累積階次K，在保證建模精度有顯著提高的同時降低算法的復雜度;然后構(gòu)造K(＞N+1)個累積方程，利用補償性減小隨機誤差的影響［9-10］，根據(jù)最小二乘原理求解正規(guī)方程得出熱誤差模型，并將該模型與普通累積法模型進行了建模精度與效率的對比分析。

1 改進累積法

具體建模算法如下:

(1)設(Xj1，Xj2…Xjn)，j=1，2…m為n個溫度測點的溫度序列，(Yj)，j=1，2…m為位移測點的位移數(shù)據(jù)，則熱誤差樣本數(shù)據(jù)為(Xj1，Xj2…Xjn;Yj)，j=1，2…m。

(2)設累積回歸模型為:

(3)通過方差分析和F分布檢驗選取最小的累積階次K:

采用單側(cè)檢驗，當F＜F0.95(υ1，υ2)時，此時模型的殘余標準差的減小程度達到了α=0.05的顯著性水平，選用此時的K確立模型。

(5)根據(jù)K階累積和，結(jié)合最小二乘原理，構(gòu)建K(＞N+1)階累積方程組，使方程數(shù)大于未知量數(shù):

(6)根據(jù)累積廣義均值將累積方程組轉(zhuǎn)化成矩陣形式:

(7)根據(jù)最小二乘原理，設珔Ti(x珋1)=x1i，珔Ti(x珋2)= x2i…珔Ti(x珋n)=xni;珔Ti(Y)=yi，將累積正規(guī)方程中的系數(shù)作為數(shù)據(jù)源輸入最小二乘法求解，并得出最小二乘正規(guī)方程:

(8)按矩陣形式求解，則正規(guī)方程解的矩陣表達式為:

將式(9)帶入式(8)中求解，實現(xiàn)建模與參數(shù)估計:

2 熱誤差測試與建模

圖1 熱誤差測試系統(tǒng)

2.1 機床熱誤差測試

選取一臺VMC1060數(shù)控機床為被測對象，測試系統(tǒng)如圖1所示，其中，分布的溫度傳感器測量機床主軸熱敏區(qū)域內(nèi)溫度信息，而激光位移傳感器測量主軸軸向的變形;上位機對溫度傳感器及激光位移傳感器同步發(fā)送命令，并將接收的溫度、熱位移信息實時顯示存儲。測試時，每隔3min采集一次各測點溫度x和熱位移y，共采集43組數(shù)據(jù)［11-12］。測試結(jié)果如圖2所示。

圖2 熱誤差測試結(jié)果

2.2 建模算法程序設計

在圖形化開發(fā)軟件LabVIEW平臺上開發(fā)了專用的改進累積回歸建模算法程序，其流程如圖3所示。

圖3 改進累積法建模流程圖

2.3 最小累積階次K的選取

構(gòu)建熱誤差回歸模型之前需要確定累積矩陣階數(shù)K和熱誤差樣本容量m，由于本熱誤差實驗選取兩個熱敏測點進行測試，即熱誤差方程的自變量為溫度x1和溫度x2，且各含有43組數(shù)據(jù)，因此有:

根據(jù)累積法性質(zhì)矩陣X(k)與X具有相同的秩，得ran(X(k))=ranX=3，所以首先取K=4(＞2+1)，m=43。然后，對熱誤差樣本的k階累積和進行計算以構(gòu)建出累積矩陣:

由X(k)≠0得X(k)為非奇異矩陣，因此，可構(gòu)建熱誤差正規(guī)方程Y(k)=X(k)β，在LabVIEW中的運行結(jié)果如圖4所示。

圖4 改進累積法(K=4)建模結(jié)果

由程序計算結(jié)果得K=4(＞2+1)時，回歸模型下的殘余標準差σ22=7.84×10(－5)，與K=3(=2+1)時，普通累積法的殘余標準差σ21= 9.21×10(－5)比較，并進行F檢驗，得F=0.851＞F0.95(43，43)=0.591，可知K=4時的改進累積法對模型精度有所提高，但并未達到α=0.05的顯著性水平。

增大累積階次，使K=5(＞2+1)并進行回歸建模，經(jīng)過程序運行可知，K=5時的改進累積法對模型精度有所提高，但仍未達到α=0.05的顯著性水平。

故繼續(xù)增大累積階次。直至K=8(＞2+1)時，從圖5可以看出，基于改進累積算法(k=8)的熱誤差模型為y=0.00790x1－0.00469x2+0.00173。經(jīng)過F檢驗可知F=0.589＜F0.95(43，43)=0.591，即其殘余標準差的減小已經(jīng)達到了α=0.05的顯著性水平，得到的建模結(jié)果見圖5。因此選用k=8時的改進累積法模型。

圖5 改進累積法(k=8)建模結(jié)果

3 建模算法對比分析

分別采用改進累積法和普通累積法對機床熱誤差測試數(shù)據(jù)進行了建模，如圖5、圖6所示，并對模型預測值、樣本幾何中心、殘余標準差以及效率指標進行了對比分析。

