陳金宏，魯明，黃凱

(海軍指揮學(xué)院，江蘇 南京 210016)

改進的防空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)作戰(zhàn)效能評估模型*

陳金宏，魯明，黃凱

(海軍指揮學(xué)院，江蘇 南京 210016)

針對當(dāng)前防空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)作戰(zhàn)效能評估模型的局限性，運用排隊論基本原理，基于目標(biāo)有限等待和差錯服務(wù)，構(gòu)建了改進的作戰(zhàn)效能評估模型，并應(yīng)用該模型進行了驗證計算。結(jié)果表明，防空導(dǎo)彈的飛行速度、殺傷區(qū)遠(yuǎn)界和每次射擊擊毀概率是影響防空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)作戰(zhàn)效能的主要因素，對于優(yōu)化防空兵力部署、改進武器系統(tǒng)性能具有一定的參考價值。

防空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)；作戰(zhàn)效能評估；目標(biāo)有限等待；差錯服務(wù)；飛離強度；有效服務(wù)強度

0 引言

防空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)作戰(zhàn)效能分析是合理構(gòu)建防空體系的重要依據(jù)。從排隊論的角度看，來襲目標(biāo)飛越防空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)射擊服務(wù)區(qū)(以下簡稱射擊服務(wù)區(qū))的過程，相當(dāng)于有限等待和接受差錯服務(wù)[1]，若目標(biāo)成功接受射擊服務(wù)(被擊毀)而消失，視為服務(wù)有效，否則目標(biāo)再次接受射擊服務(wù)；若目標(biāo)等待服務(wù)或接受服務(wù)的時間過長，目標(biāo)將飛離射擊服務(wù)區(qū)而成功突防。本文基于目標(biāo)有限等待和差錯服務(wù)，對所有進入射擊服務(wù)區(qū)的目標(biāo)計算飛離強度，并以有效服務(wù)強度作為系統(tǒng)服務(wù)能力指標(biāo)，改進了防空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)的作戰(zhàn)效能評估模型。

1 基本假設(shè)

(1) 長時間持續(xù)來襲的目標(biāo)流近似于強度為λ的泊松流，即在時間(0，t)內(nèi)來襲目標(biāo)數(shù)Xt的概率分布為P(Xt=k)=(λt)ke-λt/k! (k=0，1，2，…)。

由于泊松流最難于抗擊[2]，將目標(biāo)流視為泊松流，可以從最困難條件下分析防空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)的作戰(zhàn)效能。防空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)部署于保衛(wèi)目標(biāo)旁，來襲目標(biāo)徑直攻擊保衛(wèi)目標(biāo)，不干擾、抗擊或機動規(guī)避防空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)的攔截。

圖1 射擊服務(wù)區(qū)與殺傷區(qū)的垂直剖面示意圖Fig.1 Schematic diagram of vertical section of shoot service zone and kill zone

在上述假設(shè)條件下，防空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)可視為基于目標(biāo)有限等待和差錯服務(wù)的M/M/n：∞/∞/FCFS隨機服務(wù)系統(tǒng)，即來襲目標(biāo)流是泊松流，射擊時間服從負(fù)指數(shù)分布，n個服務(wù)臺，系統(tǒng)容量無限，目標(biāo)源總量無限，先到先服務(wù)。射擊服務(wù)過程的排隊模型如圖2所示。

圖2 射擊服務(wù)過程的排隊模型Fig.2 Queuing model for shooting service process

2 狀態(tài)分析

定義t時刻隨機服務(wù)系統(tǒng)的狀態(tài)為此時處于射擊服務(wù)區(qū)內(nèi)目標(biāo)的隨機數(shù)量Xt。則服務(wù)系統(tǒng)可能處于以下3種狀態(tài)：

(1)Xt=0，射擊服務(wù)區(qū)內(nèi)目標(biāo)數(shù)為0，n個火力通道均不射擊；

(2)Xt=k(k=1，2，…，n-1)，射擊服務(wù)區(qū)內(nèi)目標(biāo)數(shù)為k，k個火力通道正在射擊；

(3)Xt=n+s(s=0，1，2，…)，射擊服務(wù)區(qū)內(nèi)目標(biāo)數(shù)為n+s，n個火力通道均在射擊，s個目標(biāo)在等待射擊。

