陳 玲，王 琦，汪圣祥

(廣東工業(yè)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院 ，廣東 廣州 510520)

非線性分段連續(xù)型延遲微分方程的變分迭代解法

陳 玲，王 琦，汪圣祥

(廣東工業(yè)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院 ，廣東 廣州 510520)

主要利用變分迭代法求解自變量分段連續(xù)型延遲微分方程的初值問(wèn)題，由變分理論得到了拉格朗日乘子，進(jìn)而構(gòu)造了迭代關(guān)系式，在不同的區(qū)間上求得了各階解析近似解，并且證明了變分迭代解是收斂的，最后，數(shù)值算例驗(yàn)證了理論結(jié)果。

變分迭代方法；拉格朗日乘子；限制變分；解析近似解

0 引言

近年來(lái)，變分迭代方法被廣泛地應(yīng)用于求解線性和非線性微分方程，越來(lái)越多的科研人員采用這種方法得到各種方程的近似解，從而顯示出變分迭代方法在工程實(shí)際中的重要作用。用變分迭代法求解非線性問(wèn)題時(shí)，不需要對(duì)方程的非線性部分進(jìn)行離散化、線性化或者引入攝動(dòng)參數(shù)，從而減少了計(jì)算量。變分迭代方法由何吉?dú)g[1-3]首次提出后迅速發(fā)展，人們用變分迭代法求解了許多微分方程的近似解，都得到了令人滿意的結(jié)果。2010年，Shang[4]研究了n階的積分微分方程，實(shí)例結(jié)果證明變分迭代法比同倫攝動(dòng)法簡(jiǎn)單和有效。2011年，Lu J F[5]應(yīng)用變分迭代法求解了Fornberg-Whitham方程，驗(yàn)證了此方法求解該方程的可靠性和有效性.2012年，李歆[6]介紹了變分迭代法求解中立型微分方程，從理論上證明該方法的收斂性。2013年，姜兆敏[7]利用變分迭代法得到常微分方程初值問(wèn)題的無(wú)窮級(jí)數(shù)解，對(duì)于線性微分方程初值問(wèn)題，無(wú)窮級(jí)數(shù)解收斂于精確解。2014年，代群[8]等用變分迭代法求解了一類(lèi)分?jǐn)?shù)階微分方程組，并改進(jìn)了校正函數(shù)，驗(yàn)證了此方法求分?jǐn)?shù)階微分方程組的近似解是有效的且準(zhǔn)確。

到目前為止，筆者并沒(méi)有注意到變分迭代法被用于求解自變量分段連續(xù)型延遲微分方程，因此，本文針對(duì)一類(lèi)非線性自變量分段連續(xù)型延遲微分方程，用變分迭代法進(jìn)行求解，證明了解析近似解的收斂性，并用數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了方法的有效性。

1 自變量分段連續(xù)型延遲微分方程的變分迭代解

本文主要考慮下面的微分方程：

(1)

其中a和c0是常數(shù)，[·]表示最大取整函數(shù)。

根據(jù)變分迭代方法的基本思想[9,10]，構(gòu)造如下的修正泛函：

將xn(s)xn([s])視為限制項(xiàng)，根據(jù)變分理論，得

由分部積分得

則穩(wěn)定性條件為

(2)

由(2)確定出λ(s)=-e-a(s-t)，則迭代格式為

(3)

當(dāng)t∈[0，1)時(shí)，迭代格式變?yōu)?/p>

(4)

選取x0,0(t)=x(0)=c0為初始迭代值，則有

定理1 當(dāng)t∈[0，1)時(shí)，方程(1)的n+1(n+0,1,2,…)次迭代結(jié)果的表達(dá)形式如下

證明 用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n=0時(shí)，成立 .

假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1)時(shí)成立，即

下面證明當(dāng)n=k+1也成立，由迭代公式(4)得

(5)

把x0,k+1(t)和x0,k+1(0)代入上式，經(jīng)計(jì)算，得

則

進(jìn)而有

代入(5)式得

即x0,n+1(t)是正確的。

對(duì)n+1次迭代的結(jié)果進(jìn)行變形得：

當(dāng)t∈[1，2)時(shí)，迭代格式變?yōu)?/p>

定理2 當(dāng)t∈[i，i+1)(i=0,1,2, …,n)時(shí)，方程(1)的n+1(n=0,1,2,…)次迭代結(jié)果為

(6)

證明 當(dāng)t∈[i，i+1)(i=0,1,2, …,n)時(shí)，迭代格式變?yōu)?/p>

(7)

由i取0和1可以歸納出

下面用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明：當(dāng)i=0時(shí)，成立 .