3.1 模型預測值

通過對比模型預測值，可十分直觀、清晰地表現(xiàn)出各模型預測值的變化趨勢，能否有效跟隨實際熱誤差以及圍繞實際熱誤差的波動幅度。兩種算法的各模型預測值與實際值對比效果如圖7所示。

圖6 普通累積法建模結(jié)果

圖7 各模型預測值與實際測量值對比效果

從圖7不難看出，①無論機床是否達到熱平衡狀態(tài)，改進累積法模型的預測效果均為最優(yōu)，能有效跟隨機床熱誤差的變化趨勢，其預測值基本圍繞實測值分部，且波動幅度較小;②普通累積法模型在機床未達到熱平衡狀態(tài)時，預測結(jié)果和實際情況偏差較小。隨著溫度不斷升高，直到機床基本處于熱平衡狀態(tài)時，其預測精度反而有所下降，和改進累積法模型的穩(wěn)定性相比仍有一定差距。

3.2 樣本幾何中心

設(xj1，xj2，…xjn;Yj)，j=1，2…m為給定的樣本，(x珋1，…x珋n;珔Y)為其幾何中心。故為驗證模型的可靠性，對樣本幾何中心(x1，x2，Y)分別采用改進累積法和普通累積法對幾何中心估計值進行計算，公式為:

結(jié)果得改進累積法估計值為0.009324，普通累積法估計值為0.009313，計算誤差忽略不計，說明改進累積法所得的回歸模型與普通累積法基本一致。

3.3 殘余標準差

采用殘余標準差作為模型精度評價指標，結(jié)果如表1所示。其中殘余標準差計算公式為:

其中:yi和i分別為實際值與預測值，m為樣本數(shù)，n為自變量數(shù)。

表1 建模精度對比結(jié)果

由表1可以看出，改進累積法的建模精度最優(yōu)，和普通累積法相比，建模精度得到顯著提高。

3.4 建模效率

在提高建模精度的同時，降低算法的復雜度，保證建模效率同樣是算法關注的重點，各算法建模效率如表2所示。

表2 建模效率對比結(jié)果

由表2可以看出，改進累積法與普通累積法相比，模型構(gòu)建時間相當，建模效率并未有較大下降。因此，改進累積法較普通累積法，在提高建模精度的同時，保證了高效的建模效率。

4 結(jié)論

結(jié)合最小二乘原理和方差F分部檢驗，提出一種改進的累積新算法，并以某型號立式加工中心為實驗對象，對其建立了主軸軸向熱誤差預測模型。比較分析了改進累積法模型和普通累積法模型對主軸軸向熱誤差的預測效果，可以得到如下結(jié)論:

(1)改進累積法既保留了普通累積法簡單、直觀、不直接處理模型誤差項等特點，也解決了其累積階次K的選取問題，在保證建模效率的基礎上，進一步提高了熱誤差補償模型的預測精度;

(2)對VMC1060數(shù)控機床進行改進累積法建模試驗，取得了良好的預測效果，并與普通累積法進行了模型對比分析。結(jié)果表明，改進累積法模型建模精度指標有顯著提高，建模時間低于2s，為后續(xù)的熱誤差實時補償提供了良好的基礎。

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(編輯李秀敏)

Modeling Research on Machine Tool Spindle Thermal Error Based on Improved Cumulative Method

YUAN Jiang1，ZHOU Cheng-yi1，ZHUANG Li-yang1，QIU Zi-xue1，GAO Chuan-yao2
(1.School of Mechanical Engineering，Nantong University，Nantong Jiangsu 226019，China;2.Nantong No.5 Machine Tool Company Ltd，Nantong Jiangsu 226661，China)

To improve the accuracy and efficiency of machine toolthermalerror modeling，a new improved cumulative method w as proposed by using the leastsquares method and F distribution test.For a verticalmachining center，the temperature and thermal deformation of spindle were measured simultaneously by using distributional temperature sensors and laser displacement sensor.The minimum value of cumulative order K was determined by using variance analysis and F distribution test，which can not only improve thermal error modeling accuracy，but also reduce the complexity of algorithm.Cumulative operator sum and K(＞N+1) order cumulative equations were built，and then the normalequations of K order cumulative generalaverage were obtained based on the principle of least squares.Regression modeling and parameter estimation w ere realized by using the matrix calculation.Finally，the thermal error on machine tool spindle under the changing w orking condition w as calculated and the results show that the modeling accuracy of improved cumulative method is higher than the ordinary cumulative method，w hile cumulative method model construction time is not far longer than other.

spindle;thermal error;cumulative method;modeling

TH161;TG506

A

1001－2265(2017)04－0056－04

10.13462/j.cnki.mmtamt.2017.04.014

2016－07－20;

2016－08－15

江蘇省前瞻性聯(lián)合研究項目(BY2016053－04);南通市重大科技創(chuàng)新專項資助(XA2014011)

袁江(1968—)，男，江蘇南通人，南通大學副教授，碩士，研究方向為機電系統(tǒng)測控技術(shù)，(E－mail)yuanjiang68@126.com。