由基本假設(shè)可知：

以Pi(t)(i=0，1，…)表示t時刻系統(tǒng)處于狀態(tài)Xt=i的概率，下面對Pi(t)進行討論。

(1) 系統(tǒng)處于狀態(tài)Xt=0時

t+Δt時刻，系統(tǒng)處于狀態(tài)Xt+Δt=0的概率可表述為下列3個獨立事件的概率之和：

1)t時刻，系統(tǒng)處于狀態(tài)Xt=0，且Δt時間內(nèi)無新目標(biāo)進入。該事件概率為P0(t)[1-λΔt+ο(Δt)] =(1-λΔt)P0(t)+ο(Δt)。

2)t時刻，系統(tǒng)處于狀態(tài)Xt=1，Δt時間內(nèi)，無新目標(biāo)進入，分配給目標(biāo)的火力通道完成射擊并擊毀目標(biāo)，且無目標(biāo)飛離射擊服務(wù)區(qū)。該事件概率為P1(t)[1-λΔt+ο(Δt)][μΔt+ο(Δt)]Pc[1-νΔt+ο(Δt)]=μPcΔtP1(t)+ο(Δt)。

3)t時刻，系統(tǒng)處于狀態(tài)Xt=1，Δt時間內(nèi)，無新目標(biāo)進入，分配給目標(biāo)的火力通道未完成射擊，該目標(biāo)飛離射擊服務(wù)區(qū)。該事件概率為P1(t)[1-λΔt+ο(Δt)][1-μΔt+ο(Δt)][νΔt+ο(Δt)]=νΔtP1(t)+ο(Δt)。

因此，t+Δt時刻，系統(tǒng)處于狀態(tài)Xt+Δt=0的概率為P0(t+Δt)=(1-λΔt)P0(t)+(μPc+ν)Δt·P1(t)+ο(Δt)，則[P0(t+Δt)-P0(t)]/Δt=-λP0(t)+(μPc+ν)P1(t)+ο(Δt)/Δt。

(2) 系統(tǒng)處于狀態(tài)Xt=k(k=1，2，…，n-1)時

t+Δt時刻，系統(tǒng)處于狀態(tài)Xt+Δt=k的概率可表述為下列5個獨立事件的概率之和：

1)t時刻，系統(tǒng)處于狀態(tài)Xt=k，Δt時間內(nèi)，無新目標(biāo)進入，k個火力通道均未完成射擊，且k個目標(biāo)均未飛離射擊服務(wù)區(qū)。該事件概率為Pk(t)[1-λΔt+ο(Δt)][1-kμΔt+ο(Δt)]·[1-kνΔt+ο(Δt)]=[1-(λ+kμ+kν)Δt]·Pk(t)+ο(Δt)。

2)t時刻，系統(tǒng)處于狀態(tài)Xt=k，Δt時間內(nèi)，無新目標(biāo)進入，僅1個火力通道完成射擊但未擊毀目標(biāo)，且k個目標(biāo)均未飛離射擊服務(wù)區(qū)。該事件概率為Pk(t)[1-λΔt+ο(Δt)][kμΔt+ο(Δt)](1-Pc)[1-kνΔt+ο(Δt)]=kμ(1-Pc)ΔtPk(t)+ο(Δt)。

3)t時刻，系統(tǒng)處于狀態(tài)Xt=k+1，Δt時間內(nèi)，無新目標(biāo)進入，僅1個火力通道完成射擊并擊毀目標(biāo)，且k+1個目標(biāo)均未飛離射擊服務(wù)區(qū)。該事件概率為Pk+1(t)[1-λΔt+ο(Δt)][(k+1)μΔt+ο(Δt)]Pc[1-(k+1)νΔt+ο(Δt)]=(k+1)·μPcΔtPk+1(t)+ο(Δt)。