假設(shè)當(dāng)i=k(k≥1)時(shí)成立，即

下面證明當(dāng)i=k+1時(shí)也成立，由迭代公式(7)得

選取xk+1,0=ck+1=cke(1-ck)a

即xi,k+1(t)正確。

2 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

在本節(jié)中，我們將通過(guò)誤差分析和一個(gè)具體實(shí)例來(lái)說(shuō)明用變分迭代法的有效性。

定義1 設(shè)當(dāng)t∈[i，i+1)時(shí)，后一次迭代與前一次迭代的誤差函數(shù)為gi,(n+1)n(t)，則

gi,(n+1)n(t)=xi,n+1(t)-xi,n(t)

即

例 考慮如下非線性自變量分段連續(xù)型延遲微分方程

當(dāng)t∈[1，2),誤差(g1,(n+1)n(t)的絕對(duì)值)的變化由表1給出。

表1 t∈[1，2)時(shí)的誤差

當(dāng)t∈[2，3),誤差(g2,(n+1)n(t)的絕對(duì)值)的變化由表2給出。

表2 t∈[2，3)時(shí)的誤差

當(dāng)t∈[8，9),誤差(g8,(n+1)n(t)的絕對(duì)值)的變化由表3給出。

表3 t∈[8，9)時(shí)的誤差

續(xù)表3

t88．28．48．68．89n=1306．68E-521．34E-512．14E-501．01E-481．91E-47n=1402．61E-545．22E-542．61E-541．59E-523．77E-51n=1501．02E-561．53E-560．00E+002．04E-566．98E-55n=1601．99E-591．99E-590．00E+001．99E-591．19E-58n=1701．17E-617．78E-620．00E+000．00E+000．00E+00n=1803．04E-643．04E-641．52E-641．52E-641．52E-64n=1905．93E-671．19E-660．00E+005．93E-670．00E+00n=2002．32E-693．48E-691．16E-691．16E-690n=2104．53E-724．53E-720．00E+004．53E-720n=2201．77E-741．77E-740．00E+008．84E-758．84E-75

當(dāng)t∈[14，15),誤差(g14,(n+1)n(t)的絕對(duì)值的變化由表4給出。

表4 t∈[14，15)時(shí)的誤差

從表1～4可以得到當(dāng)t一定時(shí)誤差隨著n的增大越來(lái)越趨于0，這說(shuō)明隨著迭代次數(shù)的增加，后一次迭代和前一次迭代的結(jié)果越來(lái)越接近，從而可以得到方程在所考慮區(qū)間內(nèi)的近似解。

3 結(jié)論

本文主要用變分迭代法求解了一類(lèi)自變量分段連續(xù)型延遲微分方程，數(shù)值結(jié)果表明，該方法適用于求解分段連續(xù)型延遲微分方程，今后將進(jìn)一步考慮高維情形，以期推廣該方法的應(yīng)用范圍。

[1]He J. A new approach to nonlinear partial differential equations[J]. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 1997, 2(4): 230～235.

[2]He J H. Variational iteration method-a kind of non-linear analytical technique: some examples[J]. International journal of non-linear mechanics, 1999, 34(4): 699～708.

[3]He J H. Variational iteration method for autonomous ordinary differential systems[J]. Applied mathematics and computation, 2000, 114(2): 115～123.

[4]Shang X F,Han D F.Application of the variational iteration method for solving nth-orderintegro-differential equations.Journal of Computers and Applied Mathematics,2010,234:1442～1447.

[5]Lu J F.An analytical approach to the Fornberg-Whitham type equations by using the variational iteration method[J].Computers and Mathematics with Applications,2011,61:2010～2013.

[6]李 歆.延遲微分方程的變分迭代法[D]. 武漢：華中科技大學(xué), 2012.

[7]姜兆敏.常微分方程初值問(wèn)題的變分迭代算法[J].長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2013,34(1):9～12.

[8]代 群,王長(zhǎng)佳,李輝來(lái)，等.用變分迭代法解分?jǐn)?shù)階微分方程組[J].吉林大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版),2014,(5):901～905.

[9]He J H.Variational Iteration Method;A Kind of Non-linear Analytical Technique:Some Examples[J].Internat J Non-linear Mech,1999,34(4):699～708.

[10]He J H.Variational Iteration Method for Autonomous Ordinary Differential Systems[J].Appl Math Comput,2000,114(2/3):115～123.

Variational iteration method for nonlinear differential equation with piecewise continuous arguments

CHEN Ling,WANG Qi,WANG Sheng-xiang

(School of Appliced Mathematics,Guangdong University of Technology,Guangzhou 510520,China)

This paper deals with the problem of using variational iteration method to the initial value problem of delay differential equation with piecewise continuous arguments. The lagrange multiplier is obtained according to the theory of variation, then the iteration formula is constructed. Moreover, the analytical approximation solutions in different intervals are given and the convergence is proved. Finally, the theoretical results are verified by some some numerical examples.

variational iteration method; lagrange multiplier; restricted variation; analytical approximation solution

2016—06—08

陳玲(1990— ) ，女，湖北孝感人，碩士研究生，研究方向?yàn)樽宰兞糠侄芜B續(xù)型延遲微分方程.

O161

A

2096-3149(2017)01- 0027-08

10.3969/j.issn.2096-3149.2017.01.007