4)t時刻，系統(tǒng)處于狀態(tài)Xt=k+1，Δt時間內(nèi)，無新目標(biāo)進入，k+1個火力通道均未完成射擊，僅1個目標(biāo)飛離射擊服務(wù)區(qū)。該事件概率為Pk+1(t)·[1-λΔt+ο(Δt)][1-(k+1)μΔt+ο(Δt)]·[(k+1)νΔt+ο(Δt)]=(k+1)νΔtPk+1(t)+ο(Δt)。

5)t時刻，系統(tǒng)處于狀態(tài)Xt=k-1，Δt時間內(nèi)，僅1個新目標(biāo)進入，k-1個火力通道均未完成射擊，且k-1個目標(biāo)均未飛離射擊服務(wù)區(qū)。該事件概率為Pk-1(t)[λΔt+ο(Δt)][1-(k-1)μΔt+ο(Δt)][1-(k-1)νΔt+ο(Δt)]=λΔtPk-1(t)+ο(Δt)。

因此，t+Δt時刻，系統(tǒng)處于狀態(tài)Xt+Δt=k的概率為Pk(t+Δt)=[1-(λ+kμPc+kν)Δt]Pk(t)+[(k+1)(μPc+ν)Δt]Pk+1(t)+λΔtPk-1(t)+ο(Δt)，則[Pk(t+Δt)-Pk(t)]/Δt=-[λ+k(μPc+ν)]Pk(t)+(k+1)(μPc+ν)Pk+1(t)+λPk-1(t)+ο(Δt)/Δt。

類似可得服務(wù)系統(tǒng)狀態(tài)變化的微分方程組為

(1)

由微分方程組(1)可知，該服務(wù)系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖如圖3所示。當(dāng)系統(tǒng)中目標(biāo)數(shù)為k(k=1，2，…，n-1)時，目標(biāo)流將受到強度為kμPc的有效射擊而損毀，同時將有強度為kν的目標(biāo)流飛離射擊服務(wù)區(qū)而成功突防；當(dāng)系統(tǒng)中目標(biāo)數(shù)為n+s(s=0，1，2，…)時，目標(biāo)流將受到強度為nμPc(已達系統(tǒng)最大有效服務(wù)能力)的有效射擊而損毀，同時將有強度為(n+s)ν的目標(biāo)流成功突防。

文獻[3-13]中系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖如圖4所示。對比圖3、圖4可知，本文建立的模型與文獻[3-13]存在2個區(qū)別：

(1) 文獻[3-13]主張未接受射擊服務(wù)的目標(biāo)有限等待，對于接受射擊服務(wù)的目標(biāo)不考慮飛離強度，一旦服務(wù)開始，不管等待時間多長，都將完成射擊服務(wù)，但實際上可能出現(xiàn)未完成射擊服務(wù)，目標(biāo)就已飛離射擊服務(wù)區(qū)的情況。本文基于所有目標(biāo)有限等待，從狀態(tài)Xt=0開始引入飛離強度ν，更符合作戰(zhàn)過程，因為任一目標(biāo)飛越射擊服務(wù)區(qū)相當(dāng)于有限等待，飛越時間達到有限等待時間，該目標(biāo)都將飛離射擊服務(wù)區(qū)成功突防，而與目標(biāo)是否接受射擊服務(wù)無關(guān)。

(2) 文獻[3-13]以服務(wù)強度μ作為系統(tǒng)服務(wù)能力指標(biāo)，計算穩(wěn)態(tài)下未受射擊而直接突防的概率Pt和目標(biāo)受射擊概率Ps(Ps=1-Pt)，進而求得目標(biāo)流擊毀概率Ph(Ph=PsPc)，相當(dāng)于以未受射擊而直接突防的目標(biāo)數(shù)推算受射擊目標(biāo)數(shù)，以受射擊目標(biāo)數(shù)乘以擊毀概率Pc計算擊毀目標(biāo)數(shù)。通常擊毀概率Pc是經(jīng)大量射擊試驗后，由擊毀目標(biāo)數(shù)除以總射擊次數(shù)得來。由于實際作戰(zhàn)中每個目標(biāo)對應(yīng)的射擊次數(shù)是不定的，以受射擊目標(biāo)數(shù)代替總射擊次數(shù)來計算擊毀目標(biāo)數(shù)，將帶來一定誤差。實際上，射擊過程具有差錯服務(wù)的特點，目標(biāo)流在受到強度為μ的射擊后，平均強度為μPc的目標(biāo)流被擊毀而消失，即單火力通道有效服務(wù)強度為μPc，受射擊但未被擊毀(服務(wù)無效)的目標(biāo)將繼續(xù)留在隊列中再次接受服務(wù)，直至被擊毀或飛離射擊服務(wù)區(qū)，可一定程度上體現(xiàn)射擊次數(shù)，以此計算的擊毀目標(biāo)數(shù)更為合理。因此，本文基于差錯服務(wù)，以有效服務(wù)強度μPc作為系統(tǒng)服務(wù)能力指標(biāo)，能更真實地反映作戰(zhàn)過程。

3 系統(tǒng)性能指標(biāo)

圖3 基于目標(biāo)有限等待和差錯服務(wù)的防空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖Fig.3 State transition diagram of air defense missile weapon system based on target finite waiting and false-serving

圖4 文獻[3-13]中防空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖Fig.4 State transition diagram of air defense missile weapon system in the literature [3-13]

(2)

于是得到：

(3)

s=0，1，2，….

(4)

(5)

系統(tǒng)主要性能指標(biāo)如下：

進入防空導(dǎo)彈射擊服務(wù)區(qū)的目標(biāo)的平均數(shù)，即平均隊長為

(6)

射擊服務(wù)區(qū)中正受到射擊的目標(biāo)的平均數(shù)，即平均服務(wù)隊長為

(7)

飛離射擊服務(wù)區(qū)前未接受射擊服務(wù)的目標(biāo)的平均數(shù)，即平均排隊長為

(8)

對于射擊服務(wù)區(qū)中每個未接受射擊服務(wù)的目標(biāo)都將以強度ν飛離射擊服務(wù)區(qū)，因此目標(biāo)等待射擊服務(wù)超時而直接突防的概率為

(9)

對于射擊服務(wù)區(qū)中每個接受射擊服務(wù)的目標(biāo)也將以強度ν飛離射擊服務(wù)區(qū)，因此目標(biāo)接受射擊服務(wù)超時而突防的概率為

(10)

射擊服務(wù)區(qū)中的所有目標(biāo)都以強度ν飛離，目標(biāo)總突防概率為

(11)

防空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)以強度μPc擊毀所射擊的目標(biāo)，目標(biāo)被擊毀概率為

(12)

防空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)的作戰(zhàn)目的就是最大限度地?fù)魵硪u目標(biāo)，因此本文以目標(biāo)被擊毀概率Ph作為防空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)的作戰(zhàn)效能指標(biāo)。

受到射擊的目標(biāo)中，被擊毀的概率為

(13)

圖隨ν/μ變化的曲線Fig.5 Curves of with ν/μ changes

實際防空作戰(zhàn)中，還需考慮目標(biāo)發(fā)現(xiàn)概率、指揮概率、引導(dǎo)概率、截獲概率、可靠性概率、反干擾概率、反機動概率，可用乘積方式將有效服務(wù)強度由μPc修正為μPcx；當(dāng)目標(biāo)流中部分目標(biāo)的突防高度超出武器系統(tǒng)有效抗擊范圍[15]時，視為未發(fā)現(xiàn)目標(biāo)，可用該比例修正目標(biāo)發(fā)現(xiàn)概率；考慮武器系統(tǒng)(服務(wù)臺)戰(zhàn)損概率，相當(dāng)于火力通道數(shù)n減少。

4 算例分析

假設(shè)某防空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)裝備有8輛垂直發(fā)射車，每輛垂直發(fā)射車有2個發(fā)射通道，即系統(tǒng)火力通道數(shù)為16，導(dǎo)彈平均速度vd為1 km/s，射擊準(zhǔn)備時間tz為8 s，每次射擊擊毀概率Pc=0.75，目標(biāo)發(fā)現(xiàn)概率等其余概率均假設(shè)為1。該防空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)部署于保衛(wèi)目標(biāo)旁，采用單射方式攔截來襲目標(biāo)，備彈充足，裝填及時。來襲飛機防區(qū)外發(fā)射巡航導(dǎo)彈或是距保衛(wèi)目標(biāo)25 km時發(fā)射高速反輻射導(dǎo)彈然后返航。對于速度為300 m/s、高度為25 m超低空突防的來襲飛機，由于殺傷區(qū)遠(yuǎn)界過近，無法抗擊，而只能攔截其發(fā)射的導(dǎo)彈。防空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)假想?yún)?shù)如表1所示。

表1 防空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)假想?yún)?shù)Table 1 Hypotheticalparametersof air defense missile weapon system

(14)

(15)

(16)

根據(jù)式(5)，(12)，可求得不同目標(biāo)流強度下的目標(biāo)被擊毀概率Ph，并以此作為防空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)的作戰(zhàn)效能指標(biāo)。計算結(jié)果如表2所示。

由式(13)整理可得

(17)

從以上曲線可以判斷：提高防空導(dǎo)彈飛行速度vd和每次射擊擊毀概率Pc，延伸防空導(dǎo)彈殺傷區(qū)遠(yuǎn)界Xb，均可大幅提升防空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)的作戰(zhàn)效能，但提升幅度逐漸趨緩，進一步提高參數(shù)，收效不明顯；縮短射擊準(zhǔn)備時間tz，對抗擊導(dǎo)彈目標(biāo)意義較大，但對抗擊飛機目標(biāo)效果并不明顯。

圖 隨vd變化的曲線Fig.

圖 隨Pc變化的曲線Fig.7 Curves of with Pc changes

目標(biāo)飛機導(dǎo)彈v:0.6km/sh:12kmv:0.3km/sh:12kmv:0.3km/sh:6kmv:0.9km/sh:1kmv:0.3km/sh:0.025kmλ/min-120.6080.7460.7180.4200.66340.6080.7460.7180.4200.66380.6070.7420.7170.4200.663160.5080.5390.6270.4200.663320.2590.2700.3200.4200.661640.1290.1350.1600.3940.5221280.0650.0670.0800.2340.262P'c0.6080.7460.7180.4200.663

圖 隨Xb變化的曲線Fig.8 Curves of with Xb changes

圖 隨tz變化的曲線Fig.9 Curves of with tz changes

5 結(jié)束語

本文針對當(dāng)前防空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)作戰(zhàn)效能評估模型的局限性，運用排隊論基本原理，基于目標(biāo)有限等待和差錯服務(wù)，構(gòu)建了改進的作戰(zhàn)效能評估模型，并應(yīng)用該模型進行了驗證計算。結(jié)果表明，防空導(dǎo)彈的飛行速度、殺傷區(qū)遠(yuǎn)界和每次射擊擊毀概率是影響防空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)作戰(zhàn)效能的主要因素。為達到預(yù)期的防空作戰(zhàn)效能指標(biāo)，應(yīng)針對這三個主要因素，優(yōu)選防空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)或改進現(xiàn)有的防空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)性能，并以此作為構(gòu)建防空體系、優(yōu)化防空部署的重要依據(jù)。

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Improved Model for Operational Effectiveness Assessment of Air Defense Missile Weapon System

CHEN Jin-hong，LU Ming，HUANG Kai

(Naval Command College，Jiangsu Nanjing 210016，China)

Aiming at the current limit in assessing operational effectiveness of air defense missile weapon system, applying basic principle of queuing theory, and based on target finite waiting and false-serving, an improved model is established for operational effectiveness assessment. The verifying results show that flight speed, kill zone boundary and destruction probability of air defense missile are major factors affecting the operational effectiveness of air defense missile weapon system．This assessment model can provide reference value in optimizing disposition of air defense troops and improving performance of weapon system.

air defense missile weapon system；operational effectiveness assessment；target finite waiting；failed serving；flying away intensity；effective service intensity

2016-07-20；

2016-09-06

陳金宏(1985-),男,福建福州人。博士生,主要研究方向為海軍戰(zhàn)術(shù)應(yīng)用理論。

通信地址：210016 江蘇省南京市玄武區(qū)半山園21號研究生2隊 E-mail：cjh5666083@163.com

10.3969/j.issn.1009-086x.2017.03.003

TJ761.1；E844

A

1009-086X(2017)-03-0013-09